MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwap1 Structured version   Unicode version

Theorem vdwap1 14706
Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwap1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
1 ) D )  =  { A }
)

Proof of Theorem vdwap1
StepHypRef Expression
1 1e0p1 11049 . . . . 5  |-  1  =  ( 0  +  1 )
21fveq2i 5854 . . . 4  |-  (AP ` 
1 )  =  (AP
`  ( 0  +  1 ) )
32oveqi 6293 . . 3  |-  ( A (AP `  1 ) D )  =  ( A (AP `  (
0  +  1 ) ) D )
4 0nn0 10853 . . . 4  |-  0  e.  NN0
5 vdwapun 14703 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( 0  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP ` 
0 ) D ) ) )
64, 5mp3an1 1315 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP `  ( 0  +  1 ) ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  0 ) D ) ) )
73, 6syl5eq 2457 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
1 ) D )  =  ( { A }  u.  ( ( A  +  D )
(AP `  0 ) D ) ) )
8 nnaddcl 10600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  +  D
)  e.  NN )
9 vdwap0 14705 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  D
)  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( A  +  D ) (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )
108, 9sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( ( A  +  D ) (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )
1110uneq2d 3599 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP ` 
0 ) D ) )  =  ( { A }  u.  (/) ) )
12 un0 3766 . . 3  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
1311, 12syl6eq 2461 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( { A }  u.  ( ( A  +  D ) (AP ` 
0 ) D ) )  =  { A } )
147, 13eqtrd 2445 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
1 ) D )  =  { A }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    u. cun 3414   (/)c0 3740   {csn 3974   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527   NNcn 10578   NN0cn0 10838  APcvdwa 14694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-vdwap 14697
This theorem is referenced by:  vdwlem12  14721  vdwlem13  14722
  Copyright terms: Public domain W3C validator