MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1d Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1d 23585
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgr1d  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )

Proof of Theorem vdgr1d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 snex 4545 . . . . 5  |-  { U }  e.  _V
4 f1osng 5691 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6 f1ofn 5654 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } }  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4545 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 23578 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1221 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12149 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10602 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12149 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10602 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11214 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  e.  RR  /\  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
20 snidg 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
23 elsni 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U } >. } `  A
) )
25 fvsng 5924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U }
)
262, 3, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U } )
2724, 26sylan9eqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } )
2822, 27eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
2928ralrimiva 2811 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
30 rabid2 2910 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )
3231fveq2d 5707 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) )
33 hashsng 12148 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  =  1 )
3627ralrimiva 2811 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
37 rabid2 2910 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } }  <->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
3836, 37sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )
3938fveq2d 5707 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } } ) )
4039, 34eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  =  1 )
4135, 40oveq12d 6121 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
42 df-2 10392 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4341, 42syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  2 )
4412, 19, 433eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984   {csn 3889   <.cop 3895    Fn wfn 5425   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   1c1 9295    + caddc 9297   2c2 10383   +ecxad 11099   #chash 12115   VDeg cvdg 23575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-xadd 11102  df-fz 11450  df-hash 12116  df-vdgr 23576
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  23612
  Copyright terms: Public domain W3C validator