MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwap0 Structured version   Unicode version

Theorem vdwap0 14139
Description: Value of a length-1 arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwap0  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )

Proof of Theorem vdwap0
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3739 . . . . . 6  |-  -.  m  e.  (/)
21pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( m  e.  (/)  ->  -.  x  =  ( A  +  ( m  x.  D
) ) )
3 0re 9487 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
4 ltm1 10270 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <  0
6 0z 10758 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 peano2zm 10789 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
9 fzn 11567 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) ) )
106, 8, 9mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/) )
115, 10mpbi 208 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
122, 11eleq2s 2559 . . . 4  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  ->  -.  x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) )
1312nrex 2914 . . 3  |-  -.  E. m  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D
) )
14 0nn0 10695 . . . 4  |-  0  e.  NN0
15 vdwapval 14136 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A (AP `  0 ) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1614, 15mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A (AP `  0
) D )  <->  E. m  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) x  =  ( A  +  ( m  x.  D ) ) ) )
1713, 16mtbiri 303 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  -.  x  e.  ( A (AP `  0
) D ) )
1817eq0rdv 3770 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( A (AP ` 
0 ) D )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   (/)c0 3735   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    - cmin 9696   NNcn 10423   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ...cfz 11538  APcvdwa 14128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-vdwap 14131
This theorem is referenced by:  vdwap1  14140  vdwmc2  14142  vdwlem13  14156
  Copyright terms: Public domain W3C validator