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Theorem vdwlem11 14048
Description: Lemma for vdw 14051. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
Assertion
Ref Expression
vdwlem11  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem vdwlem11
Dummy variables  a 
d  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwlem9.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 vdwlem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
4 hashcl 12122 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( # `
 R )  e. 
NN0 )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  NN0 )
6 nn0p1nn 10615 . . . 4  |-  ( (
# `  R )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  NN )
81, 2, 3, 7vdwlem10 14047 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) )
91adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
10 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 elmapg 7223 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
129, 10, 11sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  f :
( 1 ... n
) --> R ) )
1312biimpa 481 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f :
( 1 ... n
) --> R )
145nn0red 10633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  e.  RR )
1514ltp1d 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 ) )
16 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  R )  e.  RR  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  e.  RR )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  +  1 )  e.  RR )
1814, 17ltnled 9517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  R
)  <  ( ( # `
 R )  +  1 )  <->  -.  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
1915, 18mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) )
2019adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) )
21 eluz2b2 10923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
2221simplbi 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
232, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2423adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN )
2524nnnn0d 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  K  e.  NN0 )
26 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
277adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  e.  NN )
28 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) )
2910, 25, 26, 27, 28vdwpc 14037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) ) ) )
301ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  R  e.  Fin )
3126ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
f : ( 1 ... n ) --> R )
32 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )
33 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' f " { ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) } )  C_  dom  f
3432, 33syl6ss 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  dom  f )
3526ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> R )
36 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : ( 1 ... n ) --> R  ->  dom  f  =  (
1 ... n ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... n ) )
3834, 37sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) )  C_  ( 1 ... n
) )
3923ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  ->  K  e.  NN )
40 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
a  e.  NN )
41 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) )
42 nnex 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  NN  e.  _V
43 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  e.  _V
4442, 43elmap 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) )  <->  d : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4541, 44sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  d :
( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) --> NN )
4645ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( d `  i
)  e.  NN )
4740, 46nnaddcld 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN )
48 vdwapid1 14032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  NN  /\  ( d `  i
)  e.  NN )  ->  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP `  K
) ( d `  i ) ) )
4939, 47, 46, 48syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) ) )
5049adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) ) )
5138, 50sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  /\  ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } ) )  ->  (
a  +  ( d `
 i ) )  e.  ( 1 ... n ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( a  +  ( d `  i ) )  e.  ( 1 ... n
) ) )
53 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( 1 ... n ) --> R  /\  ( a  +  ( d `  i
) )  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
)
5431, 52, 53syl6an 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( a  +  ( d `  i ) ) (AP
`  K ) ( d `  i ) )  C_  ( `' f " { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  ->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) )  e.  R
) )
5554ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  ->  A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R ) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) )  e.  R )
57 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )
5857fmpt 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) )  e.  R  <->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
5956, 58sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) : ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) --> R )
60 frn 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) ) --> R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)
62 ssdomg 7351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6330, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R )
64 ssfi 7529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  C_  R
)  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) )  e. 
Fin )
6530, 61, 64syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin )
66 hashdom 12138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  e.  Fin  /\  R  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6765, 30, 66syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <->  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) )  ~<_  R ) )
6863, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R ) )
69 breq1 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ran  ( i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R
)  +  1 ) )  |->  ( f `  ( a  +  ( d `  i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R )  +  1 )  ->  ( ( # `
 ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  <_ 
( # `  R )  <-> 
( ( # `  R
)  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7068, 69syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  (
a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } ) )  ->  ( ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7170expimpd 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n ) --> R ) )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `
 i ) ) (AP `  K ) ( d `  i
) )  C_  ( `' f " {
( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) } )  /\  ( # `  ran  (
i  e.  ( 1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) )  |->  ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) ) )  =  ( (
# `  R )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  R )  +  1 )  <_  ( # `  R
) ) )
7271rexlimdvva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  ( NN  ^m  (
1 ... ( ( # `  R )  +  1 ) ) ) ( A. i  e.  ( 1 ... ( (
# `  R )  +  1 ) ) ( ( a  +  ( d `  i
) ) (AP `  K ) ( d `
 i ) ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 ( a  +  ( d `  i
) ) ) } )  /\  ( # `  ran  ( i  e.  ( 1 ... (
( # `  R )  +  1 ) ) 
|->  ( f `  (
a  +  ( d `
 i ) ) ) ) )  =  ( ( # `  R
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 R )  +  1 )  <_  ( # `
 R ) ) )
7329, 72sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  ->  (
( # `  R )  +  1 )  <_ 
( # `  R ) ) )
7420, 73mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  -.  <. ( (
# `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f )
75 biorf 405 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  -> 
( ( K  + 
1 ) MonoAP  f  <->  ( <. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  f : ( 1 ... n
) --> R ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7776anassrs 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... n ) --> R )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
7813, 77syldan 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
f  <->  ( <. (
( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
7978ralbidva 2729 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( ( # `  R
)  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
8079rexbidva 2730 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( ( # `  R )  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
818, 80mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) ( K  +  1 ) MonoAP 
f )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   {csn 3874   <.cop 3880   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210    ~<_ cdom 7304   Fincfn 7306   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   #chash 12099  APcvdwa 14022   MonoAP cvdwm 14023   PolyAP cvdwp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-hash 12100  df-vdwap 14025  df-vdwmc 14026  df-vdwpc 14027
This theorem is referenced by:  vdwlem13  14050
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