MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdw Structured version   Unicode version

Theorem vdw 14721
Description: Van der Waerden's theorem. For any finite coloring 
R and integer  K, there is an  N such that every coloring function from  1 ... N to  R contains a monochromatic arithmetic progression (which written out in full means that there is a color  c and base, increment values  a ,  d such that all the numbers  a ,  a  +  d ,  ... ,  a  +  ( k  -  1 ) d lie in the preimage of  {
c }, i.e. they are all in  1 ... N and  f evaluated at each one yields  c). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdw  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' f " {
c } ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, f, m, n, K    R, a, c, d, f, n
Allowed substitution hint:    R( m)

Proof of Theorem vdw
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
2 simpr 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
31, 2vdwlem13 14720 . 2  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
4 ovex 6306 . . . . 5  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
5 simpllr 761 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
6 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  Fin )
7 elmapg 7470 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
86, 4, 7sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) )  <-> 
f : ( 1 ... n ) --> R ) )
98biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f :
( 1 ... n
) --> R )
10 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  n  e.  NN )
11 nnuz 11162 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1210, 11syl6eleq 2500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
13 eluzfz1 11747 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... n
) )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  1  e.  ( 1 ... n
) )
154, 5, 9, 14vdwmc2 14706 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  ( K MonoAP  f  <->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } ) ) )
1615ralbidva 2840 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } ) ) )
1716rexbidva 2915 . 2  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } ) ) )
183, 17mpbid 210 1  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' f " {
c } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059   {csn 3972   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527    - cmin 9841   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   MonoAP cvdwm 14693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-hash 12453  df-vdwap 14695  df-vdwmc 14696  df-vdwpc 14697
This theorem is referenced by:  vdwnnlem1  14722
  Copyright terms: Public domain W3C validator