MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1c Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1c 23710
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 3: an edge from some other vertex to the given vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1c  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } ) `
 U )  =  1 )

Proof of Theorem vdgr1c
StepHypRef Expression
1 prcom 4051 . . . . . 6  |-  { B ,  U }  =  { U ,  B }
21opeq2i 4161 . . . . 5  |-  <. A ,  { B ,  U } >.  =  <. A ,  { U ,  B } >.
32sneqi 3986 . . . 4  |-  { <. A ,  { B ,  U } >. }  =  { <. A ,  { U ,  B } >. }
43oveq2i 6201 . . 3  |-  ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } )  =  ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } )
54fveq1i 5790 . 2  |-  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } ) `  U
)  =  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `  U
)
6 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
7 vdgr1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
9 vdgr1.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
10 vdgr1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
116, 7, 8, 9, 10vdgr1b 23709 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )
125, 11syl5eq 2504 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  U } >. } ) `
 U )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3068   {csn 3975   {cpr 3977   <.cop 3981   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   1c1 9384   VDeg cvdg 23698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-xadd 11191  df-fz 11539  df-hash 12205  df-vdgr 23699
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  23735
  Copyright terms: Public domain W3C validator