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Theorem vdn0frgrav2 24688
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdn0frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )

Proof of Theorem vdn0frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 24656 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
213ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  V USGrph  E )
3 simp3 993 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
4 simp2 992 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
52, 3, 43jca 1171 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
7 vdusgraval 24571 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
873adant3 1011 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
96, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
10 usgrafun 24014 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
11 funfn 5610 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
131, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
14 3cyclfrgrarn 24677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
15 preq1 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1615eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
17 preq2 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1817eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1916, 183anbi13d 1296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
20192rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
2120rspcva 3207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
22 fvelrnb 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  <->  E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b } ) )
23 prid1g 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  b } )
24 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  x )  =  { N , 
b }  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  { N ,  b } ) )
2523, 24syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  V  ->  (
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  N  e.  ( E `  x ) ) )
2625reximdv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x ) ) )
2726a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. x  e.  dom  E
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( N  e.  V  -> 
( E  e.  Fin  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3022, 29syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( E  Fn  dom  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3231com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
33323ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  V  ->  (
( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3635rexlimivv 2955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3721, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3837ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3938pm2.43a 49 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
4039com3l 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
4114, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
4241expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
4342com15 93 . . . . . . 7  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
4413, 43mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
45443imp1 1204 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
46 rexnal 2907 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
47 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( E `  x )  <->  -.  -.  N  e.  ( E `  x
) )
4847bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  N  e.  ( E `  x )  <-> 
N  e.  ( E `
 x ) )
4948rexbii 2960 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
5046, 49bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
5145, 50sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )
)
52 dmfi 7794 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
53523ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  Fin )
5453adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  dom  E  e.  Fin )
55 rabexg 4592 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
56 hasheq0 12390 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
5754, 55, 563syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
58 rabeq0 3802 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) )
5957, 58syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
6059necon3abid 2708 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) ) )
6151, 60mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0 )
629, 61eqnetrd 2755 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =/=  0
)
6362ex 434 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   {cpr 4024   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ran crn 4995   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   0cc0 9483   1c1 9484    < clt 9619   #chash 12362   USGrph cusg 23995   VDeg cvdg 24557   FriendGrph cfrgra 24652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-xadd 11310  df-fz 11664  df-hash 12363  df-usgra 23998  df-vdgr 24558  df-frgra 24653
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