MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapid1 Structured version   Unicode version

Theorem vdwapid1 14057
Description: The first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapid1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  ( A (AP `  K ) D ) )

Proof of Theorem vdwapid1
StepHypRef Expression
1 ssun1 3540 . . 3  |-  { A }  C_  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  ( K  -  1 ) ) D ) )
2 snssg 4028 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) )  <->  { A }  C_  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) ) ) )
323ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  e.  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) )  <->  { A }  C_  ( { A }  u.  (
( A  +  D
) (AP `  ( K  -  1 ) ) D ) ) ) )
41, 3mpbiri 233 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
5 nncn 10351 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
653ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
7 ax-1cn 9361 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
8 npcan 9640 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
109fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (AP `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) )  =  (AP
`  K ) )
1110oveqd 6129 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) D )  =  ( A (AP `  K
) D ) )
12 nnm1nn0 10642 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
13 vdwapun 14056 . . . 4  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
1412, 13syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
1511, 14eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  K ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP `  ( K  -  1
) ) D ) ) )
164, 15eleqtrrd 2520 1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  A  e.  ( A (AP `  K ) D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3347    C_ wss 3349   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    - cmin 9616   NNcn 10343   NN0cn0 10600  APcvdwa 14047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-vdwap 14050
This theorem is referenced by:  vdwmc2  14061  vdwlem5  14067  vdwlem6  14068  vdwlem8  14070  vdwlem9  14071  vdwlem11  14073
  Copyright terms: Public domain W3C validator