MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1b Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1b 24727
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1b  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )

Proof of Theorem vdgr1b
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4695 . . . . . 6  |-  { U ,  B }  e.  _V
4 f1osng 5860 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { U ,  B } } )
6 f1ofn 5823 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } : { A } -1-1-onto-> { { U ,  B } }  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4694 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 24719 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { U ,  B } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12420 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10818 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12420 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10818 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
17 rexadd 11443 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1814, 16, 17mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )
1912, 18syl6eq 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 prid1g 4139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  B } )
2110, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  { U ,  B } )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U ,  B } )
23 elsni 4058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2423fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A
) )
25 fvsng 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { U ,  B }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
262, 3, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  A )  =  { U ,  B } )
2724, 26sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U ,  B } )
2822, 27eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
2928ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
30 rabid2 3044 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) }  <->  A. x  e.  { A } U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )
3231fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } ) )
33 hashsng 12418 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
3532, 34eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  =  1 )
36 vdgr1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
37 prid2g 4140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { U ,  B } )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  { U ,  B } )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  { U ,  B } )
4039, 27eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  B  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) )
41 vdgr1.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
42 elsni 4058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  { U }  ->  B  =  U )
4342necon3ai 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  U  ->  -.  B  e.  { U } )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  { U } )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  B  e.  { U } )
46 nelneq2 2585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( {
<. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  /\  -.  B  e.  { U } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4740, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
4847ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U }
)
49 rabeq0 3812 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x
)  =  { U } )
5048, 49sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5150fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
52 hash0 12417 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
5351, 52syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5435, 53oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 1  +  0 ) )
55 1p0e1 10660 . . 3  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { U ,  B } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  1 )
5719, 56eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { U ,  B } >. } ) `
 U )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033   {cpr 4035   <.cop 4039    Fn wfn 5589   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +ecxad 11328   #chash 12385   VDeg cvdg 24716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-xadd 11331  df-fz 11685  df-hash 12386  df-vdgr 24717
This theorem is referenced by:  vdgr1c  24728  eupath2lem3  24802  vdegp1bi  24808
  Copyright terms: Public domain W3C validator