Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgrun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdgrun 25708
 Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgrun.e
vdgrun.f
vdgrun.a
vdgrun.b
vdgrun.i
vdgrun.ge UMGrph
vdgrun.gf UMGrph
vdgrun.u
Assertion
Ref Expression
vdgrun VDeg VDeg VDeg

Proof of Theorem vdgrun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3565 . . . . . . . . . . 11
21anbi1i 709 . . . . . . . . . 10
3 andir 885 . . . . . . . . . 10
42, 3bitri 257 . . . . . . . . 9
54abbii 2587 . . . . . . . 8
6 df-rab 2765 . . . . . . . 8
7 unab 3701 . . . . . . . 8
85, 6, 73eqtr4i 2503 . . . . . . 7
9 df-rab 2765 . . . . . . . . 9
10 vdgrun.e . . . . . . . . . . . . 13
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
12 vdgrun.f . . . . . . . . . . . . 13
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
14 vdgrun.i . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
16 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
17 fvun1 5951 . . . . . . . . . . . 12
1811, 13, 15, 16, 17syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11
1918eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
2019rabbidva 3021 . . . . . . . . 9
219, 20syl5eqr 2519 . . . . . . . 8
22 df-rab 2765 . . . . . . . . 9
2310adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
2412adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
2514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
27 fvun2 5952 . . . . . . . . . . . 12
2823, 24, 25, 26, 27syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11
2928eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
3029rabbidva 3021 . . . . . . . . 9
3122, 30syl5eqr 2519 . . . . . . . 8
3221, 31uneq12d 3580 . . . . . . 7
338, 32syl5eq 2517 . . . . . 6
3433fveq2d 5883 . . . . 5
35 vdgrun.a . . . . . . 7
36 rabexg 4549 . . . . . . 7
3735, 36syl 17 . . . . . 6
38 vdgrun.b . . . . . . 7
39 rabexg 4549 . . . . . . 7
4038, 39syl 17 . . . . . 6
41 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9
42 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9
43 ss2in 3650 . . . . . . . . 9
4441, 42, 43mp2an 686 . . . . . . . 8
4544, 14syl5sseq 3466 . . . . . . 7
46 ss0 3768 . . . . . . 7
4745, 46syl 17 . . . . . 6
48 hashunx 12603 . . . . . 6
4937, 40, 47, 48syl3anc 1292 . . . . 5
5034, 49eqtrd 2505 . . . 4
511anbi1i 709 . . . . . . . . . 10
52 andir 885 . . . . . . . . . 10
5351, 52bitri 257 . . . . . . . . 9
5453abbii 2587 . . . . . . . 8
55 df-rab 2765 . . . . . . . 8
56 unab 3701 . . . . . . . 8
5754, 55, 563eqtr4i 2503 . . . . . . 7
58 df-rab 2765 . . . . . . . . 9
5918eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
6059rabbidva 3021 . . . . . . . . 9
6158, 60syl5eqr 2519 . . . . . . . 8
62 df-rab 2765 . . . . . . . . 9
6328eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
6463rabbidva 3021 . . . . . . . . 9
6562, 64syl5eqr 2519 . . . . . . . 8
6661, 65uneq12d 3580 . . . . . . 7
6757, 66syl5eq 2517 . . . . . 6
6867fveq2d 5883 . . . . 5
69 rabexg 4549 . . . . . . 7
7035, 69syl 17 . . . . . 6
71 rabexg 4549 . . . . . . 7
7238, 71syl 17 . . . . . 6
73 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9
74 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9
75 ss2in 3650 . . . . . . . . 9
7673, 74, 75mp2an 686 . . . . . . . 8
7776, 14syl5sseq 3466 . . . . . . 7
78 ss0 3768 . . . . . . 7
7977, 78syl 17 . . . . . 6
80 hashunx 12603 . . . . . 6
8170, 72, 79, 80syl3anc 1292 . . . . 5
8268, 81eqtrd 2505 . . . 4
8350, 82oveq12d 6326 . . 3
84 hashxrcl 12577 . . . . . 6
8537, 84syl 17 . . . . 5
86 hashnemnf 12565 . . . . . 6
8737, 86syl 17 . . . . 5
8885, 87jca 541 . . . 4
89 hashxrcl 12577 . . . . . 6
9040, 89syl 17 . . . . 5
91 hashnemnf 12565 . . . . . 6
9240, 91syl 17 . . . . 5
9390, 92jca 541 . . . 4
94 hashxrcl 12577 . . . . . 6
9570, 94syl 17 . . . . 5
96 hashnemnf 12565 . . . . . 6
9770, 96syl 17 . . . . 5
9895, 97jca 541 . . . 4
99 hashxrcl 12577 . . . . . 6
10072, 99syl 17 . . . . 5
101 hashnemnf 12565 . . . . . 6
10272, 101syl 17 . . . . 5
103100, 102jca 541 . . . 4
10488, 93, 98, 103xadd4d 11614 . . 3
10583, 104eqtrd 2505 . 2
106 relumgra 25120 . . . 4 UMGrph
107 vdgrun.ge . . . 4 UMGrph
108 brrelex 4878 . . . 4 UMGrph UMGrph
109106, 107, 108sylancr 676 . . 3
110 fnun 5692 . . . 4
11110, 12, 14, 110syl21anc 1291 . . 3
112 unexg 6611 . . . 4
11335, 38, 112syl2anc 673 . . 3
114 vdgrun.u . . 3
115 vdgrval 25703 . . 3 VDeg
116109, 111, 113, 114, 115syl31anc 1295 . 2 VDeg
117 vdgrval 25703 . . . 4 VDeg
118109, 10, 35, 114, 117syl31anc 1295 . . 3 VDeg
119 vdgrval 25703 . . . 4 VDeg
120109, 12, 38, 114, 119syl31anc 1295 . . 3 VDeg
121118, 120oveq12d 6326 . 2 VDeg VDeg
122105, 116, 1213eqtr4d 2515 1 VDeg VDeg VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  crab 2760  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   wrel 4844   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmnf 9691  cxr 9692  cxad 11430  chash 12553   UMGrph cumg 25118   VDeg cvdg 25700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-hash 12554  df-umgra 25119  df-vdgr 25701 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator