MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdusgra0nedg Structured version   Unicode version

Theorem vdusgra0nedg 24584
Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdusgra0nedg  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  U )  =  0  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    v, E    v, U    v, V

Proof of Theorem vdusgra0nedg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdusgraval 24583 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  U )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } ) )
213adant3 1016 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( V VDeg  E ) `  U )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } ) )
32eqeq1d 2469 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  U )  =  0  <->  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) } )  =  0 ) )
4 dmfi 7799 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
5 rabfi 7741 . . . . . 6  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
763ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
8 hasheq0 12397 . . . 4  |-  ( { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
10 rabeq0 3807 . . . 4  |-  ( { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  U  e.  ( E `  x
) )
11 ralnex 2910 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  E  -.  U  e.  ( E `  x )  <->  -.  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `  x
) )
12 usgrafun 24025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
13123ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  Fun  E )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  Fun  E )
15 elrnrexdm 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  ->  ( { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E { U ,  v }  =  ( E `  x ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E { U ,  v }  =  ( E `  x ) ) )
17 prid1g 4133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  v } )
18 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  x )  =  { U , 
v }  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  { U ,  v } ) )
1918eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  { U ,  v } ) )
2017, 19syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  U  e.  ( E `  x
) ) )
21203ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  U  e.  ( E `  x
) ) )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  U  e.  ( E `  x
) ) )
2322reximdv 2937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( E. x  e.  dom  E { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `  x
) ) )
2416, 23syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `  x
) ) )
2524rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `
 x ) ) )
2625con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `
 x )  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
2711, 26syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( A. x  e.  dom  E  -.  U  e.  ( E `  x )  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
2810, 27syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
299, 28sylbid 215 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =  0  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
303, 29sylbid 215 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  U )  =  0  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   (/)c0 3785   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   0cc0 9488   #chash 12369   USGrph cusg 24006   VDeg cvdg 24569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-vdgr 24570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator