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Theorem vdgn0frgrav2 24687
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgn0frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )

Proof of Theorem vdgn0frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 24654 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
21anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  N  e.  V )
)
4 vdusgraval 24569 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
6 usgrafun 24012 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
7 funfn 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
91, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
10 3cyclfrgrarn 24675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
11 preq1 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1211eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
13 preq2 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1413eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1512, 143anbi13d 1296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
16152rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1716rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
18 fvelrnb 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  <->  E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b } ) )
19 prid1g 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  b } )
20 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  x )  =  { N , 
b }  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  { N ,  b } ) )
2119, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  N  e.  ( E `  x ) ) )
2221reximdv 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x ) ) )
2322a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  dom  E
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( N  e.  V  -> 
( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2518, 24syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( E  Fn  dom  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2726com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
28273ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  V  ->  (
( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3130rexlimivv 2953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3217, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3433pm2.43b 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3510, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3635expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . 7  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
389, 37mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
3938imp31 432 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
40 rexnal 2905 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
41 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( E `  x )  <->  -.  -.  N  e.  ( E `  x
) )
4241bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  N  e.  ( E `  x )  <-> 
N  e.  ( E `
 x ) )
4342rexbii 2958 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4440, 43bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4539, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
46 usgrav 24001 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
47 dmexg 6705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  E  e.  _V )
491, 46, 483syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  dom  E  e.  _V )
5049adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  _V )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  dom  E  e.  _V )
52 rabexg 4590 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  _V  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
53 hasheq0 12388 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
5451, 52, 533syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
55 rabeq0 3800 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) )
5654, 55syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5756necon3abid 2706 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =/=  0  <->  -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5845, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0 )
595, 58eqnetrd 2753 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =/=  0 )
6059ex 434 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   {cpr 4022   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ran crn 4993   Fun wfun 5573    Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617   #chash 12360   USGrph cusg 23993   VDeg cvdg 24555   FriendGrph cfrgra 24650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-xadd 11308  df-fz 11662  df-hash 12361  df-usgra 23996  df-vdgr 24556  df-frgra 24651
This theorem is referenced by:  vdgfrgragt2  24690  frgraregord013  24781
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