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Theorem vdgn1frgrav2 25455
Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgn1frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  1 ) )

Proof of Theorem vdgn1frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25421 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
21anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  N  e.  V )
)
4 vdusgraval 25336 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
6 3cyclfrgrarn2 25443 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
76adantlr 715 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
8 preq1 4053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
98eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
10 preq2 4054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1110eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
129, 113anbi13d 1305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1312anbi2d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  N  ->  (
( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) ) )
14132rexbidv 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) ) )
1514rspcva 3160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  V USGrph  E )
17 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  N  e.  V
)
18 simplll 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  b  =/=  c
)
19 3simpb 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
2019ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
21 usgra2edg1 24812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
2216, 17, 18, 20, 21syl31anc 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
2322a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V
)  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  =/=  c  /\  ( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
2726rexlimivv 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  < 
( # `  V )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  -> 
( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) ) )
3029pm2.43a 50 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3130com24 89 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  V  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3231com3r 81 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3332imp31 432 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( b  =/=  c  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) )
347, 33mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
35 usgrav 24767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
3635simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  E  e.  _V )
37 dmexg 6717 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
381, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  dom  E  e.  _V )
3938adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  _V )
4039adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  dom  E  e.  _V )
41 rabexg 4546 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  _V  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
42 hash1snb 12530 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  1  <->  E. i { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  =  {
i } ) )
4340, 41, 423syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  1  <->  E. i { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  =  {
i } ) )
44 reusn 4047 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x )  <->  E. i { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  { i } )
4543, 44syl6bbr 265 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  1  <-> 
E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) )
4645necon3abid 2651 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =/=  1  <->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) )
4734, 46mpbird 234 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  1 )
485, 47eqnetrd 2698 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =/=  1 )
4948ex 434 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   {crab 2760   _Vcvv 3061   {csn 3974   {cpr 3976   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   ran crn 4826   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525    < clt 9660   #chash 12454   USGrph cusg 24759   VDeg cvdg 25322   FriendGrph cfrgra 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-xadd 11374  df-fz 11729  df-hash 12455  df-usgra 24762  df-vdgr 25323  df-frgra 25418
This theorem is referenced by:  vdgfrgragt2  25456  vdgn1frgrav3  25457
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