MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1d Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1d 24768
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgr1d  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )

Proof of Theorem vdgr1d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 snex 4674 . . . . 5  |-  { U }  e.  _V
4 f1osng 5840 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6 f1ofn 5803 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } }  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4674 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 24761 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12414 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10807 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12414 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10807 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11435 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  e.  RR  /\  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
20 snidg 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
23 elsni 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U } >. } `  A
) )
25 fvsng 6086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U }
)
262, 3, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U } )
2724, 26sylan9eqr 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } )
2822, 27eleqtrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
2928ralrimiva 2855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
30 rabid2 3019 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )
3231fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) )
33 hashsng 12412 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  =  1 )
3627ralrimiva 2855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
37 rabid2 3019 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } }  <->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
3836, 37sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )
3938fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } } ) )
4039, 34eqtr3d 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  =  1 )
4135, 40oveq12d 6295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
42 df-2 10595 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4341, 42syl6eqr 2500 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  2 )
4412, 19, 433eqtrd 2486 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   {crab 2795   _Vcvv 3093   {csn 4010   <.cop 4016    Fn wfn 5569   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   1c1 9491    + caddc 9493   2c2 10586   +ecxad 11320   #chash 12379   VDeg cvdg 24758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-xadd 11323  df-fz 11677  df-hash 12380  df-vdgr 24759
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  24844
  Copyright terms: Public domain W3C validator