Theorem vdgrun 23716

Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgrun.e	|- ( ph -> E Fn A )
vdgrun.f	|- ( ph -> F Fn B )
vdgrun.a	|- ( ph -> A e. X )
vdgrun.b	|- ( ph -> B e. Y )
vdgrun.i	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
vdgrun.ge	|- ( ph -> V UMGrph E )
vdgrun.gf	|- ( ph -> V UMGrph F )
vdgrun.u	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgrun	|- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) )

Proof of Theorem vdgrun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3598	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) )
3		andir 863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) <-> ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) )
5	4	abbii 2585	. . . . . . . 8 |- { x | ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x | ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) }
6		df-rab 2804	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
7		unab 3718	. . . . . . . 8 |- ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) \/ ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2490	. . . . . . 7 |- { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } )
9		df-rab 2804	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
10		vdgrun.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E Fn A )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E Fn A )
12		vdgrun.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn B )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F Fn B )
14		vdgrun.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
17		fvun1 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E Fn A /\ F Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( E ` x ) )
18	11, 13, 15, 16, 17	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( E ` x ) )
19	18	eleq2d 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U e. ( ( E u. F ) ` x ) <-> U e. ( E ` x ) ) )
20	19	rabbidva 3062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x e. A | U e. ( E ` x ) } )
21	9, 20	syl5eqr 2506	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x e. A | U e. ( E ` x ) } )
22		df-rab 2804	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) }
23	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E Fn A )
24	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> F Fn B )
25	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A i^i B ) = (/) )
26		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
27		fvun2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E Fn A /\ F Fn B /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( F ` x ) )
28	23, 24, 25, 26, 27	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( E u. F ) ` x ) = ( F ` x ) )
29	28	eleq2d 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( U e. ( ( E u. F ) ` x ) <-> U e. ( F ` x ) ) )
30	29	rabbidva 3062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. B | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = { x e. B | U e. ( F ` x ) } )
31	22, 30	syl5eqr 2506	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } = { x e. B | U e. ( F ` x ) } )
32	21, 31	uneq12d 3612	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x | ( x e. A /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } u. { x | ( x e. B /\ U e. ( ( E u. F ) ` x ) ) } ) = ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) )
33	8, 32	syl5eq 2504	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } = ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) )
34	33	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) = ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
35		vdgrun.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. X )
36		rabexg 4543	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V )
37	35, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V )
38		vdgrun.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Y )
39		rabexg 4543	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V )
40	38, 39	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V )
41		ssrab2 3538	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | U e. ( E ` x ) } C_ A
42		ssrab2 3538	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | U e. ( F ` x ) } C_ B
43		ss2in 3678	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } C_ A /\ { x e. B | U e. ( F ` x ) } C_ B ) -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ ( A i^i B ) )
44	41, 42, 43	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ ( A i^i B )
45	44, 14	syl5sseq 3505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ (/) )
46		ss0 3769	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) C_ (/) -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) )
48		hashunx 12260	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V /\ { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V /\ ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } i^i { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
49	37, 40, 47, 48	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } u. { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
50	34, 49	eqtrd 2492	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) )
51	1	anbi1i 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) )
52		andir 863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) )
53	51, 52	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) <-> ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) )
54	53	abbii 2585	. . . . . . . 8 |- { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x | ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) }
55		df-rab 2804	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
56		unab 3718	. . . . . . . 8 |- ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) \/ ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) ) }
57	54, 55, 56	3eqtr4i 2490	. . . . . . 7 |- { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } )
58		df-rab 2804	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
59	18	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( E u. F ) ` x ) = { U } <-> ( E ` x ) = { U } ) )
60	59	rabbidva 3062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x e. A | ( E ` x ) = { U } } )
61	58, 60	syl5eqr 2506	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x e. A | ( E ` x ) = { U } } )
62		df-rab 2804	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) }
63	28	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( E u. F ) ` x ) = { U } <-> ( F ` x ) = { U } ) )
64	63	rabbidva 3062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. B | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = { x e. B | ( F ` x ) = { U } } )
65	62, 64	syl5eqr 2506	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } = { x e. B | ( F ` x ) = { U } } )
66	61, 65	uneq12d 3612	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x | ( x e. A /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } u. { x | ( x e. B /\ ( ( E u. F ) ` x ) = { U } ) } ) = ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) )
67	57, 66	syl5eq 2504	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } = ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) )
68	67	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) = ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
69		rabexg 4543	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V )
70	35, 69	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V )
71		rabexg 4543	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V )
72	38, 71	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V )
73		ssrab2 3538	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( E ` x ) = { U } } C_ A
74		ssrab2 3538	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( F ` x ) = { U } } C_ B
75		ss2in 3678	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } C_ A /\ { x e. B | ( F ` x ) = { U } } C_ B ) -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ ( A i^i B ) )
76	73, 74, 75	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ ( A i^i B )
77	76, 14	syl5sseq 3505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ (/) )
78		ss0 3769	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) C_ (/) -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) )
79	77, 78	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) )
80		hashunx 12260	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V /\ { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V /\ ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } i^i { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) = (/) ) -> ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
81	70, 72, 79, 80	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } u. { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
82	68, 81	eqtrd 2492	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) = ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
83	50, 82	oveq12d 6211	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) +e ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
84		hashxrcl 12237	. . . . . 6 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* )
85	37, 84	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* )
86		hashnemnf 12225	. . . . . 6 |- ( { x e. A | U e. ( E ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo )
87	37, 86	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo )
88	85, 87	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) =/= -oo ) )
89		hashxrcl 12237	. . . . . 6 |- ( { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* )
90	40, 89	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* )
91		hashnemnf 12225	. . . . . 6 |- ( { x e. B | U e. ( F ` x ) } e. _V -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo )
92	40, 91	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo )
93	90, 92	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) =/= -oo ) )
94		hashxrcl 12237	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* )
95	70, 94	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* )
96		hashnemnf 12225	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( E ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
97	70, 96	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
98	95, 97	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) =/= -oo ) )
99		hashxrcl 12237	. . . . . 6 |- ( { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* )
100	72, 99	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* )
101		hashnemnf 12225	. . . . . 6 |- ( { x e. B | ( F ` x ) = { U } } e. _V -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
102	72, 101	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo )
103	100, 102	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) e. RR* /\ ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) =/= -oo ) )
104	88, 93, 98, 103	xadd4d 11370	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) ) +e ( ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
105	83, 104	eqtrd 2492	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
106		relumgra 23393	. . . 4 |- Rel UMGrph
107		vdgrun.ge	. . . 4 |- ( ph -> V UMGrph E )
108		brrelex 4978	. . . 4 |- ( ( Rel UMGrph /\ V UMGrph E ) -> V e. _V )
109	106, 107, 108	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
110		fnun 5618	. . . 4 |- ( ( ( E Fn A /\ F Fn B ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( E u. F ) Fn ( A u. B ) )
111	10, 12, 14, 110	syl21anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( E u. F ) Fn ( A u. B ) )
112		unexg 6484	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A u. B ) e. _V )
113	35, 38, 112	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) e. _V )
114		vdgrun.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
115		vdgrval 23711	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ ( E u. F ) Fn ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) )
116	109, 111, 113, 114, 115	syl31anc 1222	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( # ` { x e. ( A u. B ) | U e. ( ( E u. F ) ` x ) } ) +e ( # ` { x e. ( A u. B ) | ( ( E u. F ) ` x ) = { U } } ) ) )
117		vdgrval 23711	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E Fn A /\ A e. X ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg E ) ` U ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) )
118	109, 10, 35, 114, 117	syl31anc 1222	. . 3 |- ( ph -> ( ( V VDeg E ) ` U ) = ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) )
119		vdgrval 23711	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ F Fn B /\ B e. Y ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg F ) ` U ) = ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
120	109, 12, 38, 114, 119	syl31anc 1222	. . 3 |- ( ph -> ( ( V VDeg F ) ` U ) = ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6211	. 2 |- ( ph -> ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) = ( ( ( # ` { x e. A | U e. ( E ` x ) } ) +e ( # ` { x e. A | ( E ` x ) = { U } } ) ) +e ( ( # ` { x e. B | U e. ( F ` x ) } ) +e ( # ` { x e. B | ( F ` x ) = { U } } ) ) ) )
122	105, 116, 121	3eqtr4d 2502	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg ( E u. F ) ) ` U ) = ( ( ( V VDeg E ) ` U ) +e ( ( V VDeg F ) ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2436   =/= wne 2644   {crab 2799   _Vcvv 3071   u. cun 3427   i^i cin 3428   C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978   class class class wbr 4393   Rel wrel 4946   Fn wfn 5514   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   -oocmnf 9520   RR*cxr 9521   +ecxad 11191   #chash 12213   UMGrph cumg 23391   VDeg cvdg 23708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-xadd 11194  df-hash 12214  df-umgra 23392  df-vdgr 23709

This theorem is referenced by: (None)