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Theorem vdgn0frgrav2 30542
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgn0frgrav2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )

Proof of Theorem vdgn0frgrav2
Dummy variables  a 
b  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 30509 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
21anim1i 565 . . . . 5  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )
32adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  N  e.  V )
)
4 vdusgraval 23512 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V VDeg  E ) `  N )  =  (
# `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
6 usgrafun 23212 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
7 funfn 5444 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
E  <->  E  Fn  dom  E )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
91, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  E  Fn  dom  E )
10 3cyclfrgrarn 30530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
11 preq1 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { a ,  b }  =  { N ,  b } )
1211eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  { N ,  b }  e.  ran  E ) )
13 preq2 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  N  ->  { c ,  a }  =  { c ,  N } )
1413eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  N  ->  ( { c ,  a }  e.  ran  E  <->  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
1512, 143anbi13d 1286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  N  ->  (
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  <->  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
16152rexbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  N  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) ) )
1716rspcva 3068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )
18 fvelrnb 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  <->  E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b } ) )
19 prid1g 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  b } )
20 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  x )  =  { N , 
b }  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  { N ,  b } ) )
2119, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  V  ->  (
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  N  e.  ( E `  x ) ) )
2221reximdv 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x ) ) )
2322a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  V  ->  ( E. x  e.  dom  E ( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  dom  E
( E `  x
)  =  { N ,  b }  ->  ( N  e.  V  -> 
( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
2518, 24syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( { N , 
b }  e.  ran  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( E  Fn  dom  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( b  e.  V  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
2726com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { N ,  b }  e.  ran  E  -> 
( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
28273ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( b  e.  V  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  V  ->  (
( { N , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3029adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  V  /\  c  e.  V )  ->  ( ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3130rexlimivv 2844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3217, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) ) )
3433pm2.43b 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3510, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) ) ) )
3635expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( E  Fn  dom  E  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . 7  |-  ( E  Fn  dom  E  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) ) )
389, 37mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) ) ) )
3938imp31 432 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
40 rexnal 2724 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
41 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( E `  x )  <->  -.  -.  N  e.  ( E `  x
) )
4241bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  N  e.  ( E `  x )  <-> 
N  e.  ( E `
 x ) )
4342rexbii 2738 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4440, 43bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x )  <->  E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x ) )
4539, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) )
46 usgrav 23205 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
47 dmexg 6508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
4847adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  E  e.  _V )
491, 46, 483syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  dom  E  e.  _V )
5049adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  E  e.  _V )
5150adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  dom  E  e.  _V )
52 rabexg 4439 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  _V  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V )
53 hasheq0 12127 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  _V  ->  ( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
5451, 52, 533syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/) ) )
55 rabeq0 3656 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x
) )
5654, 55syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  0  <->  A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5756necon3abid 2639 . . . 4  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =/=  0  <->  -. 
A. x  e.  dom  E  -.  N  e.  ( E `  x ) ) )
5845, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =/=  0 )
595, 58eqnetrd 2624 . 2  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  1  <  ( # `  V ) )  -> 
( ( V VDeg  E
) `  N )  =/=  0 )
6059ex 434 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   {cpr 3876   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ran crn 4837   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279    < clt 9414   #chash 12099   USGrph cusg 23199   VDeg cvdg 23498   FriendGrph cfrgra 30505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-xadd 11086  df-fz 11434  df-hash 12100  df-usgra 23201  df-vdgr 23499  df-frgra 30506
This theorem is referenced by:  vdgfrgragt2  30545  frgraregord013  30636
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