Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem11 Structured version   Unicode version

Theorem vdwlem11 14926
 Description: Lemma for vdw 14929. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r
vdwlem9.k
vdwlem9.s MonoAP
Assertion
Ref Expression
vdwlem11 MonoAP
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem vdwlem11
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . 3
2 vdwlem9.k . . 3
3 vdwlem9.s . . 3 MonoAP
4 hashcl 12537 . . . . 5
51, 4syl 17 . . . 4
6 nn0p1nn 10909 . . . 4
75, 6syl 17 . . 3
81, 2, 3, 7vdwlem10 14925 . 2 PolyAP MonoAP
91adantr 466 . . . . . . 7
10 ovex 6329 . . . . . . 7
11 elmapg 7489 . . . . . . 7
129, 10, 11sylancl 666 . . . . . 6
1312biimpa 486 . . . . 5
145nn0red 10926 . . . . . . . . . . 11
1514ltp1d 10537 . . . . . . . . . 10
16 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11
1814, 17ltnled 9782 . . . . . . . . . 10
1915, 18mpbid 213 . . . . . . . . 9
2019adantr 466 . . . . . . . 8
21 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . . . 13
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 466 . . . . . . . . . . 11
2423nnnn0d 10925 . . . . . . . . . 10
25 simprr 764 . . . . . . . . . 10
267adantr 466 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
2810, 24, 25, 26, 27vdwpc 14915 . . . . . . . . 9 PolyAP AP
291ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
3025ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 AP AP
32 cnvimass 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3331, 32syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 AP AP
3425ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 AP
35 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 AP
3733, 36sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 AP AP
3822ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
39 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
41 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
42 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4341, 42elmap 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4440, 43sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4544ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4639, 45nnaddcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47 vdwapid1 14910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 AP
4838, 46, 45, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 AP
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 AP AP
5037, 49sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 AP
5150ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 AP
52 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5330, 51, 52syl6an 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 AP
5453ralimdva 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AP
5554imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
56 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756fmpt 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5855, 57sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
59 frn 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
61 ssdomg 7618 . . . . . . . . . . . . . 14
6229, 60, 61sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13 AP
63 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15
6429, 60, 63syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
65 hashdom 12557 . . . . . . . . . . . . . 14
6664, 29, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13 AP
6762, 66mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12 AP
68 breq1 4423 . . . . . . . . . . . 12
6967, 68syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . 11 AP
7069expimpd 606 . . . . . . . . . 10 AP
7170rexlimdvva 2924 . . . . . . . . 9 AP
7228, 71sylbid 218 . . . . . . . 8 PolyAP
7320, 72mtod 180 . . . . . . 7 PolyAP
74 biorf 406 . . . . . . 7 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
7573, 74syl 17 . . . . . 6 MonoAP PolyAP MonoAP
7675anassrs 652 . . . . 5 MonoAP PolyAP MonoAP
7713, 76syldan 472 . . . 4 MonoAP PolyAP MonoAP
7877ralbidva 2861 . . 3 MonoAP PolyAP MonoAP
7978rexbidva 2936 . 2 MonoAP PolyAP MonoAP
808, 79mpbird 235 1 MonoAP
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776  cvv 3081   wss 3436  csn 3996  cop 4002   class class class wbr 4420   cmpt 4479  ccnv 4848   cdm 4849   crn 4850  cima 4852  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301   cmap 7476   cdom 7571  cfn 7573  cr 9538  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676  cn 10609  c2 10659  cn0 10869  cuz 11159  cfz 11784  chash 12514  APcvdwa 14900   MonoAP cvdwm 14901   PolyAP cvdwp 14902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-hash 12515  df-vdwap 14903  df-vdwmc 14904  df-vdwpc 14905 This theorem is referenced by:  vdwlem13  14928
 Copyright terms: Public domain W3C validator