MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwap0 Structured version   Unicode version

Theorem vdwap0 14349
Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwap0  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )

Proof of Theorem vdwap0
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3789 . . . . . 6  |-  -.  m  e.  (/)
21pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( m  e.  (/)  ->  -.  x  =  ( A  +  ( m  x.  D
) ) )
3 0re 9592 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
4 ltm1 10378 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <  0
6 0z 10871 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 peano2zm 10902 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
9 fzn 11698 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) ) )
106, 8, 9mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
115, 10mpbi 208 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
122, 11eleq2s 2575 . . . 4  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  ->  -.  x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) )
1312nrex 2919 . . 3  |-  -.  E. m  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D
) )
14 0nn0 10806 . . . 4  |-  0  e.  NN0
15 vdwapval 14346 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  0 ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1614, 15mp3an1 1311 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A (AP `  0
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1713, 16mtbiri 303 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  -.  x  e.  ( A (AP `  0
) D ) )
1817eq0rdv 3820 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11668  APcvdwa 14338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-vdwap 14341
This theorem is referenced by:  vdwap1  14350  vdwmc2  14352  vdwlem13  14366
  Copyright terms: Public domain W3C validator