Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdn1frgrav2 Structured version   Unicode version

Theorem vdn1frgrav2 25324
 Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdn1frgrav2 FriendGrph VDeg

Proof of Theorem vdn1frgrav2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25291 . . . . . . 7 FriendGrph USGrph
213ad2ant1 1016 . . . . . 6 FriendGrph USGrph
3 simp3 997 . . . . . 6 FriendGrph
4 simp2 996 . . . . . 6 FriendGrph
52, 3, 43jca 1175 . . . . 5 FriendGrph USGrph
65adantr 463 . . . 4 FriendGrph USGrph
7 vdusgraval 25206 . . . . 5 USGrph VDeg
873adant3 1015 . . . 4 USGrph VDeg
96, 8syl 17 . . 3 FriendGrph VDeg
10 3cyclfrgrarn2 25313 . . . . . 6 FriendGrph
11103ad2antl1 1157 . . . . 5 FriendGrph
12 preq1 4048 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 preq2 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15
1613, 153anbi13d 1301 . . . . . . . . . . . . . 14
1716anbi2d 702 . . . . . . . . . . . . 13
18172rexbidv 2922 . . . . . . . . . . . 12
1918rspcva 3155 . . . . . . . . . . 11
201adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph USGrph
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
22 simplll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
23 3simpb 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
25 usgra2edg1 24682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
2620, 21, 22, 24, 25syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
2928ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
3029ex 432 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
3231rexlimivv 2898 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
3319, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
3433ex 432 . . . . . . . . 9 FriendGrph
3534pm2.43a 48 . . . . . . . 8 FriendGrph
3635com25 91 . . . . . . 7 FriendGrph
3736com13 80 . . . . . 6 FriendGrph
38373imp1 1208 . . . . 5 FriendGrph
3911, 38mpd 15 . . . 4 FriendGrph
40 dmfi 7755 . . . . . . . . . 10
41403ad2ant2 1017 . . . . . . . . 9 FriendGrph
4241adantr 463 . . . . . . . 8 FriendGrph
43 rabexg 4541 . . . . . . . 8
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 FriendGrph
45 hash1snb 12433 . . . . . . 7
4644, 45syl 17 . . . . . 6 FriendGrph
47 reusn 4042 . . . . . 6
4846, 47syl6bbr 263 . . . . 5 FriendGrph
4948necon3abid 2647 . . . 4 FriendGrph
5039, 49mpbird 232 . . 3 FriendGrph
519, 50eqnetrd 2694 . 2 FriendGrph VDeg
5251ex 432 1 FriendGrph VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 972   wceq 1403  wex 1631   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  wrex 2752  wreu 2753  crab 2755  cvv 3056  csn 3969  cpr 3971   class class class wbr 4392   cdm 4940   crn 4941  cfv 5523  (class class class)co 6232  cfn 7472  c1 9441   clt 9576  chash 12357   USGrph cusg 24629   VDeg cvdg 25192   FriendGrph cfrgra 25287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-xadd 11288  df-fz 11642  df-hash 12358  df-usgra 24632  df-vdgr 25193  df-frgra 25288 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator