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Theorem vdgrun 25318
Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgrun.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
vdgrun.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
vdgrun.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
vdgrun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
vdgrun.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
vdgrun.ge  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
vdgrun.gf  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
vdgrun.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgrun  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U ) +e
( ( V VDeg  F
) `  U )
) )

Proof of Theorem vdgrun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21anbi1i 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) )
3 andir 869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
42, 3bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
54abbii 2536 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
)  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) ) }
6 df-rab 2763 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
7 unab 3717 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  { x  |  ( ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  \/  (
x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) ) }
85, 6, 73eqtr4i 2441 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) } )
9 df-rab 2763 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
10 vdgrun.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  Fn  A )
12 vdgrun.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
1312adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  Fn  B )
14 vdgrun.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
16 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
17 fvun1 5920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( E `
 x ) )
1811, 13, 15, 16, 17syl112anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( E `  x ) )
1918eleq2d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
2019rabbidva 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
219, 20syl5eqr 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
22 df-rab 2763 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
2310adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E  Fn  A )
2412adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  Fn  B )
2514adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
26 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
27 fvun2 5921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
2823, 24, 25, 26, 27syl112anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( F `  x ) )
2928eleq2d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( F `  x ) ) )
3029rabbidva 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3122, 30syl5eqr 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3221, 31uneq12d 3598 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) }  u.  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
338, 32syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) }  =  ( {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
3433fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
35 vdgrun.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
36 rabexg 4544 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
38 vdgrun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
39 rabexg 4544 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  e.  _V )
4038, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V )
41 ssrab2 3524 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  C_  A
42 ssrab2 3524 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  C_  B
43 ss2in 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  ( A  i^i  B ) )
4441, 42, 43mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  ( A  i^i  B )
4544, 14syl5sseq 3490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  (/) )
46 ss0 3770 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  (/) 
->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
48 hashunx 12502 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V  /\  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) )
5034, 49eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
511anbi1i 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) )
52 andir 869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5453abbii 2536 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
55 df-rab 2763 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
56 unab 3717 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )  =  {
x  |  ( ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
5754, 55, 563eqtr4i 2441 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )
58 df-rab 2763 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
5918eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( E `  x
)  =  { U } ) )
6059rabbidva 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )
6158, 60syl5eqr 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )
62 df-rab 2763 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
6328eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( F `  x
)  =  { U } ) )
6463rabbidva 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )
6562, 64syl5eqr 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )
6661, 65uneq12d 3598 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) } )  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6757, 66syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6867fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  (
# `  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
69 rabexg 4544 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  _V )
7035, 69syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  _V )
71 rabexg 4544 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Y  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  _V )
7238, 71syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  _V )
73 ssrab2 3524 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A
74 ssrab2 3524 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
75 ss2in 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A  /\  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
)  ->  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B ) )
7673, 74, 75mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B )
7776, 14syl5sseq 3490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  C_  (/) )
78 ss0 3770 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  C_  (/)  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =  (/) )
7977, 78syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )
80 hashunx 12502 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  _V  /\ 
{ x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  _V  /\  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
8170, 72, 79, 80syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8268, 81eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8350, 82oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } ) +e (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) )  =  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) +e ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
84 hashxrcl 12476 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
8537, 84syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
86 hashnemnf 12464 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  =/= -oo )
8737, 86syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  =/= -oo )
8885, 87jca 530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  =/= -oo ) )
89 hashxrcl 12476 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  RR* )
9040, 89syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  RR* )
91 hashnemnf 12464 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =/= -oo )
9240, 91syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =/= -oo )
9390, 92jca 530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  =/= -oo ) )
94 hashxrcl 12476 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
9570, 94syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
96 hashnemnf 12464 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
9770, 96syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
9895, 97jca 530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo ) )
99 hashxrcl 12476 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
10072, 99syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  RR* )
101 hashnemnf 12464 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
10272, 101syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo )
103100, 102jca 530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =/= -oo ) )
10488, 93, 98, 103xadd4d 11548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) +e ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) +e (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )  =  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) +e
( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) ) ) )
10583, 104eqtrd 2443 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } ) +e (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) )  =  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } ) ) +e ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
106 relumgra 24731 . . . 4  |-  Rel UMGrph
107 vdgrun.ge . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
108 brrelex 4862 . . . 4  |-  ( ( Rel UMGrph  /\  V UMGrph  E )  ->  V  e.  _V )
109106, 107, 108sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
110 fnun 5668 . . . 4  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( E  u.  F )  Fn  ( A  u.  B )
)
11110, 12, 14, 110syl21anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B ) )
112 unexg 6583 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
11335, 38, 112syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
114 vdgrun.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
115 vdgrval 25313 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F
) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } ) ) )
116109, 111, 113, 114, 115syl31anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) ) )
117 vdgrval 25313 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) )
118109, 10, 35, 114, 117syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  E
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) )
119 vdgrval 25313 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  B  e.  Y )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  F ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
120109, 12, 38, 114, 119syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  F
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
121118, 120oveq12d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
) +e ( ( V VDeg  F ) `
 U ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) +e ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) ) )
122105, 116, 1213eqtr4d 2453 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U ) +e
( ( V VDeg  F
) `  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   {crab 2758   _Vcvv 3059    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   class class class wbr 4395   Rel wrel 4828    Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657   +ecxad 11369   #chash 12452   UMGrph cumg 24729   VDeg cvdg 25310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-xadd 11372  df-hash 12453  df-umgra 24730  df-vdgr 25311
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