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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > vdusgraval | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The value of the vertex degree function for simple undirected graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
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vdusgraval |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | usgranloop0 25100 |
. 2
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2 | usgrafun 25069 |
. . . . . . 7
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3 | usgrav 25058 |
. . . . . . 7
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4 | funfn 5610 |
. . . . . . . 8
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5 | simpl 459 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | 5 | adantl 468 |
. . . . . . . . . 10
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7 | simpl 459 |
. . . . . . . . . 10
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8 | dmexg 6721 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 8 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | 9 | adantl 468 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 6, 7, 10 | 3jca 1187 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | ex 436 |
. . . . . . . 8
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13 | 4, 12 | sylbi 199 |
. . . . . . 7
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14 | 2, 3, 13 | sylc 62 |
. . . . . 6
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15 | 14 | anim1i 571 |
. . . . 5
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16 | vdgrval 25617 |
. . . . 5
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17 | fveq2 5863 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | hash0 12545 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 17, 18 | syl6eq 2500 |
. . . . . . . . . 10
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20 | oveq2 6296 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 20 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 3 | simprd 465 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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23 | rabexg 4552 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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24 | 22, 8, 23 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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25 | 24 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . 13
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26 | hashxrcl 12536 |
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27 | xaddid1 11529 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 25, 26, 27 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 21, 28 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | ex 436 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 19, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | com12 32 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | adantl 468 |
. . . . . . 7
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34 | eqeq1 2454 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | adantr 467 |
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36 | 33, 35 | sylibrd 238 |
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37 | 36 | ex 436 |
. . . . 5
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39 | 38 | com12 32 |
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40 | 39 | anabsi5 825 |
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41 | 1, 40 | mpd 15 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 ax-pre-mulgt0 9613 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rmo 2744 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-riota 6250 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-oadd 7183 df-er 7360 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-fin 7570 df-card 8370 df-cda 8595 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-sub 9859 df-neg 9860 df-nn 10607 df-2 10665 df-n0 10867 df-z 10935 df-uz 11157 df-xadd 11407 df-fz 11782 df-hash 12513 df-usgra 25053 df-vdgr 25615 |
This theorem is referenced by: vdusgra0nedg 25629 hashnbgravd 25633 hashnbgravdg 25634 usgravd0nedg 25639 vdn0frgrav2 25744 vdgn0frgrav2 25745 vdn1frgrav2 25746 vdgn1frgrav2 25747 |
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