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Theorem vdgrfiun 23725
Description: The degree of a vertex in the union of two graphs (of finite size) on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgrfiun.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
vdgrfiun.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
vdgrfiun.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
vdgrfiun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
vdgrfiun.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
vdgrfiun.ge  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
vdgrfiun.gf  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
vdgrfiun.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgrfiun  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  F ) `
 U ) ) )

Proof of Theorem vdgrfiun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) )
3 andir 863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
42, 3bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
54abbii 2588 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
)  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) ) }
6 df-rab 2808 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
7 unab 3726 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  { x  |  ( ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  \/  (
x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) ) }
85, 6, 73eqtr4i 2493 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) } )
9 df-rab 2808 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
10 vdgrfiun.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  Fn  A )
12 vdgrfiun.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  Fn  B )
14 vdgrfiun.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
17 fvun1 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( E `
 x ) )
1811, 13, 15, 16, 17syl112anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( E `  x ) )
1918eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
2019rabbidva 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
219, 20syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
22 df-rab 2808 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
2310adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E  Fn  A )
2412adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  Fn  B )
2514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
27 fvun2 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
2823, 24, 25, 26, 27syl112anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( F `  x ) )
2928eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( F `  x ) ) )
3029rabbidva 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3122, 30syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3221, 31uneq12d 3620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) }  u.  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
338, 32syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) }  =  ( {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
3433fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
35 vdgrfiun.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
36 ssrab2 3546 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  C_  A
37 ssfi 7645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A )  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
39 vdgrfiun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
40 ssrab2 3546 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  C_  B
41 ssfi 7645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  e.  Fin )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin )
43 ss2in 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  ( A  i^i  B ) )
4436, 40, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  ( A  i^i  B )
4544, 14syl5sseq 3513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  (/) )
46 ss0 3777 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  (/) 
->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
48 hashun 12264 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
4938, 42, 47, 48syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) )
5034, 49eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
511anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) )
52 andir 863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5453abbii 2588 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
55 df-rab 2808 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
56 unab 3726 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )  =  {
x  |  ( ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
5754, 55, 563eqtr4i 2493 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )
58 df-rab 2808 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
5918eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( E `  x
)  =  { U } ) )
6059rabbidva 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )
6158, 60syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )
62 df-rab 2808 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
6328eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( F `  x
)  =  { U } ) )
6463rabbidva 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )
6562, 64syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )
6661, 65uneq12d 3620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) } )  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6757, 66syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6867fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  (
# `  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
69 ssrab2 3546 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A
70 ssfi 7645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  C_  A )  ->  { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  e.  Fin )
7135, 69, 70sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  Fin )
72 ssrab2 3546 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
73 ssfi 7645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  C_  B )  ->  { x  e.  B  |  ( F `
 x )  =  { U } }  e.  Fin )
7439, 72, 73sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  Fin )
75 ss2in 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A  /\  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
)  ->  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B ) )
7669, 72, 75mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B )
7776, 14syl5sseq 3513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  C_  (/) )
78 ss0 3777 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  C_  (/)  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =  (/) )
7977, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )
80 hashun 12264 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
8171, 74, 79, 80syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8268, 81eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8350, 82oveq12d 6219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  +  ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  +  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
)  +  ( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) ) ) )
84 hashcl 12244 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
8538, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
8685nn0cnd 10750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  CC )
87 hashcl 12244 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  NN0 )
8842, 87syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  NN0 )
8988nn0cnd 10750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  CC )
90 hashcl 12244 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9171, 90syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9291nn0cnd 10750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  CC )
93 hashcl 12244 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9474, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9594nn0cnd 10750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  CC )
9686, 89, 92, 95add4d 9705 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  +  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
9783, 96eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  +  ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
98 relumgra 23401 . . . 4  |-  Rel UMGrph
99 vdgrfiun.ge . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
100 brrelex 4986 . . . 4  |-  ( ( Rel UMGrph  /\  V UMGrph  E )  ->  V  e.  _V )
10198, 99, 100sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
102 fnun 5626 . . . 4  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( E  u.  F )  Fn  ( A  u.  B )
)
10310, 12, 14, 102syl21anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B ) )
104 unfi 7691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
10535, 39, 104syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
106 vdgrfiun.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
107 vdgrfival 23720 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
)  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F
) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } ) ) )
108101, 103, 105, 106, 107syl31anc 1222 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) ) )
109 vdgrfival 23720 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) )
110101, 10, 35, 106, 109syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  E
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) )
111 vdgrfival 23720 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  B  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  F ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
112101, 12, 39, 106, 111syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  F
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
113110, 112oveq12d 6219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
)  +  ( ( V VDeg  F ) `  U ) )  =  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
11497, 108, 1133eqtr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  F ) `
 U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   {crab 2803   _Vcvv 3078    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   {csn 3986   class class class wbr 4401   Rel wrel 4954    Fn wfn 5522   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421    + caddc 9397   NN0cn0 10691   #chash 12221   UMGrph cumg 23399   VDeg cvdg 23716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-xadd 11202  df-hash 12222  df-umgra 23400  df-vdgr 23717
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  23753  vdegp1ai  23758  vdegp1bi  23759
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