MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1b Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1b 23574
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1b  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )

Proof of Theorem vdgr1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4534 . . . . . 6  |-  { U ,  B }  e.  _V
4 f1osng 5679 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { U ,  B } } )
6 f1ofn 5642 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } }  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4533 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 23566 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12137 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10590 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12137 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10590 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
17 rexadd 11202 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1814, 16, 17mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )
1912, 18syl6eq 2491 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 prid1g 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  B } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U ,  B } )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U ,  B } )
23 elsni 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A
) )
25 fvsng 5912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
262, 3, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
2724, 26sylan9eqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U ,  B } )
2822, 27eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
2928ralrimiva 2799 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
30 rabid2 2898 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )
3231fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) )
33 hashsng 12136 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  =  1 )
36 vdgr1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
37 prid2g 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { U ,  B } )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  { U ,  B } )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  { U ,  B } )
4039, 27eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
41 vdgr1.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
42 elsni 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  { U }  ->  B  =  U )
4342necon3ai 2651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  U  ->  -.  B  e.  { U } )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  { U } )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  B  e.  { U } )
46 nelneq2 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  /\  -.  B  e.  { U } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4740, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4847ralrimiva 2799 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
49 rabeq0 3659 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x
)  =  { U } )
5048, 49sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5150fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
52 hash0 12135 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
5351, 52syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5435, 53oveq12d 6109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  0 ) )
55 1p0e1 10434 . . 3  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2491 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  1 )
5719, 56eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883    Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   +ecxad 11087   #chash 12103   VDeg cvdg 23563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-xadd 11090  df-fz 11438  df-hash 12104  df-vdgr 23564
This theorem is referenced by:  vdgr1c  23575  eupath2lem3  23600  vdegp1bi  23606
  Copyright terms: Public domain W3C validator