Theorem vdwapun 14152

Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapun	|- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Proof of Theorem vdwapun

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 10730	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
2		vdwapval 14151	. . . . 5 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
3	1, 2	syl3an1 1252	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
4		simp1 988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. NN0 )
5	4	nn0cnd 10748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. CC )
6		ax-1cn 9450	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		pncan 9726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( K + 1 ) - 1 ) = K )
9	8	oveq2d 6215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... K ) )
10	9	eleq2d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> n e. ( 0 ... K ) ) )
11		nn0uz 11005	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	4, 11	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
13		elfzp12 11655	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... K ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
15	10, 14	bitrd 253	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) <-> ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) ) )
16	15	anbi1d 704	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
17		andir 863	. . . . . . 7 |- ( ( ( n = 0 \/ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
18	16, 17	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
19	18	exbidv 1681	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
20		df-rex 2804	. . . . 5 |- ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> E. n ( n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) )
21		19.43 1661	. . . . . 6 |- ( E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
22	21	bicomi 202	. . . . 5 |- ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> E. n ( ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
23	19, 20, 22	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( ( K + 1 ) - 1 ) ) x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
24	3, 23	bitrd 253	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) ) )
25		nncn 10440	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. NN -> D e. CC )
26	25	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> D e. CC )
27	26	mul02d 9677	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 x. D ) = 0 )
28	27	oveq2d 6215	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = ( A + 0 ) )
29		nncn 10440	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> A e. CC )
30	29	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. CC )
31	30	addid1d 9679	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + 0 ) = A )
32	28, 31	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + ( 0 x. D ) ) = A )
33	32	eqeq2d 2468	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x = ( A + ( 0 x. D ) ) <-> x = A ) )
34		c0ex 9490	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
35		oveq1 6206	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( n x. D ) = ( 0 x. D ) )
36	35	oveq2d 6215	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( 0 x. D ) ) )
37	36	eqeq2d 2468	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) ) )
38	34, 37	ceqsexv 3113	. . . . . 6 |- ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x = ( A + ( 0 x. D ) ) )
39		elsn 3998	. . . . . 6 |- ( x e. { A } <-> x = A )
40	33, 38, 39	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. { A } ) )
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
42		0p1e1 10543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
43	42	oveq1i 6209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... K ) = ( 1 ... K )
44	41, 43	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ( 1 ... K ) )
45		1zzd 10787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. ZZ )
46	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0zd 10855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> K e. ZZ )
48		elfzelz 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) -> n e. ZZ )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. ZZ )
50		fzsubel 11610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
51	45, 47, 49, 45, 50	syl22anc 1220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) <-> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) ) )
52	44, 51	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) )
53		1m1e0 10500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
54	53	oveq1i 6209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( K - 1 ) ) = ( 0 ... ( K - 1 ) )
55	52, 54	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
56	49	zcnd 10858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> n e. CC )
57	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> 1 e. CC )
58	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> D e. CC )
59	56, 57, 58	subdird 9911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) )
60	58	mulid2d 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
61	60	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n x. D ) - ( 1 x. D ) ) = ( ( n x. D ) - D ) )
62	59, 61	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) = ( ( n x. D ) - D ) )
63	62	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) )
64	56, 58	mulcld 9516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) e. CC )
65	58, 64	pncan3d 9832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( D + ( ( n x. D ) - D ) ) = ( n x. D ) )
66	63, 65	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n x. D ) = ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
67	66	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
68	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> A e. CC )
69		subcl 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - 1 ) e. CC )
70	56, 6, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( n - 1 ) e. CC )
71	70, 58	mulcld 9516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( n - 1 ) x. D ) e. CC )
72	68, 58, 71	addassd 9518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
73	67, 72	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
74		oveq1 6206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( m x. D ) = ( ( n - 1 ) x. D ) )
75	74	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) )
76	75	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) )
77	76	rspcev 3177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n - 1 ) e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) /\ ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( ( n - 1 ) x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
78	55, 73, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) )
79		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
80	79	rexbidv 2864	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( A + ( n x. D ) ) = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
81	78, 80	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
82	81	expimpd 603	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
83	82	exlimdv 1691	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) -> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
84		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
85		0zd 10768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
86	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
87	86	nn0zd 10855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
88		peano2zm 10798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
90		elfzelz 11569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> m e. ZZ )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
92		1zzd 10787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
93		fzaddel 11609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) /\ ( m e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	85, 89, 91, 92, 93	syl22anc 1220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) )
95	84, 94	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
96	86	nn0cnd 10748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
97		npcan 9729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
98	96, 6, 97	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
99	98	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
100	95, 99	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) )
101	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> A e. CC )
102	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> D e. CC )
103	91	zcnd 10858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> m e. CC )
104	103, 102	mulcld 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( m x. D ) e. CC )
105	101, 102, 104	addassd 9518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
106	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
107	103, 106, 102	adddird 9521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
108	102, 104	addcomd 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
109	102	mulid2d 9514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 x. D ) = D )
110	109	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) = ( ( m x. D ) + D ) )
111	108, 110	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( D + ( m x. D ) ) = ( ( m x. D ) + ( 1 x. D ) ) )
112	107, 111	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) x. D ) = ( D + ( m x. D ) ) )
113	112	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) = ( A + ( D + ( m x. D ) ) ) )
114	105, 113	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
115		ovex 6224	. . . . . . . . . . 11 |- ( m + 1 ) e. _V
116		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) <-> ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ) )
117		oveq1 6206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n x. D ) = ( ( m + 1 ) x. D ) )
118	117	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( A + ( n x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) )
119	118	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) )
120	116, 119	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) ) )
121	115, 120	spcev 3168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( ( m + 1 ) x. D ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
122	100, 114, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
123		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( x = ( A + ( n x. D ) ) <-> ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) )
124	123	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
125	124	exbidv 1681	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
126	122, 125	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
127	126	rexlimdva 2945	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) -> E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) )
128	83, 127	impbid 191	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
129		nnaddcl 10454	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
130	129	3adant1 1006	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A + D ) e. NN )
131		vdwapval 14151	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ ( A + D ) e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
132	130, 131	syld3an2 1266	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) <-> E. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) x = ( ( A + D ) + ( m x. D ) ) ) )
133	128, 132	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) <-> x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
134	40, 133	orbi12d 709	. . . 4 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
135		elun 3604	. . . 4 |- ( x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) <-> ( x e. { A } \/ x e. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )
136	134, 135	syl6bbr 263	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( E. n ( n = 0 /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) \/ E. n ( n e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) /\ x = ( A + ( n x. D ) ) ) ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
137	24, 136	bitrd 253	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( x e. ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) <-> x e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) ) )
138	137	eqrdv 2451	1 |- ( ( K e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( K + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` K ) D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E.wrex 2799   u. cun 3433   {csn 3984   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392   1c1 9393   + caddc 9395   x. cmul 9397   - cmin 9705   NNcn 10432   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   ...cfz 11553  APcvdwa 14143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-vdwap 14146

This theorem is referenced by:  vdwapid1  14153  vdwap1  14155  vdwlem1  14159  vdwlem5  14163  vdwlem8  14166  vdwlem12  14170