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Theorem vdn1frgrav2 25152
Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdn1frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  1 ) )

Proof of Theorem vdn1frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25119 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
213ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  V USGrph  E )
3 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
4 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
52, 3, 43jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
7 vdusgraval 25034 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
873adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
96, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
10 3cyclfrgrarn2 25141 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
11103ad2antl1 1158 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
12 preq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1312eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
14 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1514eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1613, 153anbi13d 1301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  N  ->  (
( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) ) )
18172rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) ) )
1918rspcva 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
201adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  V USGrph  E )
21 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  N  e.  V
)
22 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  b  =/=  c
)
23 3simpb 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
2423ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
25 usgra2edg1 24510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
2620, 21, 22, 24, 25syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) ) )
3231rexlimivv 2954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3319, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3433ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) ) )
3534pm2.43a 49 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3635com25 91 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3736com13 80 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
38373imp1 1209 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) )
3911, 38mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
40 dmfi 7821 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
41403ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  Fin )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  dom  E  e.  Fin )
43 rabexg 4606 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
45 hash1snb 12483 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  1  <->  E. i { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  =  {
i } ) )
4644, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  1  <->  E. i { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  =  {
i } ) )
47 reusn 4105 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x )  <->  E. i { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  { i } )
4846, 47syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  1  <->  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) )
4948necon3abid 2703 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  1  <->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) )
5039, 49mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  1 )
519, 50eqnetrd 2750 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =/=  1
)
5251ex 434 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {crab 2811   _Vcvv 3109   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   1c1 9510    < clt 9645   #chash 12408   USGrph cusg 24457   VDeg cvdg 25020   FriendGrph cfrgra 25115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24460  df-vdgr 25021  df-frgra 25116
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