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Theorem vdn0frgrav2 25604
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdn0frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )

Proof of Theorem vdn0frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25573 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
213ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  V USGrph  E )
3 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
4 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
52, 3, 43jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
65adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin ) )
7 vdusgraval 25488 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
873adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  E  e. 
Fin )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
96, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
10 usgrafun 24930 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
11 funfn 5630 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
1210, 11sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
131, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
14 3cyclfrgrarn 25594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
15 preq1 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1615eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
17 preq2 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1817eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1916, 183anbi13d 1337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
20192rexbidv 2953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
2120rspcva 3186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
22 fvelrnb 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  <->  E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b } ) )
23 prid1g 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  b } )
24 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  x )  =  { N , 
b }  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  { N ,  b } ) )
2523, 24syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  V  ->  (
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  N  e.  ( E `  x ) ) )
2625reximdv 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x ) ) )
2726a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. x  e.  dom  E
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( N  e.  V  -> 
( E  e.  Fin  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3022, 29syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3130com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( E  Fn  dom  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3231com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
33323ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  V  ->  (
( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3635rexlimivv 2929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3837ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) ) )
3938pm2.43a 51 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
4039com3l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
4114, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
4241expcom 436 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
4342com15 96 . . . . . . 7  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
4413, 43mpcom 37 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
45443imp1 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
46 rexnal 2880 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
47 notnot 292 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( E `  x )  <->  -.  -.  N  e.  ( E `  x
) )
4847bicomi 205 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  N  e.  ( E `  x )  <-> 
N  e.  ( E `
 x ) )
4948rexbii 2934 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
5046, 49bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
5145, 50sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )
)
52 dmfi 7860 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
53523ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  Fin )
5453adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  dom  E  e.  Fin )
55 rabexg 4575 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
56 hasheq0 12541 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
5754, 55, 563syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
58 rabeq0 3790 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) )
5957, 58syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  0  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
6059necon3abid 2677 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) ) )
6151, 60mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0 )
629, 61eqnetrd 2724 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =/=  0
)
6362ex 435 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  E  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   {cpr 4004   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ran crn 4855   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   0cc0 9538   1c1 9539    < clt 9674   #chash 12512   USGrph cusg 24911   VDeg cvdg 25474   FriendGrph cfrgra 25569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-xadd 11410  df-fz 11783  df-hash 12513  df-usgra 24914  df-vdgr 25475  df-frgra 25570
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