Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vdgfrgragt2 Unicode version

Theorem vdgfrgragt2 28132
 Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see 3. remark after Proposition 1 of [MertziosUnger] p. 153 : "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgfrgragt2 FriendGrph VDeg

Proof of Theorem vdgfrgragt2
StepHypRef Expression
1 vdgn0frgrav2 28129 . . . 4 FriendGrph VDeg
21imp 419 . . 3 FriendGrph VDeg
3 vdgn1frgrav2 28131 . . . 4 FriendGrph VDeg
43imp 419 . . 3 FriendGrph VDeg
5 frisusgra 28096 . . . . . . . . . 10 FriendGrph USGrph
6 usgrav 21324 . . . . . . . . . . 11 USGrph
76simpld 446 . . . . . . . . . 10 USGrph
85, 7syl 16 . . . . . . . . 9 FriendGrph
9 usgrafun 21331 . . . . . . . . . . 11 USGrph
105, 9syl 16 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
11 funfn 5441 . . . . . . . . . 10
1210, 11sylib 189 . . . . . . . . 9 FriendGrph
136simprd 450 . . . . . . . . . . 11 USGrph
145, 13syl 16 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
15 dmexg 5089 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9 FriendGrph
178, 12, 163jca 1134 . . . . . . . 8 FriendGrph
1817adantr 452 . . . . . . 7 FriendGrph
19 vdgrf 21622 . . . . . . 7 VDeg
2018, 19syl 16 . . . . . 6 FriendGrph VDeg
21 simpr 448 . . . . . 6 FriendGrph
2220, 21ffvelrnd 5830 . . . . 5 FriendGrph VDeg
23 elun 3448 . . . . . 6 VDeg VDeg VDeg
24 nn0n0n1ge2 10236 . . . . . . . 8 VDeg VDeg VDeg VDeg
25243exp 1152 . . . . . . 7 VDeg VDeg VDeg VDeg
26 elsni 3798 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
27 2re 10025 . . . . . . . . . . . . 13
2827rexri 9093 . . . . . . . . . . . 12
29 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
31 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
3230, 31mpbiri 225 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
3332a1d 23 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg VDeg
3433a1d 23 . . . . . . . 8 VDeg VDeg VDeg VDeg
3526, 34syl 16 . . . . . . 7 VDeg VDeg VDeg VDeg
3625, 35jaoi 369 . . . . . 6 VDeg VDeg VDeg VDeg VDeg
3723, 36sylbi 188 . . . . 5 VDeg VDeg VDeg VDeg
3822, 37syl 16 . . . 4 FriendGrph VDeg VDeg VDeg
3938adantr 452 . . 3 FriendGrph VDeg VDeg VDeg
402, 4, 39mp2d 43 . 2 FriendGrph VDeg
4140ex 424 1 FriendGrph VDeg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  cvv 2916   cun 3278  csn 3774   class class class wbr 4172   cdm 4837   wfun 5407   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946  c1 8947   cpnf 9073  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  c2 10005  cn0 10177  chash 11573   USGrph cusg 21318   VDeg cvdg 21617   FriendGrph cfrgra 28092 This theorem is referenced by:  frgrawopreglem2  28148 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-xadd 10667  df-fz 11000  df-hash 11574  df-usgra 21320  df-vdgr 21618  df-frgra 28093
 Copyright terms: Public domain W3C validator