Theorem vdgrun 25708

Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgrun.e	|- ( ph -> E Fn A )
vdgrun.f	|- ( ph -> F Fn B )
vdgrun.a	|- ( ph -> A e. X )
vdgrun.b	|- ( ph -> B e. Y )
vdgrun.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
vdgrun.ge	|- ( ph -> V UMGrph E )
vdgrun.gf	|- ( ph -> V UMGrph F )
vdgrun.u	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgrun	|- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) )

Proof of Theorem vdgrun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3565	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	anbi1i 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) )
3		andir 885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) )
5	4	abbii 2587	. . . . . . . 8 |- { x | ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x | ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) }
6		df-rab 2765	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
7		unab 3701	. . . . . . . 8 |- ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2503	. . . . . . 7 |- { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } )
9		df-rab 2765	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
10		vdgrun.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E Fn A )
11	10	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E Fn A )
12		vdgrun.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn B )
13	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F Fn B )
14		vdgrun.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
15	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
16		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
17		fvun1 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E Fn A /\ F Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( E ` x ) )
18	11, 13, 15, 16, 17	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( E ` x ) )
19	18	eleq2d 2534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U e. ( ( E u. F ) ` x ) <-> U e. ( E ` x ) ) )
20	19	rabbidva 3021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x e. A | U e. ( E ` x ) } )
21	9, 20	syl5eqr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x e. A | U e. ( E ` x ) } )
22		df-rab 2765	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
23	10	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E Fn A )
24	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> F Fn B )
25	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A i^i B ) = (/) )
26		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
27		fvun2 5952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E Fn A /\ F Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( F ` x ) )
28	23, 24, 25, 26, 27	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( F ` x ) )
29	28	eleq2d 2534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( U e. ( ( E u. F ) ` x ) <-> U e. ( F ` x ) ) )
30	29	rabbidva 3021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. B | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x e. B | U e. ( F ` x ) } )
31	22, 30	syl5eqr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x e. B | U e. ( F ` x ) } )
32	21, 31	uneq12d 3580	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } ) = ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) )
33	8, 32	syl5eq 2517	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) )
34	33	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) = ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
35		vdgrun.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. X )
36		rabexg 4549	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V )
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V )
38		vdgrun.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Y )
39		rabexg 4549	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V )
41		ssrab2 3500	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | U e. ( E ` x ) } C_ A
42		ssrab2 3500	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | U e. ( F ` x ) } C_ B
43		ss2in 3650	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } C_ A /\ { x e. B | U e. ( F ` x ) } C_ B ) -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ ( A i^i B ) )
44	41, 42, 43	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ ( A i^i B )
45	44, 14	syl5sseq 3466	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ (/) )
46		ss0 3768	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ (/) -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) )
48		hashunx 12603	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V /\ { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V /\ ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
49	37, 40, 47, 48	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
50	34, 49	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
51	1	anbi1i 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) )
52		andir 885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) )
53	51, 52	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) )
54	53	abbii 2587	. . . . . . . 8 |- { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x | ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) }
55		df-rab 2765	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
56		unab 3701	. . . . . . . 8 |- ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) }
57	54, 55, 56	3eqtr4i 2503	. . . . . . 7 |- { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } )
58		df-rab 2765	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
59	18	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( E u. F ) ` x ) = { U } <-> ( E ` x ) = { U } ) )
60	59	rabbidva 3021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x e. A | ( E ` x ) = { U } } )
61	58, 60	syl5eqr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x e. A | ( E ` x ) = { U } } )
62		df-rab 2765	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
63	28	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( E u. F ) ` x ) = { U } <-> ( F ` x ) = { U } ) )
64	63	rabbidva 3021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. B | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x e. B | ( F ` x ) = { U } } )
65	62, 64	syl5eqr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x e. B | ( F ` x ) = { U } } )
66	61, 65	uneq12d 3580	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } ) = ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) )
67	57, 66	syl5eq 2517	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) )
68	67	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) = ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
69		rabexg 4549	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V )
70	35, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V )
71		rabexg 4549	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V )
72	38, 71	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V )
73		ssrab2 3500	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( E ` x ) = { U } } C_ A
74		ssrab2 3500	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( F ` x ) = { U } } C_ B
75		ss2in 3650	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } C_ A /\ { x e. B | ( F ` x ) = { U } } C_ B ) -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ ( A i^i B ) )
76	73, 74, 75	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ ( A i^i B )
77	76, 14	syl5sseq 3466	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ (/) )
78		ss0 3768	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ (/) -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) )
79	77, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) )
80		hashunx 12603	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V /\ { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V /\ ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
81	70, 72, 79, 80	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
82	68, 81	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
83	50, 82	oveq12d 6326	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) +e ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
84		hashxrcl 12577	. . . . . 6 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* )
85	37, 84	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* )
86		hashnemnf 12565	. . . . . 6 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo )
87	37, 86	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo )
88	85, 87	jca 541	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo ) )
89		hashxrcl 12577	. . . . . 6 |- ( { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* )
90	40, 89	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* )
91		hashnemnf 12565	. . . . . 6 |- ( { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo )
92	40, 91	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo )
93	90, 92	jca 541	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo ) )
94		hashxrcl 12577	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* )
95	70, 94	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* )
96		hashnemnf 12565	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
97	70, 96	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
98	95, 97	jca 541	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo ) )
99		hashxrcl 12577	. . . . . 6 |- ( { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* )
100	72, 99	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* )
101		hashnemnf 12565	. . . . . 6 |- ( { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
102	72, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
103	100, 102	jca 541	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo ) )
104	88, 93, 98, 103	xadd4d 11614	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) +e ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
105	83, 104	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
106		relumgra 25120	. . . 4 |- Rel UMGrph
107		vdgrun.ge	. . . 4 |- ( ph -> V UMGrph E )
108		brrelex 4878	. . . 4 |- ( ( Rel UMGrph /\ V UMGrph E ) -> V e. _V )
109	106, 107, 108	sylancr 676	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
110		fnun 5692	. . . 4 |- ( ( ( E Fn A /\ F Fn B ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( E u. F ) Fn ( A u. B ) )
111	10, 12, 14, 110	syl21anc 1291	. . 3 |- ( ph -> ( E u. F ) Fn ( A u. B ) )
112		unexg 6611	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A u. B ) e. _V )
113	35, 38, 112	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) e. _V )
114		vdgrun.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
115		vdgrval 25703	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( E u. F ) Fn ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) )
116	109, 111, 113, 114, 115	syl31anc 1295	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) )
117		vdgrval 25703	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E Fn A /\ A e. X ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg E ) ` U ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) )
118	109, 10, 35, 114, 117	syl31anc 1295	. . 3 |- ( ph -> ( ( V VDeg E ) ` U ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) )
119		vdgrval 25703	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ F Fn B /\ B e. Y ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg F ) ` U ) = ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
120	109, 12, 38, 114, 119	syl31anc 1295	. . 3 |- ( ph -> ( ( V VDeg F ) ` U ) = ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6326	. 2 |- ( ph -> ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
122	105, 116, 121	3eqtr4d 2515	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   Rel wrel 4844   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   +ecxad 11430   #chash 12553   UMGrph cumg 25118   VDeg cvdg 25700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-hash 12554  df-umgra 25119  df-vdgr 25701

This theorem is referenced by: (None)