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Theorem vdwlem12 13315
Description: Lemma for vdw 13317.  K  = 
2 base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem12.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) --> R )
vdwlem12.2  |-  ( ph  ->  -.  2 MonoAP  F )
Assertion
Ref Expression
vdwlem12  |-  -.  ph

Proof of Theorem vdwlem12
Dummy variables  a 
c  d  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 hashcl 11594 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( # `
 R )  e. 
NN0 )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  NN0 )
43nn0red 10231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  RR )
54ltp1d 9897 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 ) )
6 nn0p1nn 10215 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  R )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  NN )
73, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN )
87nnnn0d 10230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN0 )
9 hashfz1 11585 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )  =  ( (
# `  R )  +  1 ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) )
115, 10breqtrrd 4198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( # `  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) )
12 fzfi 11266 . . . 4  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  Fin
13 hashsdom 11610 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  R
)  <  ( # `  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  R  ~<  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ) )
141, 12, 13sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  <  ( # `  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  R  ~<  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ) )
1511, 14mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  R  ~<  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )
16 vdwlem12.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) --> R )
17 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
18 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  y ) )
1917, 18eqeqan12d 2419 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <-> 
( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
20 eqeq12 2416 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( z  =  w  <-> 
x  =  y ) )
2119, 20imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( F `
 z )  =  ( F `  w
)  ->  z  =  w )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
22 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
23 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
2422, 23eqeqan12d 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <-> 
( F `  y
)  =  ( F `
 x ) ) )
25 eqcom 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2624, 25syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <-> 
( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
27 eqeq12 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( z  =  w  <-> 
y  =  x ) )
28 eqcom 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
2927, 28syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( z  =  w  <-> 
x  =  y ) )
3026, 29imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( ( F `
 z )  =  ( F `  w
)  ->  z  =  w )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
31 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  x  e.  NN )
3231nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
3332ssriv 3312 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  C_  RR
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
C_  RR )
35 biidd 229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
36 simplr3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  <_  y )
37 vdwlem12.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  2 MonoAP  F )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  2 MonoAP  F )
39 3simpa 954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ) )
40 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) )
4140, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  NN )
42 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y
)
43 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) )
44 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  y  e.  NN )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  NN )
46 nnsub 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
4741, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  < 
y  <->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
4842, 47mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( y  -  x )  e.  NN )
49 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5049fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (AP ` 
2 )  =  (AP
`  ( 1  +  1 ) )
5150oveqi 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (AP `  2 ) ( y  -  x
) )  =  ( x (AP `  (
1  +  1 ) ) ( y  -  x ) )
52 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  NN0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  NN0 )
54 vdwapun 13297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  x  e.  NN  /\  (
y  -  x )  e.  NN )  -> 
( x (AP `  ( 1  +  1 ) ) ( y  -  x ) )  =  ( { x }  u.  ( (
x  +  ( y  -  x ) ) (AP `  1 ) ( y  -  x
) ) ) )
5553, 41, 48, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x (AP
`  ( 1  +  1 ) ) ( y  -  x ) )  =  ( { x }  u.  (
( x  +  ( y  -  x ) ) (AP `  1
) ( y  -  x ) ) ) )
5651, 55syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x (AP
`  2 ) ( y  -  x ) )  =  ( { x }  u.  (
( x  +  ( y  -  x ) ) (AP `  1
) ( y  -  x ) ) ) )
57 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
5816ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  F : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
59 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) --> R  ->  F  Fn  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  F  Fn  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )
61 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( x  e.  ( `' F " { ( F `  y ) } )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  e.  ( `' F " { ( F `  y ) } )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
6340, 57, 62mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
6463snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  { x }  C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
6541nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
6645nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  CC )
6765, 66pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  +  ( y  -  x
) )  =  y )
6867oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( x  +  ( y  -  x ) ) (AP
`  1 ) ( y  -  x ) )  =  ( y (AP `  1 ) ( y  -  x
) ) )
69 vdwap1 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( y  -  x
)  e.  NN )  ->  ( y (AP
`  1 ) ( y  -  x ) )  =  { y } )
7045, 48, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( y (AP
`  1 ) ( y  -  x ) )  =  { y } )
7168, 70eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( x  +  ( y  -  x ) ) (AP
`  1 ) ( y  -  x ) )  =  { y } )
72 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
73 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  Fn  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( y  e.  ( `' F " { ( F `  y ) } )  <-> 
( y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  y ) ) ) )
7460, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( `' F " { ( F `  y ) } )  <-> 
( y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  y ) ) ) )
7543, 72, 74mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
7675snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  { y } 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
7771, 76eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( x  +  ( y  -  x ) ) (AP
`  1 ) ( y  -  x ) )  C_  ( `' F " { ( F `
 y ) } ) )
7864, 77unssd 3483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( { x }  u.  ( (
x  +  ( y  -  x ) ) (AP `  1 ) ( y  -  x
) ) )  C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
7956, 78eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x (AP
`  2 ) ( y  -  x ) )  C_  ( `' F " { ( F `
 y ) } ) )
80 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  (
a (AP `  2
) d )  =  ( x (AP ` 
2 ) d ) )
8180sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  x  ->  (
( a (AP ` 
2 ) d ) 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } )  <-> 
( x (AP ` 
2 ) d ) 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) ) )
82 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( y  -  x )  ->  (
x (AP `  2
) d )  =  ( x (AP ` 
2 ) ( y  -  x ) ) )
8382sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( y  -  x )  ->  (
( x (AP ` 
2 ) d ) 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } )  <-> 
( x (AP ` 
2 ) ( y  -  x ) ) 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) ) )
8481, 83rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  NN  /\  ( y  -  x
)  e.  NN  /\  ( x (AP ` 
2 ) ( y  -  x ) ) 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  2 ) d )  C_  ( `' F " { ( F `
 y ) } ) )
8541, 48, 79, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  2
) d )  C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
86 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
87 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  y )  ->  { c }  =  { ( F `  y ) } )
8887imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  y )  ->  ( `' F " { c } )  =  ( `' F " { ( F `  y ) } ) )
8988sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  y )  ->  (
( a (AP ` 
2 ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <-> 
( a (AP ` 
2 ) d ) 
C_  ( `' F " { ( F `  y ) } ) ) )
90892rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  y )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  2
) d )  C_  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  2 ) d )  C_  ( `' F " { ( F `
 y ) } ) ) )
9186, 90spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  2
) d )  C_  ( `' F " { ( F `  y ) } )  ->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  2
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
9285, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  2 ) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
93 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  _V
94 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  NN0 )
9693, 95, 58vdwmc 13301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2 MonoAP  F  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  2 ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9792, 96mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  2 MonoAP  F )
9839, 97sylanl2 633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  <  y ) )  ->  2 MonoAP  F )
9998expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  <  y  ->  2 MonoAP  F ) )
10038, 99mtod 170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  x  <  y )
101 simplr1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )
102101, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  RR )
103 simplr2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )
10433, 103sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
y  e.  RR )
105102, 104eqleltd 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
( x  <_  y  /\  -.  x  <  y
) ) )
10636, 100, 105mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
107106ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )  /\  x  <_  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
10821, 30, 34, 35, 107wlogle 9516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
109108ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) A. y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
110 dff13 5963 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) -1-1-> R  <->  ( F :
( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) --> R  /\  A. x  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) A. y  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
11116, 109, 110sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) -1-1-> R )
112 f1domg 7086 . . . 4  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( F : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) -1-1-> R  ->  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  ~<_  R ) )
1131, 111, 112sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) )  ~<_  R )
114 domnsym 7192 . . 3  |-  ( ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )  ~<_  R  ->  -.  R  ~<  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )
115113, 114syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  -.  R  ~<  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )
11615, 115pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ...cfz 10999   #chash 11573  APcvdwa 13288   MonoAP cvdwm 13289
This theorem is referenced by:  vdwlem13  13316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-vdwap 13291  df-vdwmc 13292
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