MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Unicode version

Theorem vdegp1ai 23777
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of  U in the edge set  E is  P, then adding  { X ,  Y } to the edge set, where  X  =/=  U  =/= 
Y, yields degree  P as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vdeg0i.v  |-  V  e. 
_V
vdegp1ai.1  |-  ( T. 
->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
vdegp1ai.u  |-  U  e.  V
vdegp1ai.2  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  =  P
vdegp1ai.3  |-  X  e.  V
vdegp1ai.4  |-  X  =/= 
U
vdegp1ai.5  |-  Y  e.  V
vdegp1ai.6  |-  Y  =/= 
U
vdegp1ai.f  |-  F  =  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  P
Distinct variable groups:    x, E    x, U    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    P( x)    F( x)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.f . . . . 5  |-  F  =  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )
2 vdegp1ai.1 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
32trud 1379 . . . . . 6  |-  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
4 vdeg0i.v . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
5 vdegp1ai.3 . . . . . . . 8  |-  X  e.  V
6 vdegp1ai.5 . . . . . . . 8  |-  Y  e.  V
74, 5, 6umgrabi 23776 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  { X ,  Y }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
87trud 1379 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  e.  {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
9 cats1un 12491 . . . . . 6  |-  ( ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  /\  { X ,  Y }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )  =  ( E  u.  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) )
103, 8, 9mp2an 672 . . . . 5  |-  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )  =  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } )
111, 10eqtri 2483 . . . 4  |-  F  =  ( E  u.  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } )
1211oveq2i 6214 . . 3  |-  ( V VDeg 
F )  =  ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) )
1312fveq1i 5803 . 2  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  ( ( V VDeg  ( E  u.  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `
 U )
14 wrdf 12361 . . . . . . 7  |-  ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
15 ffn 5670 . . . . . . 7  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
163, 14, 15mp2b 10 . . . . . 6  |-  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
18 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( # `  E )  e.  _V
19 prex 4645 . . . . . . 7  |-  { X ,  Y }  e.  _V
2018, 19f1osn 5789 . . . . . 6  |-  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. } : {
( # `  E ) } -1-1-onto-> { { X ,  Y } }
21 f1ofn 5753 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } : { ( # `  E
) } -1-1-onto-> { { X ,  Y } }  ->  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. }  Fn  {
( # `  E ) } )
2220, 21mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. }  Fn  { ( # `  E
) } )
23 fzofi 11916 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  Fin
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 0..^ ( # `  E ) )  e. 
Fin )
25 snfi 7503 . . . . . 6  |-  { (
# `  E ) }  e.  Fin
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  { ( # `  E
) }  e.  Fin )
27 fzonel 11685 . . . . . . 7  |-  -.  ( # `
 E )  e.  ( 0..^ ( # `  E ) )
28 disjsn 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ ( # `  E ) )  i^i 
{ ( # `  E
) } )  =  (/) 
<->  -.  ( # `  E
)  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
2927, 28mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  i^i  {
( # `  E ) } )  =  (/)
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( 0..^ (
# `  E )
)  i^i  { ( # `
 E ) } )  =  (/) )
31 wrdumgra 23422 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  ( V UMGrph  E  <-> 
E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
324, 3, 31mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E 
<->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
332, 32sylibr 212 . . . . 5  |-  ( T. 
->  V UMGrph  E )
34 umgra1 23432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  E
)  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } )
354, 18, 5, 6, 34mp4an 673 . . . . . 6  |-  V UMGrph  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. }
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  V UMGrph  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } )
37 vdegp1ai.u . . . . . 6  |-  U  e.  V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  U  e.  V
)
3917, 22, 24, 26, 30, 33, 36, 38vdgrfiun 23744 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( V VDeg  ( E  u.  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `
 U )  =  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
)  +  ( ( V VDeg  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) `  U ) ) )
4039trud 1379 . . 3  |-  ( ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. } ) `  U ) )
414a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  V  e.  _V )
4218a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( # `  E
)  e.  _V )
435a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  X  e.  V
)
44 vdegp1ai.4 . . . . . . 7  |-  X  =/= 
U
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  X  =/=  U
)
466a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Y  e.  V
)
47 vdegp1ai.6 . . . . . . 7  |-  Y  =/= 
U
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Y  =/=  U
)
4941, 42, 38, 43, 45, 46, 48vdgr1a 23748 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( V VDeg  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) `
 U )  =  0 )
5049trud 1379 . . . 4  |-  ( ( V VDeg  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) `  U )  =  0
5150oveq2i 6214 . . 3  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 U )  +  ( ( V VDeg  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) `
 U ) )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  0 )
52 vdgrfif 23741 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) )  /\  (
0..^ ( # `  E
) )  e.  Fin )  ->  ( V VDeg  E
) : V --> NN0 )
534, 16, 23, 52mp3an 1315 . . . . . . 7  |-  ( V VDeg 
E ) : V --> NN0
5453ffvelrni 5954 . . . . . 6  |-  ( U  e.  V  ->  (
( V VDeg  E ) `  U )  e.  NN0 )
5537, 54ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  e.  NN0
5655nn0cni 10705 . . . 4  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  e.  CC
5756addid1i 9670 . . 3  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 U )  +  0 )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 U )
5840, 51, 573eqtri 2487 . 2  |-  ( ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `  U )  =  ( ( V VDeg 
E ) `  U
)
59 vdegp1ai.2 . 2  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  =  P
6013, 58, 593eqtri 2487 1  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  P
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   <.cop 3994   class class class wbr 4403    Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   0cc0 9396    + caddc 9399    <_ cle 9533   2c2 10485   NN0cn0 10693  ..^cfzo 11668   #chash 12223  Word cword 12342   concat cconcat 12344   <"cs1 12345   UMGrph cumg 23418   VDeg cvdg 23735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-xadd 11204  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350  df-concat 12352  df-s1 12353  df-umgra 23419  df-vdgr 23736
This theorem is referenced by:  konigsberg  23780
  Copyright terms: Public domain W3C validator