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Theorem vdgn0frgrav2 25145
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgn0frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )

Proof of Theorem vdgn0frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25113 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
21anim1i 566 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  N  e.  V )
)
4 vdusgraval 25028 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
6 usgrafun 24470 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
7 funfn 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
91, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
10 3cyclfrgrarn 25134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
11 preq1 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1211eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
13 preq2 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1413eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1512, 143anbi13d 1299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
16152rexbidv 2900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1716rspcva 3133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
18 fvelrnb 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  <->  E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b } ) )
19 prid1g 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  b } )
20 eleq2 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  x )  =  { N , 
b }  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  { N ,  b } ) )
2119, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  N  e.  ( E `  x ) ) )
2221reximdv 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x ) ) )
2322a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  dom  E
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( N  e.  V  -> 
( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2518, 24syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( E  Fn  dom  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2726com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
28273ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  V  ->  (
( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3130rexlimivv 2879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3217, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3332ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3433pm2.43b 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3510, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3635expcom 433 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . 7  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
389, 37mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
3938imp31 430 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
40 rexnal 2830 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
41 notnot 289 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( E `  x )  <->  -.  -.  N  e.  ( E `  x
) )
4241bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  N  e.  ( E `  x )  <-> 
N  e.  ( E `
 x ) )
4342rexbii 2884 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4440, 43bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4539, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
46 usgrav 24459 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
47 dmexg 6630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
4847adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  E  e.  _V )
491, 46, 483syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  dom  E  e.  _V )
5049adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  _V )
5150adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  dom  E  e.  _V )
52 rabexg 4515 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  _V  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
53 hasheq0 12336 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
5451, 52, 533syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
55 rabeq0 3734 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) )
5654, 55syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5756necon3abid 2628 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =/=  0  <->  -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5845, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0 )
595, 58eqnetrd 2675 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =/=  0 )
6059ex 432 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   {cpr 3946   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ran crn 4914   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539   #chash 12307   USGrph cusg 24451   VDeg cvdg 25014   FriendGrph cfrgra 25109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-xadd 11240  df-fz 11594  df-hash 12308  df-usgra 24454  df-vdgr 25015  df-frgra 25110
This theorem is referenced by:  vdgfrgragt2  25148  frgraregord013  25239
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