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Theorem vdgrf 23568
Description: The vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers or plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgrf  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )

Proof of Theorem vdgrf
Dummy variables  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 10615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e. 
NN0 )
2 elun1 3523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
4 nn0re 10588 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e. 
NN0  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR )
5 nn0re 10588 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0  ->  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  RR )
6 rexadd 11202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) ) )
76eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR )  ->  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( # `
 { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
84, 5, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
93, 8mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
109a1d 25 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
11 ianor 488 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  <->  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )
)
12 df-nel 2609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0  <->  -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
13 rabexg 4442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
14133ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
16 rabexg 4442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }  e.  _V )
17163ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0 )
20 hashinfxadd 12148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  /\  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
2221ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0 
->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
2312, 22sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
24 df-nel 2609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0  <->  -.  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )
2517ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
2614ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0 )
28 hashxrcl 12127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* )
29 hashxrcl 12127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
3028, 29anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* ) )
31303adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* ) )
32 xaddcom 11208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR* )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) +e (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) ) )
34 hashinfxadd 12148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) )  = +oo )
3533, 34eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  = +oo )
3625, 26, 27, 35syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
3736ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0  ->  (
( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
3824, 37sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
3923, 38jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
4039imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0 )  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
41 pnfex 11093 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  _V
4241snid 3905 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  { +oo }
4342olci 391 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  NN0  \/ +oo  e.  { +oo } )
44 elun 3497 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( +oo  e.  NN0  \/ +oo  e.  { +oo } ) )
4543, 44mpbir 209 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( NN0  u.  { +oo } )
4640, 45syl6eqel 2531 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0 )  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
4811, 47sylbi 195 . . . 4  |-  ( -.  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
4910, 48pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
50 eqid 2443 . . 3  |-  ( u  e.  V  |->  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) ) )
5149, 50fmptd 5867 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) ) ) : V --> ( NN0  u.  { +oo } ) )
52 vdgrfval 23565 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E )  =  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) ) ) )
5352feq1d 5546 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( ( V VDeg  E
) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } )  <-> 
( u  e.  V  |->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) ) ) : V --> ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
5451, 53mpbird 232 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2607   {crab 2719   _Vcvv 2972    u. cun 3326   {csn 3877    e. cmpt 4350    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281    + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   NN0cn0 10579   +ecxad 11087   #chash 12103   VDeg cvdg 23563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-xadd 11090  df-hash 12104  df-vdgr 23564
This theorem is referenced by:  vdgrnn0pnf  23579  vdgfrgragt2  30620
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