Theorem vdgr1d 24768

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgr1.1	|- ( ph -> V e. _V )
vdgr1.2	|- ( ph -> A e. _V )
vdgr1.3	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgr1d	|- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Proof of Theorem vdgr1d

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdgr1.1	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
2		vdgr1.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
3		snex 4674	. . . . 5 |- { U } e. _V
4		f1osng 5840	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
5	2, 3, 4	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6		f1ofn 5803	. . . 4 |- ( { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
7	5, 6	syl 16	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
8		snex 4674	. . . 4 |- { A } e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { A } e. _V )
10		vdgr1.3	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
11		vdgrval 24761	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ { <. A , { U } >. } Fn { A } /\ { A } e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
12	1, 7, 9, 10, 11	syl31anc 1230	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
13		hashrabrsn 12414	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. NN0
14	13	nn0rei 10807	. . 3 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR
15		hashrabrsn 12414	. . . . 5 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. NN0
16	15	nn0rei 10807	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR )
18		rexadd 11435	. . 3 |- ( ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR /\ ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR ) -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
19	14, 17, 18	sylancr 663	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
20		snidg 4036	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> U e. { U } )
21	10, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. { U } )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. { U } )
23		elsni 4035	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } -> x = A )
24	23	fveq2d 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = ( { <. A , { U } >. } ` A ) )
25		fvsng 6086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
26	2, 3, 25	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
27	24, 26	sylan9eqr 2504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
28	22, 27	eleqtrrd 2532	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
29	28	ralrimiva 2855	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
30		rabid2 3019	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } <-> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
31	29, 30	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } )
32	31	fveq2d 5856	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) )
33		hashsng 12412	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( # ` { A } ) = 1 )
34	2, 33	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = 1 )
35	32, 34	eqtr3d 2484	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) = 1 )
36	27	ralrimiva 2855	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
37		rabid2 3019	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } <-> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } )
39	38	fveq2d 5856	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) )
40	39, 34	eqtr3d 2484	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) = 1 )
41	35, 40	oveq12d 6295	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
42		df-2 10595	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
43	41, 42	syl6eqr 2500	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = 2 )
44	12, 19, 43	3eqtrd 2486	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   {crab 2795   _Vcvv 3093   {csn 4010   <.cop 4016   Fn wfn 5569   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   1c1 9491   + caddc 9493   2c2 10586   +ecxad 11320   #chash 12379   VDeg cvdg 24758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-xadd 11323  df-fz 11677  df-hash 12380  df-vdgr 24759

This theorem is referenced by:  eupath2lem3  24844