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Theorem vdwlem11 13314
Description: Lemma for vdw 13317. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
Assertion
Ref Expression
vdwlem11  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem vdwlem11
Dummy variables  a 
d  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwlem9.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 vdwlem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
4 hashcl 11594 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( # `
 R )  e. 
NN0 )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  NN0 )
6 nn0p1nn 10215 . . . 4  |-  ( (
# `  R )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN )
81, 2, 3, 7vdwlem10 13313 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) )
91adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
10 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 elmapg 6990 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  f :
( 1 ... n
) --> R ) )
1312biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f :
( 1 ... n
) --> R )
145nn0red 10231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  RR )
1514ltp1d 9897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 ) )
16 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  R )  e.  RR  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  RR )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  RR )
1814, 17ltnled 9176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 )  <->  -.  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
1915, 18mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) )
2019adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) )
21 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
2221simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
232, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN )
2524nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN0 )
26 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
277adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  e.  NN )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )
2910, 25, 26, 27, 28vdwpc 13303 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) ) ) )
301ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  R  e.  Fin )
3126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
f : ( 1 ... n ) --> R )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )
33 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' f " { ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) } )  C_  dom  f
3432, 33syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  dom  f )
3526ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
36 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : ( 1 ... n ) --> R  ->  dom  f  =  (
1 ... n ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... n ) )
3834, 37sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( 1 ... n
) )
3923ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  ->  K  e.  NN )
40 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
a  e.  NN )
41 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) )
42 nnex 9962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  NN  e.  _V
43 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  _V
4442, 43elmap 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  d : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4541, 44sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d :
( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4645ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( d `  i
)  e.  NN )
4740, 46nnaddcld 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN )
48 vdwapid1 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN  /\  ( d `  i
)  e.  NN )  ->  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) ) )
4939, 47, 46, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) ) )
5138, 50sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( 1 ... n ) )
5251ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( 1 ... n
) ) )
53 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( 1 ... n ) --> R  /\  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
)
5431, 52, 53ee12an 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
) )
5554ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  ->  A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R ) )
5655imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) )  e.  R )
57 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )
5857fmpt 5849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R  <->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
5956, 58sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
60 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) --> R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
62 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6330, 61, 62sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R )
64 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  e. 
Fin )
6530, 61, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin )
66 hashdom 11608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin  /\  R  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6765, 30, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6863, 67mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R ) )
69 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R )  +  1 )  ->  ( ( # `
 ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <-> 
( ( # `  R
)  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7068, 69syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7170expimpd 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  /\  ( # `  ran  (
i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) )  =  ( (
# `  R )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7271rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) ) )
7329, 72sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  ->  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
7420, 73mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  <. ( (
# `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f )
75 biorf 395 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  -> 
( ( K  + 
1 ) MonoAP  f  <->  ( <. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7776anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... n ) --> R )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7813, 77syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
f  <->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
7978ralbidva 2682 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
8079rexbidva 2683 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( ( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
818, 80mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   #chash 11573  APcvdwa 13288   MonoAP cvdwm 13289   PolyAP cvdwp 13290
This theorem is referenced by:  vdwlem13  13316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-hash 11574  df-vdwap 13291  df-vdwmc 13292  df-vdwpc 13293
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