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Theorem vdwapun 14027
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10612 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
2 vdwapval 14026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
31, 2syl3an1 1251 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
4 simp1 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
54nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
6 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7 pncan 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
98oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... K
) )
109eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  n  e.  ( 0 ... K
) ) )
11 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
124, 11syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfzp12 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( n  e.  ( 0 ... K
)  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... K )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1510, 14bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1615anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) ) )
17 andir 863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( (
n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
1816, 17syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
1918exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
20 df-rex 2716 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  E. n
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
21 19.43 1660 . . . . . 6  |-  ( E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
2221bicomi 202 . . . . 5  |-  ( ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/ 
E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )  <->  E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
2319, 20, 223bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
243, 23bitrd 253 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
25 nncn 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
26253ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2726mul02d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0  x.  D )  =  0 )
2827oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  ( A  + 
0 ) )
29 nncn 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
30293ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
3130addid1d 9561 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
3228, 31eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  A )
3332eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  <->  x  =  A ) )
34 c0ex 9372 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
35 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
n  x.  D )  =  ( 0  x.  D ) )
3635oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) ) )
3736eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) ) )
3834, 37ceqsexv 3004 . . . . . 6  |-  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) )
39 elsn 3886 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
4033, 38, 393bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  { A } ) )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )
42 0p1e1 10425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4342oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... K )  =  ( 1 ... K
)
4441, 43syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( 1 ... K
) )
45 1zzd 10669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  ZZ )
464adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  NN0 )
4746nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  ZZ )
48 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  ->  n  e.  ZZ )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ZZ )
50 fzsubel 11486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... K )  <-> 
( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) ) ) )
5145, 47, 49, 45, 50syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( n  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) ) )
5244, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) )
53 1m1e0 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5453oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) )
5552, 54syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
5649zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  CC )
576a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  CC )
5826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  D  e.  CC )
5956, 57, 58subdird 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
6058mulid2d 9396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
6160oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6259, 61eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6362oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( D  +  ( ( n  x.  D
)  -  D ) ) )
6456, 58mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  e.  CC )
6558, 64pncan3d 9714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  x.  D )  -  D ) )  =  ( n  x.  D
) )
6663, 65eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  =  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
6766oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
6830adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  A  e.  CC )
69 subcl 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7056, 6, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7170, 58mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  e.  CC )
7268, 58, 71addassd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7367, 72eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
74 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
m  x.  D )  =  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )
7574oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  - 
1 )  x.  D
) ) )
7675eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7776rspcev 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( A  +  (
n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) )
7855, 73, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) )
79 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8079rexbidv 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8178, 80syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8281expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8382exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
85 0zd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
864adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
8786nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
88 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  ZZ )
90 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
92 1zzd 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
93 fzaddel 11485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9485, 89, 91, 92, 93syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9584, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
9686nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
97 npcan 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
9896, 6, 97sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
9998oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10095, 99eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
10226adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  CC )
10391zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
104103, 102mulcld 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  x.  D )  e.  CC )
105101, 102, 104addassd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
107103, 106, 102adddird 9403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
108102, 104addcomd 9563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
109102mulid2d 9396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
110109oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  x.  D )  +  ( 1  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
111108, 110eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
112107, 111eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( D  +  ( m  x.  D ) ) )
113112oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( A  +  ( ( m  + 
1 )  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
114105, 113eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
115 ovex 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
116 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) )
117 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  D )  =  ( ( m  +  1 )  x.  D ) )
118117oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
119118eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) )
120116, 119anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) ) )
121115, 120spcev 3059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
122100, 114, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
123 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
124123anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
125124exbidv 1680 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
126122, 125syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
127126rexlimdva 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
12883, 127impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
129 nnaddcl 10336 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D
)  e.  NN )
1301293adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D )  e.  NN )
131 vdwapval 14026 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( A  +  D
)  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  D
) (AP `  K
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
132130, 131syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
133128, 132bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
13440, 133orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( x  e. 
{ A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) ) )
135 elun 3492 . . . 4  |-  ( x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) )  <->  ( x  e.  { A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) )
136134, 135syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  x  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  K
) D ) ) ) )
13724, 136bitrd 253 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) ) )
138137eqrdv 2436 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2711    u. cun 3321   {csn 3872   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  APcvdwa 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-vdwap 14021
This theorem is referenced by:  vdwapid1  14028  vdwap1  14030  vdwlem1  14034  vdwlem5  14038  vdwlem8  14041  vdwlem12  14045
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