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Theorem vdgrfiun 24564
Description: The degree of a vertex in the union of two graphs (of finite size) on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgrfiun.e  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
vdgrfiun.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
vdgrfiun.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
vdgrfiun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
vdgrfiun.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
vdgrfiun.ge  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
vdgrfiun.gf  |-  ( ph  ->  V UMGrph  F )
vdgrfiun.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgrfiun  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  F ) `
 U ) ) )

Proof of Theorem vdgrfiun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) )
3 andir 864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
42, 3bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) )  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) ) )
54abbii 2594 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
)  \/  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) ) }
6 df-rab 2816 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
7 unab 3758 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  { x  |  ( ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) )  \/  (
x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) ) }
85, 6, 73eqtr4i 2499 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) } )
9 df-rab 2816 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
10 vdgrfiun.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  Fn  A )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  Fn  A )
12 vdgrfiun.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  Fn  B )
14 vdgrfiun.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
17 fvun1 5929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( E `
 x ) )
1811, 13, 15, 16, 17syl112anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( E `  x ) )
1918eleq2d 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
2019rabbidva 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
219, 20syl5eqr 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )
22 df-rab 2816 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) }  =  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) }
2310adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E  Fn  A )
2412adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  Fn  B )
2514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
27 fvun2 5930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
2823, 24, 25, 26, 27syl112anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( E  u.  F
) `  x )  =  ( F `  x ) )
2928eleq2d 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x )  <->  U  e.  ( F `  x ) ) )
3029rabbidva 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3122, 30syl5eqr 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x ) ) }  =  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )
3221, 31uneq12d 3652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  U  e.  (
( E  u.  F
) `  x )
) }  u.  {
x  |  ( x  e.  B  /\  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) ) } )  =  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
338, 32syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) }  =  ( {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )
3433fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
35 vdgrfiun.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
36 ssrab2 3578 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  C_  A
37 ssfi 7730 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A )  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
39 vdgrfiun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
40 ssrab2 3578 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  C_  B
41 ssfi 7730 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) }  e.  Fin )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin )
43 ss2in 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  C_  A  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  C_  B )  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  ( A  i^i  B ) )
4436, 40, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  ( A  i^i  B )
4544, 14syl5sseq 3545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) 
C_  (/) )
46 ss0 3809 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  i^i  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  C_  (/) 
->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )
48 hashun 12405 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  i^i  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) }  u.  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
4938, 42, 47, 48syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  u.  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) ) )
5034, 49eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) ) )
511anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) )
52 andir 864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) )
5453abbii 2594 . . . . . . . 8  |-  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } ) }  =  { x  |  (
( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
55 df-rab 2816 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
56 unab 3758 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )  =  {
x  |  ( ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } )  \/  (
x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) ) }
5754, 55, 563eqtr4i 2499 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }  =  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } ) } )
58 df-rab 2816 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  A  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
5918eqeq1d 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( E `  x
)  =  { U } ) )
6059rabbidva 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )
6158, 60syl5eqr 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )
62 df-rab 2816 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } }  =  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }
6328eqeq1d 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } 
<->  ( F `  x
)  =  { U } ) )
6463rabbidva 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )
6562, 64syl5eqr 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  B  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )
6661, 65uneq12d 3652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } ) }  u.  { x  |  ( x  e.  B  /\  (
( E  u.  F
) `  x )  =  { U } ) } )  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6757, 66syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } }  =  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )
6867fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  (
# `  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
69 ssrab2 3578 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A
70 ssfi 7730 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  C_  A )  ->  { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  e.  Fin )
7135, 69, 70sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  Fin )
72 ssrab2 3578 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
73 ssfi 7730 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  C_  B )  ->  { x  e.  B  |  ( F `
 x )  =  { U } }  e.  Fin )
7439, 72, 73sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  Fin )
75 ss2in 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  C_  A  /\  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  C_  B
)  ->  ( {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B ) )
7669, 72, 75mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
)  C_  ( A  i^i  B )
7776, 14syl5sseq 3545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  C_  (/) )
78 ss0 3809 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  C_  (/)  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  i^i  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  =  (/) )
7977, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )
80 hashun 12405 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  i^i  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { U } }  u.  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
8171, 74, 79, 80syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }  u.  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8268, 81eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
8350, 82oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  +  ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } ) )  +  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
)  +  ( # `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } } ) ) ) )
84 hashcl 12383 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
8538, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
8685nn0cnd 10843 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  e.  CC )
87 hashcl 12383 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  NN0 )
8842, 87syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  NN0 )
8988nn0cnd 10843 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  e.  CC )
90 hashcl 12383 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9171, 90syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9291nn0cnd 10843 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } )  e.  CC )
93 hashcl 12383 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9474, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0 )
9594nn0cnd 10843 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } )  e.  CC )
9686, 89, 92, 95add4d 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } ) )  +  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
9783, 96eqtrd 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `
 x ) } )  +  ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
98 relumgra 23977 . . . 4  |-  Rel UMGrph
99 vdgrfiun.ge . . . 4  |-  ( ph  ->  V UMGrph  E )
100 brrelex 5030 . . . 4  |-  ( ( Rel UMGrph  /\  V UMGrph  E )  ->  V  e.  _V )
10198, 99, 100sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
102 fnun 5678 . . . 4  |-  ( ( ( E  Fn  A  /\  F  Fn  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( E  u.  F )  Fn  ( A  u.  B )
)
10310, 12, 14, 102syl21anc 1222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B ) )
104 unfi 7776 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
10535, 39, 104syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
106 vdgrfiun.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
107 vdgrfival 24559 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( E  u.  F
)  Fn  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B
)  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F
) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  U  e.  ( ( E  u.  F ) `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  ( A  u.  B )  |  ( ( E  u.  F ) `  x
)  =  { U } } ) ) )
108101, 103, 105, 106, 107syl31anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  ( A  u.  B )  |  U  e.  ( ( E  u.  F
) `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  ( A  u.  B
)  |  ( ( E  u.  F ) `
 x )  =  { U } }
) ) )
109 vdgrfival 24559 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { U } } ) ) )
110101, 10, 35, 106, 109syl31anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  E
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) ) )
111 vdgrfival 24559 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  B  e.  Fin )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  F ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) )
112101, 12, 39, 106, 111syl31anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  F
) `  U )  =  ( ( # `  { x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  B  |  ( F `  x )  =  { U } }
) ) )
113110, 112oveq12d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
)  +  ( ( V VDeg  F ) `  U ) )  =  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  U  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { U } }
) )  +  ( ( # `  {
x  e.  B  |  U  e.  ( F `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  B  | 
( F `  x
)  =  { U } } ) ) ) )
11497, 108, 1133eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  ( E  u.  F )
) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  F ) `
 U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   {crab 2811   _Vcvv 3106    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020   class class class wbr 4440   Rel wrel 4997    Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506    + caddc 9484   NN0cn0 10784   #chash 12360   UMGrph cumg 23975   VDeg cvdg 24555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-xadd 11308  df-hash 12361  df-umgra 23976  df-vdgr 24556
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  24641  vdegp1ai  24646  vdegp1bi  24647
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