MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1a Structured version   Unicode version

Theorem vdgr1a 25033
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
vdgr1a.6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
vdgr1a.7  |-  ( ph  ->  C  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1a  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  0 )

Proof of Theorem vdgr1a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4698 . . . . 5  |-  { B ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5860 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
6 f1ofn 5823 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4697 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 25023 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1231 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12443 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10827 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12443 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10827 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11456 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 vdgr1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
2120necomd 2728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  =/=  B )
22 vdgr1a.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =/=  U )
2322necomd 2728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  =/=  C )
2421, 23jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  B  /\  U  =/=  C
) )
25 neanior 2782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  =/=  B  /\  U  =/=  C )  <->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C )
)
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
28 elsni 4057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A
) )
30 fvsng 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A )  =  { B ,  C } )
312, 3, 30sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A )  =  { B ,  C } )
3229, 31sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { B ,  C } )
3332eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  <-> 
U  e.  { B ,  C } ) )
34 elpri 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  { B ,  C }  ->  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
3533, 34syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  ->  ( U  =  B  \/  U  =  C ) ) )
3627, 35mtod 177 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
3736ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
38 rabeq0 3816 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) }  =  (/) )
4039fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  =  (
# `  (/) ) )
41 hash0 12440 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4240, 41syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  =  0 )
43 snidg 4058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
4410, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
46 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }  ->  ( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  <-> 
U  e.  { U } ) )
4745, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x
)  =  { U }  ->  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) ) )
4836, 47mtod 177 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }
)
4948ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }
)
50 rabeq0 3816 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x
)  =  { U } )
5149, 50sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5251fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
5352, 41syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5442, 53oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0  +  0 ) )
55 00id 9772 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2514 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  0 )
5712, 19, 563eqtrd 2502 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038    Fn wfn 5589   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512   +ecxad 11341   #chash 12408   VDeg cvdg 25020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-hash 12409  df-vdgr 25021
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25106  vdegp1ai  25111
  Copyright terms: Public domain W3C validator