MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1d Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1d 25108
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
vdgr1d  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )

Proof of Theorem vdgr1d
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 snex 4678 . . . . 5  |-  { U }  e.  _V
4 f1osng 5836 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
52, 3, 4sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6 f1ofn 5799 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } }  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4678 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 25101 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12426 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10802 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12426 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10802 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11434 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  e.  RR  /\  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  e.  RR )  ->  ( ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) +e ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) ) )
20 snidg 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
2221adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
23 elsni 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U } >. } `  A
) )
25 fvsng 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U }
)
262, 3, 25sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U } >. } `  A )  =  { U } )
2724, 26sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } )
2822, 27eleqtrrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
2928ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) )
30 rabid2 3032 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )
3231fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } ) )
33 hashsng 12424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  =  1 )
3627ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
37 rabid2 3032 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } }  <->  A. x  e.  { A }  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } )
3836, 37sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )
3938fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U } >. } `  x )  =  { U } } ) )
4039, 34eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } )  =  1 )
4135, 40oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
42 df-2 10590 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4341, 42syl6eqr 2513 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
) } )  +  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U } >. } `  x
)  =  { U } } ) )  =  2 )
4412, 19, 433eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U } >. } ) `  U )  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   {csn 4016   <.cop 4022    Fn wfn 5565   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484   2c2 10581   +ecxad 11319   #chash 12390   VDeg cvdg 25098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-fz 11676  df-hash 12391  df-vdgr 25099
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25184
  Copyright terms: Public domain W3C validator