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Theorem vdgrf 24721
Description: The vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers or plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgrf  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )

Proof of Theorem vdgrf
Dummy variables  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 10843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e. 
NN0 )
2 elun1 3676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
4 nn0re 10816 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e. 
NN0  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR )
5 nn0re 10816 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0  ->  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  RR )
6 rexadd 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) ) )
76eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR )  ->  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( # `
 { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
84, 5, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
93, 8mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
109a1d 25 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
11 ianor 488 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  <->  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )
)
12 df-nel 2665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0  <->  -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
13 rabexg 4603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
14133ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
16 rabexg 4603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }  e.  _V )
17163ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0 )
20 hashinfxadd 12433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  /\  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
2221ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0 
->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
2312, 22sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
24 df-nel 2665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0  <->  -.  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )
2517ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
2614ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0 )
28 hashxrcl 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* )
29 hashxrcl 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
3028, 29anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* ) )
31303adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* ) )
32 xaddcom 11449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR* )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) +e (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) ) )
34 hashinfxadd 12433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) )  = +oo )
3533, 34eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  = +oo )
3625, 26, 27, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
3736ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0  ->  (
( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
3824, 37sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
3923, 38jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
4039imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0 )  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
41 pnfex 11334 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  _V
4241snid 4061 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  { +oo }
4342olci 391 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  NN0  \/ +oo  e.  { +oo } )
44 elun 3650 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( +oo  e.  NN0  \/ +oo  e.  { +oo } ) )
4543, 44mpbir 209 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( NN0  u.  { +oo } )
4640, 45syl6eqel 2563 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0 )  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
4811, 47sylbi 195 . . . 4  |-  ( -.  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
4910, 48pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
50 eqid 2467 . . 3  |-  ( u  e.  V  |->  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) ) )
5149, 50fmptd 6056 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) ) ) : V --> ( NN0  u.  { +oo } ) )
52 vdgrfval 24718 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E )  =  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) ) ) )
5352feq1d 5723 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( ( V VDeg  E
) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } )  <-> 
( u  e.  V  |->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) ) ) : V --> ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
5451, 53mpbird 232 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479   {csn 4033    |-> cmpt 4511    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639   NN0cn0 10807   +ecxad 11328   #chash 12385   VDeg cvdg 24716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-xadd 11331  df-hash 12386  df-vdgr 24717
This theorem is referenced by:  vdgrnn0pnf  24732  vdgfrgragt2  24851
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