Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdgr1a 25646
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1
vdgr1.2
vdgr1.3
vdgr1.4
vdgr1.5
vdgr1a.6
vdgr1a.7
Assertion
Ref Expression
vdgr1a VDeg

Proof of Theorem vdgr1a
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3
2 vdgr1.2 . . . . 5
3 prex 4645 . . . . 5
4 f1osng 5858 . . . . 5
52, 3, 4sylancl 669 . . . 4
6 f1ofn 5820 . . . 4
75, 6syl 17 . . 3
8 snex 4644 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 vdgr1.3 . . 3
11 vdgrval 25636 . . 3 VDeg
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1272 . 2 VDeg
13 hashrabrsn 12558 . . . 4
1413nn0rei 10887 . . 3
15 hashrabrsn 12558 . . . . 5
1615nn0rei 10887 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 rexadd 11532 . . 3
1914, 17, 18sylancr 670 . 2
20 vdgr1.5 . . . . . . . . . . . . 13
2120necomd 2681 . . . . . . . . . . . 12
22 vdgr1a.7 . . . . . . . . . . . . 13
2322necomd 2681 . . . . . . . . . . . 12
2421, 23jca 535 . . . . . . . . . . 11
25 neanior 2718 . . . . . . . . . . 11
2624, 25sylib 200 . . . . . . . . . 10
2726adantr 467 . . . . . . . . 9
28 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . 13
2928fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12
30 fvsng 6103 . . . . . . . . . . . . 13
312, 3, 30sylancl 669 . . . . . . . . . . . 12
3229, 31sylan9eqr 2509 . . . . . . . . . . 11
3332eleq2d 2516 . . . . . . . . . 10
34 elpri 3987 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl6bi 232 . . . . . . . . 9
3627, 35mtod 181 . . . . . . . 8
3736ralrimiva 2804 . . . . . . 7
38 rabeq0 3756 . . . . . . 7
3937, 38sylibr 216 . . . . . 6
4039fveq2d 5874 . . . . 5
41 hash0 12555 . . . . 5
4240, 41syl6eq 2503 . . . 4
43 snidg 3996 . . . . . . . . . . . 12
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11
4544adantr 467 . . . . . . . . . 10
46 eleq2 2520 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl5ibrcom 226 . . . . . . . . 9
4836, 47mtod 181 . . . . . . . 8
4948ralrimiva 2804 . . . . . . 7
50 rabeq0 3756 . . . . . . 7
5149, 50sylibr 216 . . . . . 6
5251fveq2d 5874 . . . . 5
5352, 41syl6eq 2503 . . . 4
5442, 53oveq12d 6313 . . 3
55 00id 9813 . . 3
5654, 55syl6eq 2503 . 2
5712, 19, 563eqtrd 2491 1 VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 370   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  crab 2743  cvv 3047  c0 3733  csn 3970  cpr 3972  cop 3976   wfn 5580  wf1o 5584  cfv 5585  (class class class)co 6295  cr 9543  cc0 9544   caddc 9547  cxad 11414  chash 12522   VDeg cvdg 25633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-xadd 11417  df-fz 11792  df-hash 12523  df-vdgr 25634 This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25719  vdegp1ai  25724
 Copyright terms: Public domain W3C validator