MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1c Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdgr1c 25626
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 3: an edge from some other vertex to the given vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1c  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } ) `
 U )  =  1 )

Proof of Theorem vdgr1c
StepHypRef Expression
1 prcom 4049 . . . . . 6  |-  { B ,  U }  =  { U ,  B }
21opeq2i 4169 . . . . 5  |-  <. A ,  { B ,  U } >.  =  <. A ,  { U ,  B } >.
32sneqi 3978 . . . 4  |-  { <. A ,  { B ,  U } >. }  =  { <. A ,  { U ,  B } >. }
43oveq2i 6299 . . 3  |-  ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } )  =  ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } )
54fveq1i 5864 . 2  |-  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } ) `  U
)  =  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `  U
)
6 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
7 vdgr1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
9 vdgr1.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
10 vdgr1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
116, 7, 8, 9, 10vdgr1b 25625 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )
125, 11syl5eq 2496 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } ) `
 U )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044   {csn 3967   {cpr 3969   <.cop 3973   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   1c1 9537   VDeg cvdg 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-xadd 11407  df-fz 11782  df-hash 12513  df-vdgr 25615
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25700
  Copyright terms: Public domain W3C validator