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Theorem vdwlem11 14593
Description: Lemma for vdw 14596. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
Assertion
Ref Expression
vdwlem11  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem vdwlem11
Dummy variables  a 
d  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwlem9.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 vdwlem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
4 hashcl 12410 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( # `
 R )  e. 
NN0 )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  NN0 )
6 nn0p1nn 10831 . . . 4  |-  ( (
# `  R )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN )
81, 2, 3, 7vdwlem10 14592 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) )
91adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
10 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 elmapg 7425 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
129, 10, 11sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  f :
( 1 ... n
) --> R ) )
1312biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f :
( 1 ... n
) --> R )
145nn0red 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  RR )
1514ltp1d 10471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 ) )
16 peano2re 9742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  R )  e.  RR  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  RR )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  RR )
1814, 17ltnled 9721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 )  <->  -.  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
1915, 18mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) )
2019adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) )
21 eluz2nn 11120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN )
2423nnnn0d 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN0 )
25 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
267adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  e.  NN )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )
2810, 24, 25, 26, 27vdwpc 14582 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) ) ) )
291ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  R  e.  Fin )
3025ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
f : ( 1 ... n ) --> R )
31 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )
32 cnvimass 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' f " { ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) } )  C_  dom  f
3331, 32syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  dom  f )
3425ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
35 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : ( 1 ... n ) --> R  ->  dom  f  =  (
1 ... n ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... n ) )
3733, 36sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( 1 ... n
) )
3822ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  ->  K  e.  NN )
39 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
a  e.  NN )
40 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) )
41 nnex 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  NN  e.  _V
42 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  _V
4341, 42elmap 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  d : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4440, 43sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d :
( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4544ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( d `  i
)  e.  NN )
4639, 45nnaddcld 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN )
47 vdwapid1 14577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN  /\  ( d `  i
)  e.  NN )  ->  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) ) )
4838, 46, 45, 47syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) ) )
4948adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) ) )
5037, 49sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( 1 ... n ) )
5150ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( 1 ... n
) ) )
52 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( 1 ... n ) --> R  /\  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
)
5330, 51, 52syl6an 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
) )
5453ralimdva 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  ->  A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R ) )
5554imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) )  e.  R )
56 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )
5756fmpt 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R  <->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
5855, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
59 frn 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) --> R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
61 ssdomg 7554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6229, 60, 61sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R )
63 ssfi 7733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  e. 
Fin )
6429, 60, 63syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin )
65 hashdom 12430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin  /\  R  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6664, 29, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6762, 66mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R ) )
68 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R )  +  1 )  ->  ( ( # `
 ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <-> 
( ( # `  R
)  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
6967, 68syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7069expimpd 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  /\  ( # `  ran  (
i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) )  =  ( (
# `  R )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7170rexlimdvva 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) ) )
7228, 71sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  ->  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
7320, 72mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  <. ( (
# `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f )
74 biorf 403 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  -> 
( ( K  + 
1 ) MonoAP  f  <->  ( <. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7675anassrs 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... n ) --> R )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7713, 76syldan 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
f  <->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
7877ralbidva 2890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7978rexbidva 2962 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( ( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
808, 79mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412    ~<_ cdom 7507   Fincfn 7509   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   #chash 12387  APcvdwa 14567   MonoAP cvdwm 14568   PolyAP cvdwp 14569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-hash 12388  df-vdwap 14570  df-vdwmc 14571  df-vdwpc 14572
This theorem is referenced by:  vdwlem13  14595
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