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Theorem vdwlem11 14052
Description: Lemma for vdw 14055. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
Assertion
Ref Expression
vdwlem11  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem vdwlem11
Dummy variables  a 
d  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwlem9.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 vdwlem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
4 hashcl 12126 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( # `
 R )  e. 
NN0 )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  NN0 )
6 nn0p1nn 10619 . . . 4  |-  ( (
# `  R )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN )
81, 2, 3, 7vdwlem10 14051 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) )
91adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
10 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 elmapg 7227 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  f :
( 1 ... n
) --> R ) )
1312biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f :
( 1 ... n
) --> R )
145nn0red 10637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  RR )
1514ltp1d 10263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 ) )
16 peano2re 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  R )  e.  RR  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  RR )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  RR )
1814, 17ltnled 9521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 )  <->  -.  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
1915, 18mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) )
21 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
2221simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
232, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN )
2524nnnn0d 10636 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN0 )
26 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
277adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  e.  NN )
28 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )
2910, 25, 26, 27, 28vdwpc 14041 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) ) ) )
301ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  R  e.  Fin )
3126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
f : ( 1 ... n ) --> R )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )
33 cnvimass 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' f " { ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) } )  C_  dom  f
3432, 33syl6ss 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  dom  f )
3526ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
36 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : ( 1 ... n ) --> R  ->  dom  f  =  (
1 ... n ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... n ) )
3834, 37sseqtrd 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( 1 ... n
) )
3923ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  ->  K  e.  NN )
40 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
a  e.  NN )
41 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) )
42 nnex 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  NN  e.  _V
43 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  _V
4442, 43elmap 7241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  d : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4541, 44sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d :
( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4645ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( d `  i
)  e.  NN )
4740, 46nnaddcld 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN )
48 vdwapid1 14036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN  /\  ( d `  i
)  e.  NN )  ->  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) ) )
4939, 47, 46, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) ) )
5138, 50sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( 1 ... n ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( 1 ... n
) ) )
53 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( 1 ... n ) --> R  /\  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
)
5431, 52, 53syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
) )
5554ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  ->  A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R ) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) )  e.  R )
57 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )
5857fmpt 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R  <->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
5956, 58sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
60 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) --> R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
62 ssdomg 7355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6330, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R )
64 ssfi 7533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  e. 
Fin )
6530, 61, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin )
66 hashdom 12142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin  /\  R  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6765, 30, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6863, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R ) )
69 breq1 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R )  +  1 )  ->  ( ( # `
 ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <-> 
( ( # `  R
)  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7068, 69syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7170expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  /\  ( # `  ran  (
i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) )  =  ( (
# `  R )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7271rexlimdvva 2848 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) ) )
7329, 72sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  ->  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
7420, 73mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  <. ( (
# `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f )
75 biorf 405 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  -> 
( ( K  + 
1 ) MonoAP  f  <->  ( <. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7776anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... n ) --> R )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7813, 77syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
f  <->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
7978ralbidva 2731 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
8079rexbidva 2732 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( ( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
818, 80mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   {csn 3877   <.cop 3883   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214    ~<_ cdom 7308   Fincfn 7310   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   #chash 12103  APcvdwa 14026   MonoAP cvdwm 14027   PolyAP cvdwp 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-hash 12104  df-vdwap 14029  df-vdwmc 14030  df-vdwpc 14031
This theorem is referenced by:  vdwlem13  14054
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