Theorem vdwapun 14344

Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapun	|- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 10832	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
2		vdwapval 14343	. . . . 5 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
3	1, 2	syl3an1 1261	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
4		simp1 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. NN0 )
5	4	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. CC )
6		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		pncan 9822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
9	8	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... K ) )
10	9	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> n e. ( 0 ... K ) ) )
11		nn0uz 11112	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	4, 11	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfzp12 11753	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
15	10, 14	bitrd 253	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
16	15	anbi1d 704	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
17		andir 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
18	16, 17	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
19	18	exbidv 1690	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
20		df-rex 2820	. . . . 5 |- ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
21		19.43 1670	. . . . . 6 |- ( E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
22	21	bicomi 202	. . . . 5 |- ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
23	19, 20, 22	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 253	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
25		nncn 10540	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. NN -> D e. CC )
26	25	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> D e. CC )
27	26	mul02d 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 x. D ) = 0 )
28	27	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = ( A + 0 ) )
29		nncn 10540	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> A e. CC )
30	29	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. CC )
31	30	addid1d 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + 0 ) = A )
32	28, 31	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = A )
33	32	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x = ( A + ( 0 x. D ) ) <-> x = A ) )
34		c0ex 9586	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
35		oveq1 6289	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( n x. D ) = ( 0 x. D ) )
36	35	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( 0 x. D ) ) )
37	36	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) ) )
38	34, 37	ceqsexv 3150	. . . . . 6 |- ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) )
39		elsn 4041	. . . . . 6 |- ( x e. { A } <-> x = A )
40	33, 38, 39	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. { A } ) )
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
42		0p1e1 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
43	42	oveq1i 6292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... K ) = ( 1 ... K )
44	41, 43	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( 1 ... K ) )
45		1zzd 10891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. ZZ )
46	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0zd 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. ZZ )
48		elfzelz 11684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) -> n e. ZZ )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ZZ )
50		fzsubel 11715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
51	45, 47, 49, 45, 50	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
52	44, 51	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) )
53		1m1e0 10600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
54	53	oveq1i 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) = ( 0 ... ( K - 1 ) )
55	52, 54	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
56	49	zcnd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. CC )
57	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. CC )
58	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> D e. CC )
59	56, 57, 58	subdird 10009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
60	58	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
61	60	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( n x. D ) - D ) )
62	59, 61	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - D ) )
63	62	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) )
64	56, 58	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) e. CC )
65	58, 64	pncan3d 9929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) = ( n x. D ) )
66	63, 65	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) = ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
67	66	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
68	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> A e. CC )
69		subcl 9815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - 1 ) e. CC )
70	56, 6, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. CC )
71	70, 58	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) e. CC )
72	68, 58, 71	addassd 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
73	67, 72	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
74		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( m x. D ) = ( ( n - 1 ) x. D ) )
75	74	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
76	75	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
77	76	rspcev 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) /\ ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
78	55, 73, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
79		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
80	79	rexbidv 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
81	78, 80	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
82	81	expimpd 603	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
83	82	exlimdv 1700	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
84		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
85		0zd 10872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
86	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
87	86	nn0zd 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
88		peano2zm 10902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
90		elfzelz 11684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> m e. ZZ )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
92		1zzd 10891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
93		fzaddel 11714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	85, 89, 91, 92, 93	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
95	84, 94	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
96	86	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
97		npcan 9825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
98	96, 6, 97	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
99	98	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
100	95, 99	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
101	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> A e. CC )
102	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> D e. CC )
103	91	zcnd 10963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. CC )
104	103, 102	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m x. D ) e. CC )
105	101, 102, 104	addassd 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
106	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
107	103, 106, 102	adddird 9617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
108	102, 104	addcomd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
109	102	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
110	109	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
111	108, 110	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
112	107, 111	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( D + ( m x. D ) ) )
113	112	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
114	105, 113	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
115		ovex 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( m + 1 ) e. _V
116		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) )
117		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. D ) = ( ( m + 1 ) x. D ) )
118	117	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
119	118	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) )
120	116, 119	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) ) )
121	115, 120	spcev 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
122	100, 114, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
123		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
124	123	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
125	124	exbidv 1690	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
126	122, 125	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
127	126	rexlimdva 2955	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
128	83, 127	impbid 191	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
129		nnaddcl 10554	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
130	129	3adant1 1014	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
131		vdwapval 14343	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ ( A + D ) e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
132	130, 131	syld3an2 1275	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
133	128, 132	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
134	40, 133	orbi12d 709	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
135		elun 3645	. . . 4 |- ( x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
136	134, 135	syl6bbr 263	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
137	24, 136	bitrd 253	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
138	137	eqrdv 2464	1 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E.wrex 2815   u. cun 3474   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  APcvdwa 14335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-vdwap 14338

This theorem is referenced by:  vdwapid1  14345  vdwap1  14347  vdwlem1  14351  vdwlem5  14355  vdwlem8  14358  vdwlem12  14362