Theorem vdgr1d 25108

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgr1.1	|- ( ph -> V e. _V )
vdgr1.2	|- ( ph -> A e. _V )
vdgr1.3	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgr1d	|- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Proof of Theorem vdgr1d

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdgr1.1	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
2		vdgr1.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
3		snex 4678	. . . . 5 |- { U } e. _V
4		f1osng 5836	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
5	2, 3, 4	sylancl 660	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6		f1ofn 5799	. . . 4 |- ( { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
7	5, 6	syl 16	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
8		snex 4678	. . . 4 |- { A } e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { A } e. _V )
10		vdgr1.3	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
11		vdgrval 25101	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ { <. A , { U } >. } Fn { A } /\ { A } e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
12	1, 7, 9, 10, 11	syl31anc 1229	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
13		hashrabrsn 12426	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. NN0
14	13	nn0rei 10802	. . 3 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR
15		hashrabrsn 12426	. . . . 5 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. NN0
16	15	nn0rei 10802	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR )
18		rexadd 11434	. . 3 |- ( ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR /\ ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR ) -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
19	14, 17, 18	sylancr 661	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
20		snidg 4042	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> U e. { U } )
21	10, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. { U } )
22	21	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. { U } )
23		elsni 4041	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } -> x = A )
24	23	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = ( { <. A , { U } >. } ` A ) )
25		fvsng 6081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
26	2, 3, 25	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
27	24, 26	sylan9eqr 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
28	22, 27	eleqtrrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
29	28	ralrimiva 2868	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
30		rabid2 3032	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } <-> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
31	29, 30	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } )
32	31	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) )
33		hashsng 12424	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( # ` { A } ) = 1 )
34	2, 33	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = 1 )
35	32, 34	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) = 1 )
36	27	ralrimiva 2868	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
37		rabid2 3032	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } <-> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } )
39	38	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) )
40	39, 34	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) = 1 )
41	35, 40	oveq12d 6288	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
42		df-2 10590	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
43	41, 42	syl6eqr 2513	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = 2 )
44	12, 19, 43	3eqtrd 2499	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   {csn 4016   <.cop 4022   Fn wfn 5565   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   2c2 10581   +ecxad 11319   #chash 12390   VDeg cvdg 25098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-fz 11676  df-hash 12391  df-vdgr 25099

This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25184