MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapid1 Structured version   Unicode version

Theorem vdwapid1 14702
Description: The first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapid1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  ( A (AP `  K ) D ) )

Proof of Theorem vdwapid1
StepHypRef Expression
1 ssun1 3606 . . 3  |-  { A }  C_  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  ( K  -  1 ) ) D ) )
2 snssg 4105 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) )  <->  { A }  C_  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) ) ) )
323ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) )  <->  { A }  C_  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) ) ) )
41, 3mpbiri 233 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
5 nncn 10584 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
653ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
7 ax-1cn 9580 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
8 npcan 9865 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
96, 7, 8sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
109fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (AP `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  (AP
`  K ) )
1110oveqd 6295 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) D )  =  ( A (AP `  K
) D ) )
12 nnm1nn0 10878 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
13 vdwapun 14701 . . . 4  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
1412, 13syl3an1 1263 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
1511, 14eqtr3d 2445 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  K ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
164, 15eleqtrrd 2493 1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  ( A (AP `  K ) D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3412    C_ wss 3414   {csn 3972   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   1c1 9523    + caddc 9525    - cmin 9841   NNcn 10576   NN0cn0 10836  APcvdwa 14692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-vdwap 14695
This theorem is referenced by:  vdwmc2  14706  vdwlem5  14712  vdwlem6  14713  vdwlem8  14715  vdwlem9  14716  vdwlem11  14718
  Copyright terms: Public domain W3C validator