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Theorem vdwapun 13297
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10216 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
2 vdwapval 13296 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
31, 2syl3an1 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
4 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
54nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
6 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7 pncan 9267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
98oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... K
) )
109eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  n  e.  ( 0 ... K
) ) )
11 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
124, 11syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfzp12 11081 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( n  e.  ( 0 ... K
)  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... K )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1510, 14bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1615anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) ) )
17 andir 839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( (
n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
1816, 17syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
1918exbidv 1633 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
20 df-rex 2672 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  E. n
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
21 19.43 1612 . . . . . 6  |-  ( E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
2221bicomi 194 . . . . 5  |-  ( ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/ 
E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )  <->  E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
2319, 20, 223bitr4g 280 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
243, 23bitrd 245 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
25 nncn 9964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
26253ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2726mul02d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0  x.  D )  =  0 )
2827oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  ( A  + 
0 ) )
29 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
30293ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
3130addid1d 9222 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
3228, 31eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  A )
3332eqeq2d 2415 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  <->  x  =  A ) )
34 c0ex 9041 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
35 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
n  x.  D )  =  ( 0  x.  D ) )
3635oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) ) )
3736eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) ) )
3834, 37ceqsexv 2951 . . . . . 6  |-  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) )
39 elsn 3789 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
4033, 38, 393bitr4g 280 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  { A } ) )
41 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )
42 0p1e1 10049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4342oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... K )  =  ( 1 ... K
)
4441, 43syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( 1 ... K
) )
45 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  ZZ )
474adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  NN0 )
4847nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  ZZ )
49 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  ->  n  e.  ZZ )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ZZ )
51 fzsubel 11044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... K )  <-> 
( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) ) ) )
5246, 48, 50, 46, 51syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( n  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) ) )
5344, 52mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) )
54 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5554oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) )
5653, 55syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
5750zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  CC )
586a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  CC )
5926adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  D  e.  CC )
6057, 58, 59subdird 9446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
6159mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
6261oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6360, 62eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6463oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( D  +  ( ( n  x.  D
)  -  D ) ) )
6557, 59mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  e.  CC )
6659, 65pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  x.  D )  -  D ) )  =  ( n  x.  D
) )
6764, 66eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  =  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
6867oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
6930adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  A  e.  CC )
70 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7157, 6, 70sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7271, 59mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  e.  CC )
7369, 59, 72addassd 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7468, 73eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
75 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
m  x.  D )  =  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )
7675oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  - 
1 )  x.  D
) ) )
7776eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7877rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( A  +  (
n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) )
7956, 74, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) )
80 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8180rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8279, 81syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8382expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8483exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
85 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
86 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
884adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
8988nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
90 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  ZZ )
92 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9445a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
95 fzaddel 11043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9687, 91, 93, 94, 95syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9785, 96mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
9888nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
99 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10098, 6, 99sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
101100oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10297, 101eleqtrd 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10330adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
10426adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  CC )
10593zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
106105, 104mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  x.  D )  e.  CC )
107103, 104, 106addassd 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1086a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
109105, 108, 104adddird 9069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
110104, 106addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
111104mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
112111oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  x.  D )  +  ( 1  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
113110, 112eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
114109, 113eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( D  +  ( m  x.  D ) ) )
115114oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( A  +  ( ( m  + 
1 )  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
116107, 115eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
117 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
118 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) )
119 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  D )  =  ( ( m  +  1 )  x.  D ) )
120119oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
121120eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) )
122118, 121anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) ) )
123117, 122spcev 3003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
124102, 116, 123syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
125 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
126125anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
127126exbidv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
128124, 127syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
129128rexlimdva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
13084, 129impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
131 nnaddcl 9978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D
)  e.  NN )
1321313adant1 975 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D )  e.  NN )
133 vdwapval 13296 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( A  +  D
)  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  D
) (AP `  K
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
134132, 133syld3an2 1231 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
135130, 134bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
13640, 135orbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( x  e. 
{ A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) ) )
137 elun 3448 . . . 4  |-  ( x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) )  <->  ( x  e.  { A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) )
138136, 137syl6bbr 255 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  x  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  K
) D ) ) ) )
13924, 138bitrd 245 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) ) )
140139eqrdv 2402 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    u. cun 3278   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  APcvdwa 13288
This theorem is referenced by:  vdwapid1  13298  vdwap1  13300  vdwlem1  13304  vdwlem5  13308  vdwlem8  13311  vdwlem12  13315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-vdwap 13291
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