Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vdioph Structured version   Unicode version

Theorem vdioph 30952
Description: The "universal" set (as large as possible given eldiophss 30947) is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdioph  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( NN0 
^m  ( 1 ... A ) )  e.  (Dioph `  A )
)

Proof of Theorem vdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  0  =  0
21rgenw 2815 . . 3  |-  A. a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... A ) ) 0  =  0
3 rabid2 3032 . . 3  |-  ( ( NN0  ^m  ( 1 ... A ) )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... A ) )  |  0  =  0 }  <->  A. a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A ) ) 0  =  0 )
42, 3mpbir 209 . 2  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... A ) )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A ) )  |  0  =  0 }
5 ovex 6298 . . . 4  |-  ( 1 ... A )  e. 
_V
6 0z 10871 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
7 mzpconstmpt 30912 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... A ) ) 
|->  0 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... A
) ) )
85, 6, 7mp2an 670 . . 3  |-  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... A
) )  |->  0 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... A ) )
9 eq0rabdioph 30949 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... A ) ) 
|->  0 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... A
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A ) )  |  0  =  0 }  e.  (Dioph `  A ) )
108, 9mpan2 669 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... A
) )  |  0  =  0 }  e.  (Dioph `  A ) )
114, 10syl5eqel 2546 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( NN0 
^m  ( 1 ... A ) )  e.  (Dioph `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   0cc0 9481   1c1 9482   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11675  mzPolycmzp 30894  Diophcdioph 30927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-mzpcl 30895  df-mzp 30896  df-dioph 30928
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator