Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgn1frgrav2 Structured version   Unicode version

Theorem vdgn1frgrav2 25455
 Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgn1frgrav2 FriendGrph VDeg

Proof of Theorem vdgn1frgrav2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25421 . . . . . 6 FriendGrph USGrph
21anim1i 568 . . . . 5 FriendGrph USGrph
32adantr 465 . . . 4 FriendGrph USGrph
4 vdusgraval 25336 . . . 4 USGrph VDeg
53, 4syl 17 . . 3 FriendGrph VDeg
6 3cyclfrgrarn2 25443 . . . . . 6 FriendGrph
76adantlr 715 . . . . 5 FriendGrph
8 preq1 4053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 preq2 4054 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
129, 113anbi13d 1305 . . . . . . . . . . . . . 14
1312anbi2d 704 . . . . . . . . . . . . 13
14132rexbidv 2927 . . . . . . . . . . . 12
1514rspcva 3160 . . . . . . . . . . 11
161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph USGrph
17 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
18 simplll 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
19 3simpb 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2019ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
21 usgra2edg1 24812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph
2216, 17, 18, 20, 21syl31anc 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
2322a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
2726rexlimivv 2903 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
2928ex 434 . . . . . . . . 9 FriendGrph
3029pm2.43a 50 . . . . . . . 8 FriendGrph
3130com24 89 . . . . . . 7 FriendGrph
3231com3r 81 . . . . . 6 FriendGrph
3332imp31 432 . . . . 5 FriendGrph
347, 33mpd 15 . . . 4 FriendGrph
35 usgrav 24767 . . . . . . . . . . 11 USGrph
3635simprd 463 . . . . . . . . . 10 USGrph
37 dmexg 6717 . . . . . . . . . 10
381, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 FriendGrph
3938adantr 465 . . . . . . . 8 FriendGrph
4039adantr 465 . . . . . . 7 FriendGrph
41 rabexg 4546 . . . . . . 7
42 hash1snb 12530 . . . . . . 7
4340, 41, 423syl 18 . . . . . 6 FriendGrph
44 reusn 4047 . . . . . 6
4543, 44syl6bbr 265 . . . . 5 FriendGrph
4645necon3abid 2651 . . . 4 FriendGrph
4734, 46mpbird 234 . . 3 FriendGrph
485, 47eqnetrd 2698 . 2 FriendGrph VDeg
4948ex 434 1 FriendGrph VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 186   wa 369   w3a 976   wceq 1407  wex 1635   wcel 1844   wne 2600  wral 2756  wrex 2757  wreu 2758  crab 2760  cvv 3061  csn 3974  cpr 3976   class class class wbr 4397   cdm 4825   crn 4826  cfv 5571  (class class class)co 6280  c1 9525   clt 9660  chash 12454   USGrph cusg 24759   VDeg cvdg 25322   FriendGrph cfrgra 25417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-xadd 11374  df-fz 11729  df-hash 12455  df-usgra 24762  df-vdgr 25323  df-frgra 25418 This theorem is referenced by:  vdgfrgragt2  25456  vdgn1frgrav3  25457
 Copyright terms: Public domain W3C validator