MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdusgra0nedg Structured version   Unicode version

Theorem vdusgra0nedg 25110
Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdusgra0nedg  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  U )  =  0  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    v, E    v, U    v, V

Proof of Theorem vdusgra0nedg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdusgraval 25109 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  U )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } ) )
213adant3 1014 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( V VDeg  E ) `  U )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } ) )
32eqeq1d 2456 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  U )  =  0  <->  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) } )  =  0 ) )
4 dmfi 7795 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
5 rabfi 7737 . . . . . 6  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
763ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
8 hasheq0 12416 . . . 4  |-  ( { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
10 rabeq0 3806 . . . 4  |-  ( { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  U  e.  ( E `  x
) )
11 ralnex 2900 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  E  -.  U  e.  ( E `  x )  <->  -.  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `  x
) )
12 usgrafun 24551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
13123ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  Fun  E )
1413adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  Fun  E )
15 elrnrexdm 6011 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  ->  ( { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E { U ,  v }  =  ( E `  x ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E { U ,  v }  =  ( E `  x ) ) )
17 prid1g 4122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  v } )
18 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  x )  =  { U , 
v }  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  { U ,  v } ) )
1918eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  { U ,  v } ) )
2017, 19syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  U  e.  ( E `  x
) ) )
21203ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  U  e.  ( E `  x
) ) )
2221adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  U  e.  ( E `  x
) ) )
2322reximdv 2928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( E. x  e.  dom  E { U ,  v }  =  ( E `  x )  ->  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `  x
) ) )
2416, 23syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e.  Fin )  /\  v  e.  V
)  ->  ( { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `  x
) ) )
2524rexlimdva 2946 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E  ->  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `
 x ) ) )
2625con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  dom  E  U  e.  ( E `
 x )  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
2711, 26syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( A. x  e.  dom  E  -.  U  e.  ( E `  x )  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
2810, 27syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  ( { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
299, 28sylbid 215 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =  0  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
303, 29sylbid 215 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  U )  =  0  ->  -.  E. v  e.  V  { U ,  v }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   (/)c0 3783   {cpr 4018   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ran crn 4989   Fun wfun 5564   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   0cc0 9481   #chash 12387   USGrph cusg 24532   VDeg cvdg 25095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-fz 11676  df-hash 12388  df-usgra 24535  df-vdgr 25096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator