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Theorem vdgrfiun 24878
Description: The degree of a vertex in the union of two graphs (of finite size) on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgrfiun.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
vdgrfiun.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
vdgrfiun.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
vdgrfiun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
vdgrfiun.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
vdgrfiun.ge  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
vdgrfiun.gf  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
vdgrfiun.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgrfiun  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  F ) `
 U ) ) )

Proof of Theorem vdgrfiun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) )
3 andir 868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
42, 3bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
54abbii 2577 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
)  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) ) }
6 df-rab 2802 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
7 unab 3750 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  { x  |  ( ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  \/  (
x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) ) }
85, 6, 73eqtr4i 2482 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) } )
9 df-rab 2802 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
10 vdgrfiun.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  Fn  A )
12 vdgrfiun.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  Fn  B )
14 vdgrfiun.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
17 fvun1 5929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( E `
 x ) )
1811, 13, 15, 16, 17syl112anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( E `  x ) )
1918eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
2019rabbidva 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
219, 20syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
22 df-rab 2802 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
2310adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E  Fn  A )
2412adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  Fn  B )
2514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
27 fvun2 5930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
2823, 24, 25, 26, 27syl112anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( F `  x ) )
2928eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( F `  x ) ) )
3029rabbidva 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3122, 30syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3221, 31uneq12d 3644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) }  u.  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
338, 32syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) }  =  ( {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
3433fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
35 vdgrfiun.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
36 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  C_  A
37 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A )  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
39 vdgrfiun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
40 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  C_  B
41 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  e.  Fin )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin )
43 ss2in 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  ( A  i^i  B ) )
4436, 40, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  ( A  i^i  B )
4544, 14syl5sseq 3537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  (/) )
46 ss0 3802 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  (/) 
->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
48 hashun 12431 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
4938, 42, 47, 48syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) )
5034, 49eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
511anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) )
52 andir 868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5453abbii 2577 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
55 df-rab 2802 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
56 unab 3750 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )  =  {
x  |  ( ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
5754, 55, 563eqtr4i 2482 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )
58 df-rab 2802 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
5918eqeq1d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( E `  x
)  =  { U } ) )
6059rabbidva 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )
6158, 60syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )
62 df-rab 2802 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
6328eqeq1d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( F `  x
)  =  { U } ) )
6463rabbidva 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )
6562, 64syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )
6661, 65uneq12d 3644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) } )  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6757, 66syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6867fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  (
# `  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
69 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A
70 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  C_  A )  ->  { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  e.  Fin )
7135, 69, 70sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  Fin )
72 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
73 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  C_  B )  ->  { x  e.  B  |  ( F `
 x )  =  { U } }  e.  Fin )
7439, 72, 73sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  Fin )
75 ss2in 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A  /\  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
)  ->  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B ) )
7669, 72, 75mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B )
7776, 14syl5sseq 3537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  C_  (/) )
78 ss0 3802 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  C_  (/)  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =  (/) )
7977, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )
80 hashun 12431 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
8171, 74, 79, 80syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8268, 81eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8350, 82oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  +  ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  +  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
)  +  ( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) ) ) )
84 hashcl 12409 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
8538, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
8685nn0cnd 10861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  CC )
87 hashcl 12409 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  NN0 )
8842, 87syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  NN0 )
8988nn0cnd 10861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  CC )
90 hashcl 12409 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9171, 90syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9291nn0cnd 10861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  CC )
93 hashcl 12409 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9474, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9594nn0cnd 10861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  CC )
9686, 89, 92, 95add4d 9808 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  +  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
9783, 96eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  +  ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
98 relumgra 24290 . . . 4  |-  Rel UMGrph
99 vdgrfiun.ge . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
100 brrelex 5028 . . . 4  |-  ( ( Rel UMGrph  /\  V UMGrph  E )  ->  V  e.  _V )
10198, 99, 100sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
102 fnun 5677 . . . 4  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( E  u.  F )  Fn  ( A  u.  B )
)
10310, 12, 14, 102syl21anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B ) )
104 unfi 7789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
10535, 39, 104syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
106 vdgrfiun.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
107 vdgrfival 24873 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
)  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F
) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } ) ) )
108101, 103, 105, 106, 107syl31anc 1232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) ) )
109 vdgrfival 24873 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) )
110101, 10, 35, 106, 109syl31anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  E
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) )
111 vdgrfival 24873 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  B  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  F ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
112101, 12, 39, 106, 111syl31anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  F
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
113110, 112oveq12d 6299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
)  +  ( ( V VDeg  F ) `  U ) )  =  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
11497, 108, 1133eqtr4d 2494 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  F ) `
 U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   {crab 2797   _Vcvv 3095    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   class class class wbr 4437   Rel wrel 4994    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518    + caddc 9498   NN0cn0 10802   #chash 12386   UMGrph cumg 24288   VDeg cvdg 24869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-xadd 11329  df-hash 12387  df-umgra 24289  df-vdgr 24870
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  24955  vdegp1ai  24960  vdegp1bi  24961
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