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Theorem vdwlem11 14926
Description: Lemma for vdw 14929. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
Assertion
Ref Expression
vdwlem11  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem vdwlem11
Dummy variables  a 
d  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwlem9.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 vdwlem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
4 hashcl 12537 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( # `
 R )  e. 
NN0 )
51, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  NN0 )
6 nn0p1nn 10909 . . . 4  |-  ( (
# `  R )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN )
81, 2, 3, 7vdwlem10 14925 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) )
91adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
10 ovex 6329 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 elmapg 7489 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
129, 10, 11sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  f :
( 1 ... n
) --> R ) )
1312biimpa 486 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f :
( 1 ... n
) --> R )
145nn0red 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  RR )
1514ltp1d 10537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 ) )
16 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  R )  e.  RR  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  RR )
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  RR )
1814, 17ltnled 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 )  <->  -.  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
1915, 18mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) )
2019adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) )
21 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN )
2423nnnn0d 10925 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN0 )
25 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
267adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  e.  NN )
27 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )
2810, 24, 25, 26, 27vdwpc 14915 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) ) ) )
291ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  R  e.  Fin )
3025ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
f : ( 1 ... n ) --> R )
31 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )
32 cnvimass 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' f " { ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) } )  C_  dom  f
3331, 32syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  dom  f )
3425ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
35 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : ( 1 ... n ) --> R  ->  dom  f  =  (
1 ... n ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... n ) )
3733, 36sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( 1 ... n
) )
3822ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  ->  K  e.  NN )
39 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
a  e.  NN )
40 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) )
41 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  NN  e.  _V
42 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  _V
4341, 42elmap 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  d : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4440, 43sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d :
( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4544ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( d `  i
)  e.  NN )
4639, 45nnaddcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN )
47 vdwapid1 14910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN  /\  ( d `  i
)  e.  NN )  ->  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) ) )
4838, 46, 45, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) ) )
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) ) )
5037, 49sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( 1 ... n ) )
5150ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( 1 ... n
) ) )
52 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( 1 ... n ) --> R  /\  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
)
5330, 51, 52syl6an 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
) )
5453ralimdva 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  ->  A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R ) )
5554imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) )  e.  R )
56 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )
5756fmpt 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R  <->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
5855, 57sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
59 frn 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) --> R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
61 ssdomg 7618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6229, 60, 61sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R )
63 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  e. 
Fin )
6429, 60, 63syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin )
65 hashdom 12557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin  /\  R  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6664, 29, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6762, 66mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R ) )
68 breq1 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R )  +  1 )  ->  ( ( # `
 ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <-> 
( ( # `  R
)  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
6967, 68syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7069expimpd 606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  /\  ( # `  ran  (
i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) )  =  ( (
# `  R )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7170rexlimdvva 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) ) )
7228, 71sylbid 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  ->  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
7320, 72mtod 180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  <. ( (
# `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f )
74 biorf 406 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  -> 
( ( K  + 
1 ) MonoAP  f  <->  ( <. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7573, 74syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7675anassrs 652 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... n ) --> R )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7713, 76syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
f  <->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
7877ralbidva 2861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7978rexbidva 2936 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( ( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
808, 79mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   {csn 3996   <.cop 4002   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   ran crn 4850   "cima 4852   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    ^m cmap 7476    ~<_ cdom 7571   Fincfn 7573   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   #chash 12514  APcvdwa 14900   MonoAP cvdwm 14901   PolyAP cvdwp 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-hash 12515  df-vdwap 14903  df-vdwmc 14904  df-vdwpc 14905
This theorem is referenced by:  vdwlem13  14928
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