Theorem vdwapun 13297

Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapun	|- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 10216	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
2		vdwapval 13296	. . . . 5 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
3	1, 2	syl3an1 1217	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
4		simp1 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. NN0 )
5	4	nn0cnd 10232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. CC )
6		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		pncan 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
8	5, 6, 7	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
9	8	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... K ) )
10	9	eleq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> n e. ( 0 ... K ) ) )
11		nn0uz 10476	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	4, 11	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfzp12 11081	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
15	10, 14	bitrd 245	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
16	15	anbi1d 686	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
17		andir 839	. . . . . . 7 |- ( ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
18	16, 17	syl6bb 253	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
19	18	exbidv 1633	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
20		df-rex 2672	. . . . 5 |- ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
21		19.43 1612	. . . . . 6 |- ( E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
22	21	bicomi 194	. . . . 5 |- ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
23	19, 20, 22	3bitr4g 280	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 245	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
25		nncn 9964	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. NN -> D e. CC )
26	25	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> D e. CC )
27	26	mul02d 9220	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 x. D ) = 0 )
28	27	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = ( A + 0 ) )
29		nncn 9964	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> A e. CC )
30	29	3ad2ant2 979	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. CC )
31	30	addid1d 9222	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + 0 ) = A )
32	28, 31	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = A )
33	32	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x = ( A + ( 0 x. D ) ) <-> x = A ) )
34		c0ex 9041	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
35		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( n x. D ) = ( 0 x. D ) )
36	35	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( 0 x. D ) ) )
37	36	eqeq2d 2415	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) ) )
38	34, 37	ceqsexv 2951	. . . . . 6 |- ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) )
39		elsn 3789	. . . . . 6 |- ( x e. { A } <-> x = A )
40	33, 38, 39	3bitr4g 280	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. { A } ) )
41		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
42		0p1e1 10049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
43	42	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... K ) = ( 1 ... K )
44	41, 43	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( 1 ... K ) )
45		1z 10267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ZZ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. ZZ )
47	4	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. NN0 )
48	47	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. ZZ )
49		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) -> n e. ZZ )
50	49	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ZZ )
51		fzsubel 11044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
52	46, 48, 50, 46, 51	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
53	44, 52	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) )
54		1m1e0 10024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
55	54	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) = ( 0 ... ( K - 1 ) )
56	53, 55	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
57	50	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. CC )
58	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. CC )
59	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> D e. CC )
60	57, 58, 59	subdird 9446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
61	59	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
62	61	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( n x. D ) - D ) )
63	60, 62	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - D ) )
64	63	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) )
65	57, 59	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) e. CC )
66	59, 65	pncan3d 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) = ( n x. D ) )
67	64, 66	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) = ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
68	67	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
69	30	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> A e. CC )
70		subcl 9261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - 1 ) e. CC )
71	57, 6, 70	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. CC )
72	71, 59	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) e. CC )
73	69, 59, 72	addassd 9066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
74	68, 73	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
75		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( m x. D ) = ( ( n - 1 ) x. D ) )
76	75	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
77	76	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
78	77	rspcev 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) /\ ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
79	56, 74, 78	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
80		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
81	80	rexbidv 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
82	79, 81	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
83	82	expimpd 587	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
84	83	exlimdv 1643	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
85		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
86		0z 10249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
88	4	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
89	88	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
90		peano2zm 10276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
91	89, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
92		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> m e. ZZ )
93	92	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
94	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
95		fzaddel 11043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
96	87, 91, 93, 94, 95	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
97	85, 96	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
98	88	nn0cnd 10232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
99		npcan 9270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
100	98, 6, 99	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
101	100	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
102	97, 101	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
103	30	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> A e. CC )
104	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> D e. CC )
105	93	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. CC )
106	105, 104	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m x. D ) e. CC )
107	103, 104, 106	addassd 9066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
108	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
109	105, 108, 104	adddird 9069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
110	104, 106	addcomd 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
111	104	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
112	111	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
113	110, 112	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
114	109, 113	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( D + ( m x. D ) ) )
115	114	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
116	107, 115	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
117		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( m + 1 ) e. _V
118		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) )
119		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. D ) = ( ( m + 1 ) x. D ) )
120	119	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
121	120	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) )
122	118, 121	anbi12d 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) ) )
123	117, 122	spcev 3003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
124	102, 116, 123	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
125		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
126	125	anbi2d 685	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
127	126	exbidv 1633	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
128	124, 127	syl5ibrcom 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
129	128	rexlimdva 2790	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
130	84, 129	impbid 184	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
131		nnaddcl 9978	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
132	131	3adant1 975	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
133		vdwapval 13296	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ ( A + D ) e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
134	132, 133	syld3an2 1231	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
135	130, 134	bitr4d 248	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
136	40, 135	orbi12d 691	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
137		elun 3448	. . . 4 |- ( x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
138	136, 137	syl6bbr 255	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
139	24, 138	bitrd 245	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
140	139	eqrdv 2402	1 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   u. cun 3278   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  APcvdwa 13288

This theorem is referenced by:  vdwapid1  13298  vdwap1  13300  vdwlem1  13304  vdwlem5  13308  vdwlem8  13311  vdwlem12  13315

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-vdwap 13291