MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1b Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1b 24776
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1b  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )

Proof of Theorem vdgr1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4679 . . . . . 6  |-  { U ,  B }  e.  _V
4 f1osng 5844 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { U ,  B } } )
6 f1ofn 5807 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } }  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4678 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 24768 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12419 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10812 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12419 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10812 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
17 rexadd 11440 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1814, 16, 17mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )
1912, 18syl6eq 2500 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 prid1g 4121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  B } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U ,  B } )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U ,  B } )
23 elsni 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A
) )
25 fvsng 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
262, 3, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
2724, 26sylan9eqr 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U ,  B } )
2822, 27eleqtrrd 2534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
2928ralrimiva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
30 rabid2 3021 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )
3231fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) )
33 hashsng 12417 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  =  1 )
36 vdgr1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
37 prid2g 4122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { U ,  B } )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  { U ,  B } )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  { U ,  B } )
4039, 27eleqtrrd 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
41 vdgr1.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
42 elsni 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  { U }  ->  B  =  U )
4342necon3ai 2671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  U  ->  -.  B  e.  { U } )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  { U } )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  B  e.  { U } )
46 nelneq2 2561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  /\  -.  B  e.  { U } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4740, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4847ralrimiva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
49 rabeq0 3793 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x
)  =  { U } )
5048, 49sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5150fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
52 hash0 12416 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
5351, 52syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5435, 53oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  0 ) )
55 1p0e1 10654 . . 3  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2500 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  1 )
5719, 56eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   {csn 4014   {cpr 4016   <.cop 4020    Fn wfn 5573   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +ecxad 11325   #chash 12384   VDeg cvdg 24765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-xadd 11328  df-fz 11682  df-hash 12385  df-vdgr 24766
This theorem is referenced by:  vdgr1c  24777  eupath2lem3  24851  vdegp1bi  24857
  Copyright terms: Public domain W3C validator