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Theorem vdwapun 14867
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10861 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
2 vdwapval 14866 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
31, 2syl3an1 1297 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
4 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
54nn0cnd 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
6 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7 pncan 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
85, 6, 7sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
98oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... K
) )
109eleq2d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  n  e.  ( 0 ... K
) ) )
11 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
124, 11syl6eleq 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfzp12 11824 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( n  e.  ( 0 ... K
)  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... K )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1510, 14bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1615anbi1d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) ) )
17 andir 876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( (
n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
1816, 17syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
1918exbidv 1762 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
20 df-rex 2720 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  E. n
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
21 19.43 1739 . . . . . 6  |-  ( E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
2221bicomi 205 . . . . 5  |-  ( ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/ 
E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )  <->  E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
2319, 20, 223bitr4g 291 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
243, 23bitrd 256 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
25 nncn 10568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
26253ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2726mul02d 9782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0  x.  D )  =  0 )
2827oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  ( A  + 
0 ) )
29 nncn 10568 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
30293ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
3130addid1d 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
3228, 31eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  A )
3332eqeq2d 2438 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  <->  x  =  A ) )
34 c0ex 9588 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
35 oveq1 6256 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
n  x.  D )  =  ( 0  x.  D ) )
3635oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) ) )
3736eqeq2d 2438 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) ) )
3834, 37ceqsexv 3060 . . . . . 6  |-  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) )
39 elsn 3955 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
4033, 38, 393bitr4g 291 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  { A } ) )
41 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )
42 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4342oveq1i 6259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... K )  =  ( 1 ... K
)
4441, 43syl6eleq 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( 1 ... K
) )
45 1zzd 10919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  ZZ )
464adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  NN0 )
4746nn0zd 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  ZZ )
48 elfzelz 11751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  ->  n  e.  ZZ )
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ZZ )
50 fzsubel 11785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... K )  <-> 
( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) ) ) )
5145, 47, 49, 45, 50syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( n  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) ) )
5244, 51mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) )
53 1m1e0 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5453oveq1i 6259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) )
5552, 54syl6eleq 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
5649zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  CC )
57 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  CC )
5826adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  D  e.  CC )
5956, 57, 58subdird 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
6058mulid2d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
6160oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6259, 61eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6362oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( D  +  ( ( n  x.  D
)  -  D ) ) )
6456, 58mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  e.  CC )
6558, 64pncan3d 9940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  x.  D )  -  D ) )  =  ( n  x.  D
) )
6663, 65eqtr2d 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  =  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
6766oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
6830adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  A  e.  CC )
69 subcl 9825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7056, 6, 69sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7170, 58mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  e.  CC )
7268, 58, 71addassd 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7367, 72eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
74 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
m  x.  D )  =  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )
7574oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  - 
1 )  x.  D
) ) )
7675eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7776rspcev 3125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( A  +  (
n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) )
7855, 73, 77syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) )
79 eqeq1 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8079rexbidv 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8178, 80syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8281expimpd 606 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8382exlimdv 1772 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
84 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
85 0zd 10900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
864adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
8786nn0zd 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
88 peano2zm 10931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  ZZ )
90 elfzelz 11751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
9190adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
92 1zzd 10919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
93 fzaddel 11784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9485, 89, 91, 92, 93syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9584, 94mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
9686nn0cnd 10878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
97 npcan 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
9896, 6, 97sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
9998oveq2d 6265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10095, 99eleqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10130adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
10226adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  CC )
10391zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
104103, 102mulcld 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  x.  D )  e.  CC )
105101, 102, 104addassd 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
106 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
107103, 106, 102adddird 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
108102, 104addcomd 9786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
109102mulid2d 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
110109oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  x.  D )  +  ( 1  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
111108, 110eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
112107, 111eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( D  +  ( m  x.  D ) ) )
113112oveq2d 6265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( A  +  ( ( m  + 
1 )  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
114105, 113eqtr4d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
115 ovex 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
116 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) )
117 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  D )  =  ( ( m  +  1 )  x.  D ) )
118117oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
119118eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) )
120116, 119anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) ) )
121115, 120spcev 3116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
122100, 114, 121syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
123 eqeq1 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
124123anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
125124exbidv 1762 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
126122, 125syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
127126rexlimdva 2856 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
12883, 127impbid 193 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
129 nnaddcl 10582 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D
)  e.  NN )
1301293adant1 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D )  e.  NN )
131 vdwapval 14866 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( A  +  D
)  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  D
) (AP `  K
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
132130, 131syld3an2 1311 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
133128, 132bitr4d 259 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
13440, 133orbi12d 714 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( x  e. 
{ A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) ) )
135 elun 3549 . . . 4  |-  ( x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) )  <->  ( x  e.  { A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) )
136134, 135syl6bbr 266 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  x  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  K
) D ) ) ) )
13724, 136bitrd 256 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) ) )
138137eqrdv 2426 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E.wrex 2715    u. cun 3377   {csn 3941   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9811   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735  APcvdwa 14858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-vdwap 14861
This theorem is referenced by:  vdwapid1  14868  vdwap1  14870  vdwlem1  14874  vdwlem5  14878  vdwlem8  14881  vdwlem12  14885
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