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Theorem vdwapun 14504
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10857 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
2 vdwapval 14503 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
31, 2syl3an1 1261 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  E. n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
4 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
54nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
6 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7 pncan 9845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  + 
1 )  -  1 )  =  K )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( K  +  1 )  -  1 )  =  K )
98oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... K
) )
109eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  n  e.  ( 0 ... K
) ) )
11 nn0uz 11140 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
124, 11syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 elfzp12 11783 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( n  e.  ( 0 ... K
)  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... K )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1510, 14bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) ) )
1615anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) ) )
17 andir 868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  =  0  \/  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( (
n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
1816, 17syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
1918exbidv 1715 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( 0 ... (
( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) ) )
20 df-rex 2813 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  E. n
( n  e.  ( 0 ... ( ( K  +  1 )  -  1 ) )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
21 19.43 1694 . . . . . 6  |-  ( E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) )
2221bicomi 202 . . . . 5  |-  ( ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/ 
E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )  <->  E. n ( ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) )  \/  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
2319, 20, 223bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( ( K  +  1 )  - 
1 ) ) x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
243, 23bitrd 253 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) ) ) ) )
25 nncn 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
26253ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  D  e.  CC )
2726mul02d 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
0  x.  D )  =  0 )
2827oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  ( A  + 
0 ) )
29 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
30293ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
3130addid1d 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
3228, 31eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  =  A )
3332eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) )  <->  x  =  A ) )
34 c0ex 9607 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
35 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
n  x.  D )  =  ( 0  x.  D ) )
3635oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( 0  x.  D ) ) )
3736eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) ) )
3834, 37ceqsexv 3146 . . . . . 6  |-  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  =  ( A  +  (
0  x.  D ) ) )
39 elsn 4046 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
4033, 38, 393bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  { A } ) )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) )
42 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4342oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... K )  =  ( 1 ... K
)
4441, 43syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ( 1 ... K
) )
45 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  ZZ )
464adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  NN0 )
4746nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  K  e.  ZZ )
48 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  ->  n  e.  ZZ )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  ZZ )
50 fzsubel 11745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... K )  <-> 
( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) ) ) )
5145, 47, 49, 45, 50syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( n  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) ) )
5244, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  -  1 ) ) )
53 1m1e0 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5453oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( K  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) )
5552, 54syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
5649zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  n  e.  CC )
57 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  1  e.  CC )
5826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  D  e.  CC )
5956, 57, 58subdird 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
6058mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
6160oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6259, 61eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  =  ( ( n  x.  D )  -  D
) )
6362oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( D  +  ( ( n  x.  D
)  -  D ) ) )
6456, 58mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  e.  CC )
6558, 64pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( D  +  ( ( n  x.  D )  -  D ) )  =  ( n  x.  D
) )
6663, 65eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  x.  D )  =  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
6766oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
6830adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  A  e.  CC )
69 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7056, 6, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
7170, 58mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( (
n  -  1 )  x.  D )  e.  CC )
7268, 58, 71addassd 9635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )  =  ( A  +  ( D  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7367, 72eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )
74 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
m  x.  D )  =  ( ( n  -  1 )  x.  D ) )
7574oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  - 
1 )  x.  D
) ) )
7675eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) ) )
7776rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( A  +  (
n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( ( n  -  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) )
7855, 73, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) )
79 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  <->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8079rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( A  +  ( n  x.  D
) )  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8178, 80syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... K ) )  ->  ( x  =  ( A  +  ( n  x.  D
) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8281expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
8382exlimdv 1725 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
85 0zd 10897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
864adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
8786nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
88 peano2zm 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  ZZ )
90 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
92 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
93 fzaddel 11744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9485, 89, 91, 92, 93syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  <->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9584, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
9686nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
97 npcan 9848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
9896, 6, 97sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
9998oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10095, 99eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) )
10130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
10226adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  CC )
10391zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
104103, 102mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( m  x.  D )  e.  CC )
105101, 102, 104addassd 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
106 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
107103, 106, 102adddird 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
108102, 104addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
109102mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
110109oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  x.  D )  +  ( 1  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  D ) )
111108, 110eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( D  +  ( m  x.  D
) )  =  ( ( m  x.  D
)  +  ( 1  x.  D ) ) )
112107, 111eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  D )  =  ( D  +  ( m  x.  D ) ) )
113112oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( A  +  ( ( m  + 
1 )  x.  D
) )  =  ( A  +  ( D  +  ( m  x.  D ) ) ) )
114105, 113eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
115 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
116 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
) ) )
117 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  x.  D )  =  ( ( m  +  1 )  x.  D ) )
118117oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  +  ( n  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )
119118eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) )
120116, 119anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) ) ) )
121115, 120spcev 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( ( m  +  1 )  x.  D ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
122100, 114, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  (
( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D
) ) ) )
123 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) )  <->  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )
124123anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  (
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
125124exbidv 1715 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
126122, 125syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  /\  m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) )  ->  ( x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D ) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
127126rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( A  +  D )  +  ( m  x.  D
) )  ->  E. n
( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) ) )
12883, 127impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
129 nnaddcl 10578 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D
)  e.  NN )
1301293adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D )  e.  NN )
131 vdwapval 14503 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( A  +  D
)  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  D
) (AP `  K
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
132130, 131syld3an2 1275 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( A  +  D
)  +  ( m  x.  D ) ) ) )
133128, 132bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K
)  /\  x  =  ( A  +  (
n  x.  D ) ) )  <->  x  e.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
13440, 133orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  ( x  e. 
{ A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) ) )
135 elun 3641 . . . 4  |-  ( x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) )  <->  ( x  e.  { A }  \/  x  e.  ( ( A  +  D )
(AP `  K ) D ) ) )
136134, 135syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( E. n ( n  =  0  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) )  \/  E. n ( n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K )  /\  x  =  ( A  +  ( n  x.  D ) ) ) )  <->  x  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  K
) D ) ) ) )
13724, 136bitrd 253 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  <->  x  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) ) )
138137eqrdv 2454 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( K  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  K ) D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E.wrex 2808    u. cun 3469   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  APcvdwa 14495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-vdwap 14498
This theorem is referenced by:  vdwapid1  14505  vdwap1  14507  vdwlem1  14511  vdwlem5  14515  vdwlem8  14518  vdwlem12  14522
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