MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdgr1a 25646
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
vdgr1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
vdgr1.3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
vdgr1.4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
vdgr1.5  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
vdgr1a.6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
vdgr1a.7  |-  ( ph  ->  C  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
vdgr1a  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  0 )

Proof of Theorem vdgr1a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
2 vdgr1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 prex 4645 . . . . 5  |-  { B ,  C }  e.  _V
4 f1osng 5858 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
52, 3, 4sylancl 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
6 f1ofn 5820 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A } )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A } )
8 snex 4644 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
10 vdgr1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
11 vdgrval 25636 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  Fn  { A }  /\  { A }  e.  _V )  /\  U  e.  V )  ->  (
( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1272 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
13 hashrabrsn 12558 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  NN0
1413nn0rei 10887 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  RR
15 hashrabrsn 12558 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10887 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )
18 rexadd 11532 . . 3  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  e.  RR  /\  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e ( # `  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
1914, 17, 18sylancr 670 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } ) +e
( # `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) ) )
20 vdgr1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  U )
2120necomd 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  =/=  B )
22 vdgr1a.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =/=  U )
2322necomd 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  =/=  C )
2421, 23jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  B  /\  U  =/=  C
) )
25 neanior 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  =/=  B  /\  U  =/=  C )  <->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C )
)
2624, 25sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
2726adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
28 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2928fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A
) )
30 fvsng 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A )  =  { B ,  C } )
312, 3, 30sylancl 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  A )  =  { B ,  C } )
3229, 31sylan9eqr 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { B ,  C } )
3332eleq2d 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  <-> 
U  e.  { B ,  C } ) )
34 elpri 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  { B ,  C }  ->  ( U  =  B  \/  U  =  C ) )
3533, 34syl6bi 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  ->  ( U  =  B  \/  U  =  C ) ) )
3627, 35mtod 181 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
3736ralrimiva 2804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
38 rabeq0 3756 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) )
3937, 38sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) }  =  (/) )
4039fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  =  (
# `  (/) ) )
41 hash0 12555 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4240, 41syl6eq 2503 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  =  0 )
43 snidg 3996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U } )
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  { U } )
4544adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  U  e.  { U } )
46 eleq2 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }  ->  ( U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  <-> 
U  e.  { U } ) )
4745, 46syl5ibrcom 226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  -> 
( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x
)  =  { U }  ->  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) ) )
4836, 47mtod 181 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { A } )  ->  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }
)
4948ralrimiva 2804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U }
)
50 rabeq0 3756 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/)  <->  A. x  e.  { A }  -.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x
)  =  { U } )
5149, 50sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } }  =  (/) )
5251fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  =  ( # `  (/) ) )
5352, 41syl6eq 2503 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } )  =  0 )
5442, 53oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0  +  0 ) )
55 00id 9813 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  U  e.  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x ) } )  +  (
# `  { x  e.  { A }  | 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } `  x )  =  { U } } ) )  =  0 )
5712, 19, 563eqtrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( ( V VDeg  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) `
 U )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   {crab 2743   _Vcvv 3047   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   <.cop 3976    Fn wfn 5580   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544    + caddc 9547   +ecxad 11414   #chash 12522   VDeg cvdg 25633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-xadd 11417  df-fz 11792  df-hash 12523  df-vdgr 25634
This theorem is referenced by:  eupath2lem3  25719  vdegp1ai  25724
  Copyright terms: Public domain W3C validator