Theorem vdgrun 25318

Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgrun.e	|- ( ph -> E Fn A )
vdgrun.f	|- ( ph -> F Fn B )
vdgrun.a	|- ( ph -> A e. X )
vdgrun.b	|- ( ph -> B e. Y )
vdgrun.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
vdgrun.ge	|- ( ph -> V UMGrph E )
vdgrun.gf	|- ( ph -> V UMGrph F )
vdgrun.u	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgrun	|- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) )

Proof of Theorem vdgrun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3584	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	anbi1i 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) )
3		andir 869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) )
5	4	abbii 2536	. . . . . . . 8 |- { x | ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x | ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) }
6		df-rab 2763	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
7		unab 3717	. . . . . . . 8 |- ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2441	. . . . . . 7 |- { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } )
9		df-rab 2763	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
10		vdgrun.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E Fn A )
11	10	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E Fn A )
12		vdgrun.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn B )
13	12	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F Fn B )
14		vdgrun.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
15	14	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
16		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
17		fvun1 5920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E Fn A /\ F Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( E ` x ) )
18	11, 13, 15, 16, 17	syl112anc 1234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( E ` x ) )
19	18	eleq2d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U e. ( ( E u. F ) ` x ) <-> U e. ( E ` x ) ) )
20	19	rabbidva 3050	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x e. A | U e. ( E ` x ) } )
21	9, 20	syl5eqr 2457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x e. A | U e. ( E ` x ) } )
22		df-rab 2763	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
23	10	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E Fn A )
24	12	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> F Fn B )
25	14	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A i^i B ) = (/) )
26		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
27		fvun2 5921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E Fn A /\ F Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( F ` x ) )
28	23, 24, 25, 26, 27	syl112anc 1234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( F ` x ) )
29	28	eleq2d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( U e. ( ( E u. F ) ` x ) <-> U e. ( F ` x ) ) )
30	29	rabbidva 3050	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. B | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x e. B | U e. ( F ` x ) } )
31	22, 30	syl5eqr 2457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x e. B | U e. ( F ` x ) } )
32	21, 31	uneq12d 3598	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } ) = ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) )
33	8, 32	syl5eq 2455	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) )
34	33	fveq2d 5853	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) = ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
35		vdgrun.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. X )
36		rabexg 4544	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V )
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V )
38		vdgrun.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Y )
39		rabexg 4544	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V )
41		ssrab2 3524	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | U e. ( E ` x ) } C_ A
42		ssrab2 3524	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | U e. ( F ` x ) } C_ B
43		ss2in 3666	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } C_ A /\ { x e. B | U e. ( F ` x ) } C_ B ) -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ ( A i^i B ) )
44	41, 42, 43	mp2an 670	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ ( A i^i B )
45	44, 14	syl5sseq 3490	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ (/) )
46		ss0 3770	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ (/) -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) )
48		hashunx 12502	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V /\ { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V /\ ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
49	37, 40, 47, 48	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
50	34, 49	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
51	1	anbi1i 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) )
52		andir 869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) )
53	51, 52	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) )
54	53	abbii 2536	. . . . . . . 8 |- { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x | ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) }
55		df-rab 2763	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
56		unab 3717	. . . . . . . 8 |- ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) }
57	54, 55, 56	3eqtr4i 2441	. . . . . . 7 |- { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } )
58		df-rab 2763	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
59	18	eqeq1d 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( E u. F ) ` x ) = { U } <-> ( E ` x ) = { U } ) )
60	59	rabbidva 3050	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x e. A | ( E ` x ) = { U } } )
61	58, 60	syl5eqr 2457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x e. A | ( E ` x ) = { U } } )
62		df-rab 2763	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
63	28	eqeq1d 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( E u. F ) ` x ) = { U } <-> ( F ` x ) = { U } ) )
64	63	rabbidva 3050	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. B | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x e. B | ( F ` x ) = { U } } )
65	62, 64	syl5eqr 2457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x e. B | ( F ` x ) = { U } } )
66	61, 65	uneq12d 3598	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } ) = ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) )
67	57, 66	syl5eq 2455	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) )
68	67	fveq2d 5853	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) = ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
69		rabexg 4544	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V )
70	35, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V )
71		rabexg 4544	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V )
72	38, 71	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V )
73		ssrab2 3524	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( E ` x ) = { U } } C_ A
74		ssrab2 3524	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( F ` x ) = { U } } C_ B
75		ss2in 3666	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } C_ A /\ { x e. B | ( F ` x ) = { U } } C_ B ) -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ ( A i^i B ) )
76	73, 74, 75	mp2an 670	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ ( A i^i B )
77	76, 14	syl5sseq 3490	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ (/) )
78		ss0 3770	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ (/) -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) )
79	77, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) )
80		hashunx 12502	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V /\ { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V /\ ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
81	70, 72, 79, 80	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
82	68, 81	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
83	50, 82	oveq12d 6296	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) +e ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
84		hashxrcl 12476	. . . . . 6 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* )
85	37, 84	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* )
86		hashnemnf 12464	. . . . . 6 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo )
87	37, 86	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo )
88	85, 87	jca 530	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo ) )
89		hashxrcl 12476	. . . . . 6 |- ( { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* )
90	40, 89	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* )
91		hashnemnf 12464	. . . . . 6 |- ( { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo )
92	40, 91	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo )
93	90, 92	jca 530	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo ) )
94		hashxrcl 12476	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* )
95	70, 94	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* )
96		hashnemnf 12464	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
97	70, 96	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
98	95, 97	jca 530	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo ) )
99		hashxrcl 12476	. . . . . 6 |- ( { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* )
100	72, 99	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* )
101		hashnemnf 12464	. . . . . 6 |- ( { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
102	72, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
103	100, 102	jca 530	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo ) )
104	88, 93, 98, 103	xadd4d 11548	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) +e ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
105	83, 104	eqtrd 2443	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
106		relumgra 24731	. . . 4 |- Rel UMGrph
107		vdgrun.ge	. . . 4 |- ( ph -> V UMGrph E )
108		brrelex 4862	. . . 4 |- ( ( Rel UMGrph /\ V UMGrph E ) -> V e. _V )
109	106, 107, 108	sylancr 661	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
110		fnun 5668	. . . 4 |- ( ( ( E Fn A /\ F Fn B ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( E u. F ) Fn ( A u. B ) )
111	10, 12, 14, 110	syl21anc 1229	. . 3 |- ( ph -> ( E u. F ) Fn ( A u. B ) )
112		unexg 6583	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A u. B ) e. _V )
113	35, 38, 112	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) e. _V )
114		vdgrun.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
115		vdgrval 25313	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( E u. F ) Fn ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) )
116	109, 111, 113, 114, 115	syl31anc 1233	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) )
117		vdgrval 25313	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E Fn A /\ A e. X ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg E ) ` U ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) )
118	109, 10, 35, 114, 117	syl31anc 1233	. . 3 |- ( ph -> ( ( V VDeg E ) ` U ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) )
119		vdgrval 25313	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ F Fn B /\ B e. Y ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg F ) ` U ) = ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
120	109, 12, 38, 114, 119	syl31anc 1233	. . 3 |- ( ph -> ( ( V VDeg F ) ` U ) = ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6296	. 2 |- ( ph -> ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
122	105, 116, 121	3eqtr4d 2453	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   {cab 2387   =/= wne 2598   {crab 2758   _Vcvv 3059   u. cun 3412   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   class class class wbr 4395   Rel wrel 4828   Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657   +ecxad 11369   #chash 12452   UMGrph cumg 24729   VDeg cvdg 25310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-xadd 11372  df-hash 12453  df-umgra 24730  df-vdgr 25311

This theorem is referenced by: (None)