MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Unicode version

Theorem vdegp1bi 25112
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of  U in the edge set  E is  P, then adding  { U ,  X } to the edge set, where 
X  =/=  U, yields degree  P  + 
1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vdeg0i.v  |-  V  e. 
_V
vdegp1ai.1  |-  ( T. 
->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
vdegp1ai.u  |-  U  e.  V
vdegp1ai.2  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  =  P
vdegp1bi.3  |-  Q  =  ( P  +  1 )
vdegp1bi.4  |-  X  e.  V
vdegp1bi.5  |-  X  =/= 
U
vdegp1bi.f  |-  F  =  ( E ++  <" { U ,  X } "> )
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  Q
Distinct variable groups:    x, E    x, U    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    P( x)    Q( x)    F( x)

Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.1 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
2 wrdf 12558 . . . . . 6  |-  ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
3 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5  |-  ( T. 
->  E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
5 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( # `  E )  e.  _V
6 prex 4698 . . . . . . 7  |-  { U ,  X }  e.  _V
75, 6f1osn 5859 . . . . . 6  |-  { <. (
# `  E ) ,  { U ,  X } >. } : {
( # `  E ) } -1-1-onto-> { { U ,  X } }
8 f1ofn 5823 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } : { ( # `  E
) } -1-1-onto-> { { U ,  X } }  ->  { <. (
# `  E ) ,  { U ,  X } >. }  Fn  {
( # `  E ) } )
97, 8mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  { <. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. }  Fn  { ( # `  E
) } )
10 fzofi 12087 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 0..^ ( # `  E ) )  e. 
Fin )
12 snfi 7615 . . . . . 6  |-  { (
# `  E ) }  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  { ( # `  E
) }  e.  Fin )
14 fzonel 11839 . . . . . . 7  |-  -.  ( # `
 E )  e.  ( 0..^ ( # `  E ) )
15 disjsn 4092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ ( # `  E ) )  i^i 
{ ( # `  E
) } )  =  (/) 
<->  -.  ( # `  E
)  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
1614, 15mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  i^i  {
( # `  E ) } )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( 0..^ (
# `  E )
)  i^i  { ( # `
 E ) } )  =  (/) )
18 vdeg0i.v . . . . . . 7  |-  V  e. 
_V
191trud 1404 . . . . . . 7  |-  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
20 wrdumgra 24443 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  ( V UMGrph  E  <-> 
E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E 
<->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
221, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( T. 
->  V UMGrph  E )
23 vdegp1ai.u . . . . . . 7  |-  U  e.  V
24 vdegp1bi.4 . . . . . . 7  |-  X  e.  V
25 umgra1 24453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  E
)  e.  _V )  /\  ( U  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } )
2618, 5, 23, 24, 25mp4an 673 . . . . . 6  |-  V UMGrph  { <. (
# `  E ) ,  { U ,  X } >. }
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  V UMGrph  { <. ( # `
 E ) ,  { U ,  X } >. } )
2823a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  U  e.  V
)
294, 9, 11, 13, 17, 22, 27, 28vdgrfiun 25029 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( V VDeg  ( E  u.  { <. ( # `
 E ) ,  { U ,  X } >. } ) ) `
 U )  =  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
)  +  ( ( V VDeg  { <. ( # `
 E ) ,  { U ,  X } >. } ) `  U ) ) )
3029trud 1404 . . 3  |-  ( ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } ) ) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  { <. (
# `  E ) ,  { U ,  X } >. } ) `  U ) )
31 vdegp1ai.2 . . . 4  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  =  P
3218a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  V  e.  _V )
335a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( # `  E
)  e.  _V )
3424a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  X  e.  V
)
35 vdegp1bi.5 . . . . . . 7  |-  X  =/= 
U
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  X  =/=  U
)
3732, 33, 28, 34, 36vdgr1b 25031 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( V VDeg  { <. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } ) `
 U )  =  1 )
3837trud 1404 . . . 4  |-  ( ( V VDeg  { <. ( # `
 E ) ,  { U ,  X } >. } ) `  U )  =  1
3931, 38oveq12i 6308 . . 3  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 U )  +  ( ( V VDeg  { <. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } ) `
 U ) )  =  ( P  + 
1 )
4030, 39eqtri 2486 . 2  |-  ( ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } ) ) `  U )  =  ( P  + 
1 )
41 vdegp1bi.f . . . . 5  |-  F  =  ( E ++  <" { U ,  X } "> )
4218, 23, 24umgrabi 25110 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  { U ,  X }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
4342trud 1404 . . . . . 6  |-  { U ,  X }  e.  {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
44 cats1un 12713 . . . . . 6  |-  ( ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  /\  { U ,  X }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  ( E ++  <" { U ,  X } "> )  =  ( E  u.  { <. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } ) )
4519, 43, 44mp2an 672 . . . . 5  |-  ( E ++ 
<" { U ,  X } "> )  =  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } )
4641, 45eqtri 2486 . . . 4  |-  F  =  ( E  u.  { <. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } )
4746oveq2i 6307 . . 3  |-  ( V VDeg 
F )  =  ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { U ,  X } >. } ) )
4847fveq1i 5873 . 2  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  ( ( V VDeg  ( E  u.  { <. ( # `
 E ) ,  { U ,  X } >. } ) ) `
 U )
49 vdegp1bi.3 . 2  |-  Q  =  ( P  +  1 )
5040, 48, 493eqtr4i 2496 1  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4456    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646   2c2 10606  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540   <"cs1 12541   UMGrph cumg 24439   VDeg cvdg 25020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-umgra 24440  df-vdgr 25021
This theorem is referenced by:  vdegp1ci  25113  konigsberg  25114
  Copyright terms: Public domain W3C validator