MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgn0frgrav2 Structured version   Unicode version

Theorem vdgn0frgrav2 24896
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgn0frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )

Proof of Theorem vdgn0frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 24864 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
21anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  N  e.  V )
)
4 vdusgraval 24779 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
6 usgrafun 24221 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
7 funfn 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
91, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
10 3cyclfrgrarn 24885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
11 preq1 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1211eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
13 preq2 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1413eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1512, 143anbi13d 1302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
16152rexbidv 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1716rspcva 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
18 fvelrnb 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  <->  E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b } ) )
19 prid1g 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  b } )
20 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  x )  =  { N , 
b }  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  { N ,  b } ) )
2119, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  N  e.  ( E `  x ) ) )
2221reximdv 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x ) ) )
2322a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  dom  E
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( N  e.  V  -> 
( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2518, 24syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( E  Fn  dom  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2726com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
28273ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  V  ->  (
( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3130rexlimivv 2940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3217, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3433pm2.43b 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3510, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3635expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . 7  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
389, 37mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
3938imp31 432 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
40 rexnal 2891 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
41 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( E `  x )  <->  -.  -.  N  e.  ( E `  x
) )
4241bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  N  e.  ( E `  x )  <-> 
N  e.  ( E `
 x ) )
4342rexbii 2945 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4440, 43bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4539, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
46 usgrav 24210 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
47 dmexg 6716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  E  e.  _V )
491, 46, 483syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  dom  E  e.  _V )
5049adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  _V )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  dom  E  e.  _V )
52 rabexg 4587 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  _V  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
53 hasheq0 12412 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
5451, 52, 533syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
55 rabeq0 3793 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) )
5654, 55syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5756necon3abid 2689 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =/=  0  <->  -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5845, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0 )
595, 58eqnetrd 2736 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =/=  0 )
6059ex 434 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   {cpr 4016   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631   #chash 12384   USGrph cusg 24202   VDeg cvdg 24765   FriendGrph cfrgra 24860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-xadd 11328  df-fz 11682  df-hash 12385  df-usgra 24205  df-vdgr 24766  df-frgra 24861
This theorem is referenced by:  vdgfrgragt2  24899  frgraregord013  24990
  Copyright terms: Public domain W3C validator