MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1b Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1b 25025
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1b  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )

Proof of Theorem vdgr1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4604 . . . . . 6  |-  { U ,  B }  e.  _V
4 f1osng 5762 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } } )
52, 3, 4sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { U ,  B } } )
6 f1ofn 5725 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } }  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4603 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 25017 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12343 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10723 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12343 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10723 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
17 rexadd 11352 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1814, 16, 17mp2an 670 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )
1912, 18syl6eq 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 prid1g 4050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  B } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U ,  B } )
2221adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U ,  B } )
23 elsni 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A
) )
25 fvsng 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
262, 3, 25sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
2724, 26sylan9eqr 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U ,  B } )
2822, 27eleqtrrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
2928ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
30 rabid2 2960 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )
3231fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) )
33 hashsng 12341 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  =  1 )
36 vdgr1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
37 prid2g 4051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { U ,  B } )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  { U ,  B } )
3938adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  { U ,  B } )
4039, 27eleqtrrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
41 vdgr1.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
42 elsni 3969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  { U }  ->  B  =  U )
4342necon3ai 2610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  U  ->  -.  B  e.  { U } )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  { U } )
4544adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  B  e.  { U } )
46 nelneq2 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  /\  -.  B  e.  { U } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4740, 45, 46syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4847ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
49 rabeq0 3734 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x
)  =  { U } )
5048, 49sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5150fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
52 hash0 12340 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
5351, 52syl6eq 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5435, 53oveq12d 6214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  0 ) )
55 1p0e1 10565 . . 3  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  1 )
5719, 56eqtrd 2423 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   {csn 3944   {cpr 3946   <.cop 3950    Fn wfn 5491   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   +ecxad 11237   #chash 12307   VDeg cvdg 25014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-xadd 11240  df-fz 11594  df-hash 12308  df-vdgr 25015
This theorem is referenced by:  vdgr1c  25026  eupath2lem3  25100  vdegp1bi  25106
  Copyright terms: Public domain W3C validator