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Theorem vdgrf 25624
Description: The vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers or plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgrf  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )

Proof of Theorem vdgrf
Dummy variables  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 10912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e. 
NN0 )
2 elun1 3633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
4 nn0re 10885 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e. 
NN0  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR )
5 nn0re 10885 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0  ->  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  RR )
6 rexadd 11532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) ) )
76eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR )  ->  ( ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( # `
 { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
84, 5, 7syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
93, 8mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
109a1d 26 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
11 ianor 490 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  <->  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )
)
12 df-nel 2617 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0  <->  -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0 )
13 rabexg 4574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )
14133ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
1514ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
16 rabexg 4574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }  e.  _V )
17163ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
1817ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
19 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0 )
20 hashinfxadd 12570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  /\  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0 )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e/  NN0  /\  (
( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
2221ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } )  e/  NN0 
->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
2312, 22sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
24 df-nel 2617 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0  <->  -.  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )
2517ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V )
2614ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  ->  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
27 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0 )
28 hashxrcl 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* )
29 hashxrcl 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR* )
3028, 29anim12ci 569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* ) )
31303adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  RR* ) )
32 xaddcom 11538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  RR*  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  RR* )  ->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  =  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) +e (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  =  ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) ) )
34 hashinfxadd 12570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) )  = +oo )
3533, 34eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } }  e.  _V  /\  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) }  e.  _V  /\  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0 )  ->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) )  = +oo )
3625, 26, 27, 35syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e/  NN0  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
3736ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e/  NN0  ->  (
( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
3824, 37sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
3923, 38jaoi 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  = +oo ) )
4039imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0 )  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  = +oo )
41 pnfex 11420 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  _V
4241snid 4026 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  { +oo }
4342olci 392 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  NN0  \/ +oo  e.  { +oo } )
44 elun 3606 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( +oo  e.  NN0  \/ +oo  e.  { +oo } ) )
4543, 44mpbir 212 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( NN0  u.  { +oo } )
4640, 45syl6eqel 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/ 
-.  ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } )  e.  NN0 )  /\  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) )  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
4746ex 435 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  \/  -.  ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
4811, 47sylbi 198 . . . 4  |-  ( -.  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } )  e.  NN0  /\  ( # `
 { x  e.  A  |  ( E `
 x )  =  { u } }
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
4910, 48pm2.61i 167 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X
)  /\  u  e.  V )  ->  (
( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
50 eqid 2422 . . 3  |-  ( u  e.  V  |->  ( (
# `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  A  | 
( E `  x
)  =  { u } } ) ) )  =  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) ) )
5149, 50fmptd 6061 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) ) ) : V --> ( NN0  u.  { +oo } ) )
52 vdgrfval 25621 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E )  =  ( u  e.  V  |->  ( ( # `  { x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  { u } }
) ) ) )
5352feq1d 5732 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( ( V VDeg  E
) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } )  <-> 
( u  e.  V  |->  ( ( # `  {
x  e.  A  |  u  e.  ( E `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  A  |  ( E `  x )  =  {
u } } ) ) ) : V --> ( NN0  u.  { +oo } ) ) )
5451, 53mpbird 235 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  E  Fn  A  /\  A  e.  X )  ->  ( V VDeg  E ) : V --> ( NN0 
u.  { +oo } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    e/ wnel 2615   {crab 2775   _Vcvv 3080    u. cun 3434   {csn 3998    |-> cmpt 4482    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545    + caddc 9549   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681   NN0cn0 10876   +ecxad 11414   #chash 12521   VDeg cvdg 25619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-xadd 11417  df-hash 12522  df-vdgr 25620
This theorem is referenced by:  vdgrnn0pnf  25635  vdgfrgragt2  25753
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