MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwap0 Structured version   Unicode version

Theorem vdwap0 14519
Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwap0  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )

Proof of Theorem vdwap0
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3732 . . . . . 6  |-  -.  m  e.  (/)
21pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( m  e.  (/)  ->  -.  x  =  ( A  +  ( m  x.  D
) ) )
3 0re 9529 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
4 ltm1 10321 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <  0
6 0z 10814 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 peano2zm 10846 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
9 fzn 11645 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) ) )
106, 8, 9mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
115, 10mpbi 208 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
122, 11eleq2s 2504 . . . 4  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  ->  -.  x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) )
1312nrex 2851 . . 3  |-  -.  E. m  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D
) )
14 0nn0 10749 . . . 4  |-  0  e.  NN0
15 vdwapval 14516 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  0 ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1614, 15mp3an1 1309 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A (AP `  0
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1713, 16mtbiri 301 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  -.  x  e.  ( A (AP `  0
) D ) )
1817eq0rdv 3764 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   E.wrex 2747   (/)c0 3728   class class class wbr 4384   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    + caddc 9428    x. cmul 9430    < clt 9561    - cmin 9740   NNcn 10474   NN0cn0 10734   ZZcz 10803   ...cfz 11615  APcvdwa 14508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-vdwap 14511
This theorem is referenced by:  vdwap1  14520  vdwmc2  14522  vdwlem13  14536
  Copyright terms: Public domain W3C validator