Theorem vdgr1d 25679

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgr1.1	|- ( ph -> V e. _V )
vdgr1.2	|- ( ph -> A e. _V )
vdgr1.3	|- ( ph -> U e. V )

Assertion

Ref	Expression
vdgr1d	|- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Proof of Theorem vdgr1d

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdgr1.1	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
2		vdgr1.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
3		snex 4654	. . . . 5 |- { U } e. _V
4		f1osng 5875	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
5	2, 3, 4	sylancl 673	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } )
6		f1ofn 5837	. . . 4 |- ( { <. A , { U } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U } } -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { U } >. } Fn { A } )
8		snex 4654	. . . 4 |- { A } e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { A } e. _V )
10		vdgr1.3	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
11		vdgrval 25672	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ { <. A , { U } >. } Fn { A } /\ { A } e. _V ) /\ U e. V ) -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
12	1, 7, 9, 10, 11	syl31anc 1279	. 2 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
13		hashrabrsn 12582	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. NN0
14	13	nn0rei 10908	. . 3 |- ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR
15		hashrabrsn 12582	. . . . 5 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. NN0
16	15	nn0rei 10908	. . . 4 |- ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR )
18		rexadd 11553	. . 3 |- ( ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) e. RR /\ ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) e. RR ) -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
19	14, 17, 18	sylancr 674	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) +e ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) )
20		snidg 4005	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> U e. { U } )
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. { U } )
22	21	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. { U } )
23		elsni 4004	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } -> x = A )
24	23	fveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = ( { <. A , { U } >. } ` A ) )
25		fvsng 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ { U } e. _V ) -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
26	2, 3, 25	sylancl 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { <. A , { U } >. } ` A ) = { U } )
27	24, 26	sylan9eqr 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
28	22, 27	eleqtrrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
29	28	ralrimiva 2813	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
30		rabid2 2979	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } <-> A. x e. { A } U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) )
31	29, 30	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } )
32	31	fveq2d 5891	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) )
33		hashsng 12580	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( # ` { A } ) = 1 )
34	2, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = 1 )
35	32, 34	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) = 1 )
36	27	ralrimiva 2813	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
37		rabid2 2979	. . . . . . 7 |- ( { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } <-> A. x e. { A } ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } )
38	36, 37	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } = { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } )
39	38	fveq2d 5891	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { A } ) = ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) )
40	39, 34	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) = 1 )
41	35, 40	oveq12d 6332	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
42		df-2 10695	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
43	41, 42	syl6eqr 2513	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. { A } | U e. ( { <. A , { U } >. } ` x ) } ) + ( # ` { x e. { A } | ( { <. A , { U } >. } ` x ) = { U } } ) ) = 2 )
44	12, 19, 43	3eqtrd 2499	1 |- ( ph -> ( ( V VDeg { <. A , { U } >. } ) ` U ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   {csn 3979   <.cop 3985   Fn wfn 5595   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   RRcr 9563   1c1 9565   + caddc 9567   2c2 10686   +ecxad 11435   #chash 12546   VDeg cvdg 25669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-xadd 11438  df-fz 11813  df-hash 12547  df-vdgr 25670

This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25755