Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdn1frgrav2 Structured version   Unicode version

Theorem vdn1frgrav2 24730
 Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see 2. remark after Proposition 1 of [MertziosUnger] p. 153 : "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdn1frgrav2 FriendGrph VDeg

Proof of Theorem vdn1frgrav2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 24696 . . . . . . 7 FriendGrph USGrph
213ad2ant1 1017 . . . . . 6 FriendGrph USGrph
3 simp3 998 . . . . . 6 FriendGrph
4 simp2 997 . . . . . 6 FriendGrph
52, 3, 43jca 1176 . . . . 5 FriendGrph USGrph
65adantr 465 . . . 4 FriendGrph USGrph
7 vdusgraval 24611 . . . . 5 USGrph VDeg
873adant3 1016 . . . 4 USGrph VDeg
96, 8syl 16 . . 3 FriendGrph VDeg
10 3cyclfrgrarn2 24718 . . . . . 6 FriendGrph
11103ad2antl1 1158 . . . . 5 FriendGrph
12 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15
1613, 153anbi13d 1301 . . . . . . . . . . . . . 14
1716anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13
18172rexbidv 2980 . . . . . . . . . . . 12
1918rspcva 3212 . . . . . . . . . . 11
201adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph USGrph
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
22 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
23 3simpb 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
25 usgra2edg1 24087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
2620, 21, 22, 24, 25syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
3231rexlimivv 2960 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
3319, 32syl 16 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
3433ex 434 . . . . . . . . 9 FriendGrph
3534pm2.43a 49 . . . . . . . 8 FriendGrph
3635com25 91 . . . . . . 7 FriendGrph
3736com13 80 . . . . . 6 FriendGrph
38373imp1 1209 . . . . 5 FriendGrph
3911, 38mpd 15 . . . 4 FriendGrph
40 dmfi 7803 . . . . . . . . . 10
41403ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9 FriendGrph
4241adantr 465 . . . . . . . 8 FriendGrph
43 rabexg 4597 . . . . . . . 8
4442, 43syl 16 . . . . . . 7 FriendGrph
45 hash1snb 12444 . . . . . . 7
4644, 45syl 16 . . . . . 6 FriendGrph
47 reusn 4100 . . . . . 6
4846, 47syl6bbr 263 . . . . 5 FriendGrph
4948necon3abid 2713 . . . 4 FriendGrph
5039, 49mpbird 232 . . 3 FriendGrph
519, 50eqnetrd 2760 . 2 FriendGrph VDeg
5251ex 434 1 FriendGrph VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  wreu 2816  crab 2818  cvv 3113  csn 4027  cpr 4029   class class class wbr 4447   cdm 4999   crn 5000  cfv 5588  (class class class)co 6284  cfn 7516  c1 9493   clt 9628  chash 12373   USGrph cusg 24034   VDeg cvdg 24597   FriendGrph cfrgra 24692 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-xadd 11319  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037  df-vdgr 24598  df-frgra 24693 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator