MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdgr1d 25679
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgr1d  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )

Proof of Theorem vdgr1d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 snex 4654 . . . . 5  |-  { U }  e.  _V
4 f1osng 5875 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
52, 3, 4sylancl 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6 f1ofn 5837 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } }  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4654 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 25672 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1279 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12582 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10908 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12582 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10908 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11553 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  e.  RR  /\  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 674 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
20 snidg 4005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
2110, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
2221adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
23 elsni 4004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U } >. } `  A
) )
25 fvsng 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U }
)
262, 3, 25sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U } )
2724, 26sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } )
2822, 27eleqtrrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
2928ralrimiva 2813 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
30 rabid2 2979 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )
3231fveq2d 5891 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) )
33 hashsng 12580 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  =  1 )
3627ralrimiva 2813 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
37 rabid2 2979 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } }  <->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
3836, 37sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )
3938fveq2d 5891 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } } ) )
4039, 34eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  =  1 )
4135, 40oveq12d 6332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
42 df-2 10695 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4341, 42syl6eqr 2513 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  2 )
4412, 19, 433eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   {csn 3979   <.cop 3985    Fn wfn 5595   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   RRcr 9563   1c1 9565    + caddc 9567   2c2 10686   +ecxad 11435   #chash 12546   VDeg cvdg 25669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-xadd 11438  df-fz 11813  df-hash 12547  df-vdgr 25670
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25755
  Copyright terms: Public domain W3C validator