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Theorem vdgrun 25708
Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgrun.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
vdgrun.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
vdgrun.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
vdgrun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
vdgrun.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
vdgrun.ge  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
vdgrun.gf  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
vdgrun.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgrun  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U ) +e
( ( V VDeg  F
) `  U )
) )

Proof of Theorem vdgrun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21anbi1i 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) )
3 andir 885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
42, 3bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
54abbii 2587 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
)  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) ) }
6 df-rab 2765 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
7 unab 3701 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  { x  |  ( ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  \/  (
x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) ) }
85, 6, 73eqtr4i 2503 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) } )
9 df-rab 2765 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
10 vdgrun.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  Fn  A )
12 vdgrun.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  Fn  B )
14 vdgrun.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
16 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
17 fvun1 5951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( E `
 x ) )
1811, 13, 15, 16, 17syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( E `  x ) )
1918eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
2019rabbidva 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
219, 20syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
22 df-rab 2765 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
2310adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E  Fn  A )
2412adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  Fn  B )
2514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
27 fvun2 5952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
2823, 24, 25, 26, 27syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( F `  x ) )
2928eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( F `  x ) ) )
3029rabbidva 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3122, 30syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3221, 31uneq12d 3580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) }  u.  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
338, 32syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) }  =  ( {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
3433fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
35 vdgrun.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
36 rabexg 4549 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
38 vdgrun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
39 rabexg 4549 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  e.  _V )
4038, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V )
41 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  C_  A
42 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  C_  B
43 ss2in 3650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  ( A  i^i  B ) )
4441, 42, 43mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  ( A  i^i  B )
4544, 14syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  (/) )
46 ss0 3768 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  (/) 
->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
48 hashunx 12603 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V  /\  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) )
5034, 49eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
511anbi1i 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) )
52 andir 885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5351, 52bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5453abbii 2587 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
55 df-rab 2765 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
56 unab 3701 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )  =  {
x  |  ( ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
5754, 55, 563eqtr4i 2503 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )
58 df-rab 2765 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
5918eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( E `  x
)  =  { U } ) )
6059rabbidva 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )
6158, 60syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )
62 df-rab 2765 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
6328eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( F `  x
)  =  { U } ) )
6463rabbidva 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )
6562, 64syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )
6661, 65uneq12d 3580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) } )  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6757, 66syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6867fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  (
# `  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
69 rabexg 4549 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  _V )
7035, 69syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  _V )
71 rabexg 4549 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  _V )
7238, 71syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  _V )
73 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A
74 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
75 ss2in 3650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A  /\  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
)  ->  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B ) )
7673, 74, 75mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B )
7776, 14syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  C_  (/) )
78 ss0 3768 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  C_  (/)  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =  (/) )
7977, 78syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )
80 hashunx 12603 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  _V  /\ 
{ x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  _V  /\  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
8170, 72, 79, 80syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8268, 81eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8350, 82oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } ) +e (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) )  =  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) +e ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
84 hashxrcl 12577 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
8537, 84syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
86 hashnemnf 12565 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  =/= -oo )
8737, 86syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  =/= -oo )
8885, 87jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =/= -oo ) )
89 hashxrcl 12577 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  RR* )
9040, 89syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  RR* )
91 hashnemnf 12565 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =/= -oo )
9240, 91syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =/= -oo )
9390, 92jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  =/= -oo ) )
94 hashxrcl 12577 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
9570, 94syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
96 hashnemnf 12565 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
9770, 96syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
9895, 97jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo ) )
99 hashxrcl 12577 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
10072, 99syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
101 hashnemnf 12565 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
10272, 101syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
103100, 102jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo ) )
10488, 93, 98, 103xadd4d 11614 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) +e ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) +e (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )  =  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) +e
( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) ) ) )
10583, 104eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } ) +e (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) )  =  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } ) ) +e ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
106 relumgra 25120 . . . 4  |-  Rel UMGrph
107 vdgrun.ge . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
108 brrelex 4878 . . . 4  |-  ( ( Rel UMGrph  /\  V UMGrph  E )  ->  V  e.  _V )
109106, 107, 108sylancr 676 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
110 fnun 5692 . . . 4  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( E  u.  F )  Fn  ( A  u.  B )
)
11110, 12, 14, 110syl21anc 1291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B ) )
112 unexg 6611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
11335, 38, 112syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
114 vdgrun.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
115 vdgrval 25703 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F
) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } ) ) )
116109, 111, 113, 114, 115syl31anc 1295 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) ) )
117 vdgrval 25703 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) )
118109, 10, 35, 114, 117syl31anc 1295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  E
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) )
119 vdgrval 25703 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  B  e.  Y )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  F ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
120109, 12, 38, 114, 119syl31anc 1295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  F
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
121118, 120oveq12d 6326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
) +e ( ( V VDeg  F ) `
 U ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) +e ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) ) )
122105, 116, 1213eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U ) +e
( ( V VDeg  F
) `  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   Rel wrel 4844    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   +ecxad 11430   #chash 12553   UMGrph cumg 25118   VDeg cvdg 25700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-hash 12554  df-umgra 25119  df-vdgr 25701
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