MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdgr1a 25713
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
vdgr1a.6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
vdgr1a.7  |-  ( ph  ->  C  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1a  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  0 )

Proof of Theorem vdgr1a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4642 . . . . 5  |-  { B ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5867 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 675 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
6 f1ofn 5829 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4641 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 25703 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1295 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12589 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10904 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12589 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10904 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11548 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 676 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 vdgr1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
2120necomd 2698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  =/=  B )
22 vdgr1a.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =/=  U )
2322necomd 2698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  =/=  C )
2421, 23jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  B  /\  U  =/=  C
) )
25 neanior 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  =/=  B  /\  U  =/=  C )  <->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C )
)
2624, 25sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
2726adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
28 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2928fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A
) )
30 fvsng 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A )  =  { B ,  C } )
312, 3, 30sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A )  =  { B ,  C } )
3229, 31sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { B ,  C } )
3332eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  <-> 
U  e.  { B ,  C } ) )
34 elpri 3976 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  { B ,  C }  ->  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
3533, 34syl6bi 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  ->  ( U  =  B  \/  U  =  C ) ) )
3627, 35mtod 182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
3736ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
38 rabeq0 3757 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
3937, 38sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) }  =  (/) )
4039fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  =  (
# `  (/) ) )
41 hash0 12586 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4240, 41syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  =  0 )
43 snidg 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
4544adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
46 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }  ->  ( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  <-> 
U  e.  { U } ) )
4745, 46syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x
)  =  { U }  ->  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) ) )
4836, 47mtod 182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }
)
4948ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }
)
50 rabeq0 3757 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x
)  =  { U } )
5149, 50sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5251fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
5352, 41syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5442, 53oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0  +  0 ) )
55 00id 9826 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2521 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  0 )
5712, 19, 563eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965    Fn wfn 5584   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +ecxad 11430   #chash 12553   VDeg cvdg 25700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-hash 12554  df-vdgr 25701
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25786  vdegp1ai  25791
  Copyright terms: Public domain W3C validator