Theorem vdwapun 14867

Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapun	|- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 10861	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
2		vdwapval 14866	. . . . 5 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
3	1, 2	syl3an1 1297	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
4		simp1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. NN0 )
5	4	nn0cnd 10878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. CC )
6		ax-1cn 9548	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		pncan 9832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
8	5, 6, 7	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
9	8	oveq2d 6265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... K ) )
10	9	eleq2d 2491	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> n e. ( 0 ... K ) ) )
11		nn0uz 11144	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	4, 11	syl6eleq 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfzp12 11824	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
15	10, 14	bitrd 256	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
16	15	anbi1d 709	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
17		andir 876	. . . . . . 7 |- ( ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
18	16, 17	syl6bb 264	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
19	18	exbidv 1762	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
20		df-rex 2720	. . . . 5 |- ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
21		19.43 1739	. . . . . 6 |- ( E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
22	21	bicomi 205	. . . . 5 |- ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
23	19, 20, 22	3bitr4g 291	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 256	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
25		nncn 10568	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. NN -> D e. CC )
26	25	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> D e. CC )
27	26	mul02d 9782	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 x. D ) = 0 )
28	27	oveq2d 6265	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = ( A + 0 ) )
29		nncn 10568	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> A e. CC )
30	29	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. CC )
31	30	addid1d 9784	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + 0 ) = A )
32	28, 31	eqtrd 2462	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = A )
33	32	eqeq2d 2438	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x = ( A + ( 0 x. D ) ) <-> x = A ) )
34		c0ex 9588	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
35		oveq1 6256	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( n x. D ) = ( 0 x. D ) )
36	35	oveq2d 6265	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( 0 x. D ) ) )
37	36	eqeq2d 2438	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) ) )
38	34, 37	ceqsexv 3060	. . . . . 6 |- ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) )
39		elsn 3955	. . . . . 6 |- ( x e. { A } <-> x = A )
40	33, 38, 39	3bitr4g 291	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. { A } ) )
41		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
42		0p1e1 10672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
43	42	oveq1i 6259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... K ) = ( 1 ... K )
44	41, 43	syl6eleq 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( 1 ... K ) )
45		1zzd 10919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. ZZ )
46	4	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0zd 10989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. ZZ )
48		elfzelz 11751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) -> n e. ZZ )
49	48	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ZZ )
50		fzsubel 11785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
51	45, 47, 49, 45, 50	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
52	44, 51	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) )
53		1m1e0 10629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
54	53	oveq1i 6259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) = ( 0 ... ( K - 1 ) )
55	52, 54	syl6eleq 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
56	49	zcnd 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. CC )
57		1cnd 9610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. CC )
58	26	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> D e. CC )
59	56, 57, 58	subdird 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
60	58	mulid2d 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
61	60	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( n x. D ) - D ) )
62	59, 61	eqtrd 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - D ) )
63	62	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) )
64	56, 58	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) e. CC )
65	58, 64	pncan3d 9940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) = ( n x. D ) )
66	63, 65	eqtr2d 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) = ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
67	66	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
68	30	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> A e. CC )
69		subcl 9825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - 1 ) e. CC )
70	56, 6, 69	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. CC )
71	70, 58	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) e. CC )
72	68, 58, 71	addassd 9616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
73	67, 72	eqtr4d 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
74		oveq1 6256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( m x. D ) = ( ( n - 1 ) x. D ) )
75	74	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
76	75	eqeq2d 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
77	76	rspcev 3125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) /\ ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
78	55, 73, 77	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
79		eqeq1 2432	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
80	79	rexbidv 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
81	78, 80	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
82	81	expimpd 606	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
83	82	exlimdv 1772	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
84		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
85		0zd 10900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
86	4	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
87	86	nn0zd 10989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
88		peano2zm 10931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
90		elfzelz 11751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> m e. ZZ )
91	90	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
92		1zzd 10919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
93		fzaddel 11784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	85, 89, 91, 92, 93	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
95	84, 94	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
96	86	nn0cnd 10878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
97		npcan 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
98	96, 6, 97	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
99	98	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
100	95, 99	eleqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
101	30	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> A e. CC )
102	26	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> D e. CC )
103	91	zcnd 10992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. CC )
104	103, 102	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m x. D ) e. CC )
105	101, 102, 104	addassd 9616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
106		1cnd 9610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
107	103, 106, 102	adddird 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
108	102, 104	addcomd 9786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
109	102	mulid2d 9612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
110	109	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
111	108, 110	eqtr4d 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
112	107, 111	eqtr4d 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( D + ( m x. D ) ) )
113	112	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
114	105, 113	eqtr4d 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
115		ovex 6277	. . . . . . . . . . 11 |- ( m + 1 ) e. _V
116		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) )
117		oveq1 6256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. D ) = ( ( m + 1 ) x. D ) )
118	117	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
119	118	eqeq2d 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) )
120	116, 119	anbi12d 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) ) )
121	115, 120	spcev 3116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
122	100, 114, 121	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
123		eqeq1 2432	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
124	123	anbi2d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
125	124	exbidv 1762	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
126	122, 125	syl5ibrcom 225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
127	126	rexlimdva 2856	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
128	83, 127	impbid 193	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
129		nnaddcl 10582	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
130	129	3adant1 1023	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
131		vdwapval 14866	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ ( A + D ) e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
132	130, 131	syld3an2 1311	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
133	128, 132	bitr4d 259	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
134	40, 133	orbi12d 714	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
135		elun 3549	. . . 4 |- ( x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
136	134, 135	syl6bbr 266	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
137	24, 136	bitrd 256	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
138	137	eqrdv 2426	1 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   E.wrex 2715   u. cun 3377   {csn 3941   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   x. cmul 9495   - cmin 9811   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735  APcvdwa 14858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-vdwap 14861

This theorem is referenced by:  vdwapid1  14868  vdwap1  14870  vdwlem1  14874  vdwlem5  14878  vdwlem8  14881  vdwlem12  14885