Theorem vdgr1d 23585

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgr1.1	|- ( ph -> V e. _V )
vdgr1.2	|- ( ph -> A e. _V )
vdgr1.3	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgr1d	|- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Proof of Theorem vdgr1d

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdgr1.1	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
2		vdgr1.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
3		snex 4545	. . . . 5 |- { U } e. _V
4		f1osng 5691	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
5	2, 3, 4	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6		f1ofn 5654	. . . 4 |- ( { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
7	5, 6	syl 16	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
8		snex 4545	. . . 4 |- { A } e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { A } e. _V )
10		vdgr1.3	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
11		vdgrval 23578	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ { <. A , { U } >. } Fn { A } /\ { A } e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
12	1, 7, 9, 10, 11	syl31anc 1221	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
13		hashrabrsn 12149	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. NN0
14	13	nn0rei 10602	. . 3 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR
15		hashrabrsn 12149	. . . . 5 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. NN0
16	15	nn0rei 10602	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR )
18		rexadd 11214	. . 3 |- ( ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR /\ ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR ) -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
19	14, 17, 18	sylancr 663	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
20		snidg 3915	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> U e. { U } )
21	10, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. { U } )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. { U } )
23		elsni 3914	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } -> x = A )
24	23	fveq2d 5707	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = ( { <. A , { U } >. } ` A ) )
25		fvsng 5924	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
26	2, 3, 25	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
27	24, 26	sylan9eqr 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
28	22, 27	eleqtrrd 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
29	28	ralrimiva 2811	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
30		rabid2 2910	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } <-> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
31	29, 30	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } )
32	31	fveq2d 5707	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) )
33		hashsng 12148	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( # ` { A } ) = 1 )
34	2, 33	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = 1 )
35	32, 34	eqtr3d 2477	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) = 1 )
36	27	ralrimiva 2811	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
37		rabid2 2910	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } <-> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } )
39	38	fveq2d 5707	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) )
40	39, 34	eqtr3d 2477	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) = 1 )
41	35, 40	oveq12d 6121	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
42		df-2 10392	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
43	41, 42	syl6eqr 2493	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = 2 )
44	12, 19, 43	3eqtrd 2479	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984   {csn 3889   <.cop 3895   Fn wfn 5425   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   1c1 9295   + caddc 9297   2c2 10383   +ecxad 11099   #chash 12115   VDeg cvdg 23575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-xadd 11102  df-fz 11450  df-hash 12116  df-vdgr 23576

This theorem is referenced by:  eupath2lem3  23612