Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Unicode version

Theorem vdegp1ai 25111
 Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of in the edge set is , then adding to the edge set, where , yields degree as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vdeg0i.v
vdegp1ai.1 Word
vdegp1ai.u
vdegp1ai.2 VDeg
vdegp1ai.3
vdegp1ai.4
vdegp1ai.5
vdegp1ai.6
vdegp1ai.f ++
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.f . . . . 5 ++
2 vdegp1ai.1 . . . . . . 7 Word
32trud 1404 . . . . . 6 Word
4 vdeg0i.v . . . . . . . 8
5 vdegp1ai.3 . . . . . . . 8
6 vdegp1ai.5 . . . . . . . 8
74, 5, 6umgrabi 25110 . . . . . . 7
87trud 1404 . . . . . 6
9 cats1un 12713 . . . . . 6 Word ++
103, 8, 9mp2an 672 . . . . 5 ++
111, 10eqtri 2486 . . . 4
1211oveq2i 6307 . . 3 VDeg VDeg
1312fveq1i 5873 . 2 VDeg VDeg
14 wrdf 12558 . . . . . . 7 Word ..^
15 ffn 5737 . . . . . . 7 ..^ ..^
163, 14, 15mp2b 10 . . . . . 6 ..^
1716a1i 11 . . . . 5 ..^
18 fvex 5882 . . . . . . 7
19 prex 4698 . . . . . . 7
2018, 19f1osn 5859 . . . . . 6
21 f1ofn 5823 . . . . . 6
2220, 21mp1i 12 . . . . 5
23 fzofi 12087 . . . . . 6 ..^
2423a1i 11 . . . . 5 ..^
25 snfi 7615 . . . . . 6
2625a1i 11 . . . . 5
27 fzonel 11839 . . . . . . 7 ..^
28 disjsn 4092 . . . . . . 7 ..^ ..^
2927, 28mpbir 209 . . . . . 6 ..^
3029a1i 11 . . . . 5 ..^
31 wrdumgra 24443 . . . . . . 7 Word UMGrph Word
324, 3, 31mp2an 672 . . . . . 6 UMGrph Word
332, 32sylibr 212 . . . . 5 UMGrph
34 umgra1 24453 . . . . . . 7 UMGrph
354, 18, 5, 6, 34mp4an 673 . . . . . 6 UMGrph
3635a1i 11 . . . . 5 UMGrph
37 vdegp1ai.u . . . . . 6
3837a1i 11 . . . . 5
3917, 22, 24, 26, 30, 33, 36, 38vdgrfiun 25029 . . . 4 VDeg VDeg VDeg
4039trud 1404 . . 3 VDeg VDeg VDeg
414a1i 11 . . . . . 6
4218a1i 11 . . . . . 6
435a1i 11 . . . . . 6
44 vdegp1ai.4 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
466a1i 11 . . . . . 6
47 vdegp1ai.6 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6
4941, 42, 38, 43, 45, 46, 48vdgr1a 25033 . . . . 5 VDeg
5049trud 1404 . . . 4 VDeg
5150oveq2i 6307 . . 3 VDeg VDeg VDeg
52 vdgrfif 25026 . . . . . . . 8 ..^ ..^ VDeg
534, 16, 23, 52mp3an 1324 . . . . . . 7 VDeg
5453ffvelrni 6031 . . . . . 6 VDeg
5537, 54ax-mp 5 . . . . 5 VDeg
5655nn0cni 10828 . . . 4 VDeg
5756addid1i 9784 . . 3 VDeg VDeg
5840, 51, 573eqtri 2490 . 2 VDeg VDeg
59 vdegp1ai.2 . 2 VDeg
6013, 58, 593eqtri 2490 1 VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wceq 1395   wtru 1396   wcel 1819   wne 2652  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469   cin 3470  c0 3793  cpw 4015  csn 4032  cpr 4034  cop 4038   class class class wbr 4456   wfn 5589  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296  cfn 7535  cc0 9509   caddc 9512   cle 9646  c2 10606  cn0 10816  ..^cfzo 11821  chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540  cs1 12541   UMGrph cumg 24439   VDeg cvdg 25020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-xadd 11344  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-umgra 24440  df-vdgr 25021 This theorem is referenced by:  konigsberg  25114
 Copyright terms: Public domain W3C validator