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Theorem vdn1frgrav2 25324
Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdn1frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  1 ) )

Proof of Theorem vdn1frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25291 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
213ad2ant1 1016 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  V USGrph  E )
3 simp3 997 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
4 simp2 996 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
52, 3, 43jca 1175 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
65adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
7 vdusgraval 25206 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
873adant3 1015 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
96, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
10 3cyclfrgrarn2 25313 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
11103ad2antl1 1157 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
12 preq1 4048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1312eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
14 preq2 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1514eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1613, 153anbi13d 1301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1716anbi2d 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  N  ->  (
( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) ) )
18172rexbidv 2922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) ) )
1918rspcva 3155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
201adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  V USGrph  E )
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  N  e.  V
)
22 simplll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  b  =/=  c
)
23 3simpb 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
2423ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
25 usgra2edg1 24682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
2620, 21, 22, 24, 25syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
2928ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3029ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) ) )
3231rexlimivv 2898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3319, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3433ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) ) )
3534pm2.43a 48 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3635com25 91 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3736com13 80 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
38373imp1 1208 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) )
3911, 38mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
40 dmfi 7755 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
41403ad2ant2 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  Fin )
4241adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  dom  E  e.  Fin )
43 rabexg 4541 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
4442, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
45 hash1snb 12433 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  1  <->  E. i { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  =  {
i } ) )
4644, 45syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  1  <->  E. i { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  =  {
i } ) )
47 reusn 4042 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x )  <->  E. i { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  { i } )
4846, 47syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  1  <->  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) )
4948necon3abid 2647 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  1  <->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) )
5039, 49mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  1 )
519, 50eqnetrd 2694 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =/=  1
)
5251ex 432 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752   E!wreu 2753   {crab 2755   _Vcvv 3056   {csn 3969   {cpr 3971   class class class wbr 4392   dom cdm 4940   ran crn 4941   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   1c1 9441    < clt 9576   #chash 12357   USGrph cusg 24629   VDeg cvdg 25192   FriendGrph cfrgra 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-xadd 11288  df-fz 11642  df-hash 12358  df-usgra 24632  df-vdgr 25193  df-frgra 25288
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