Theorem vcm 9522

Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51.

Hypotheses

Ref	Expression
vcm.1	|- G = (1st` W)
vcm.2	|- S = (2nd` W)
vcm.3	|- X = ran G
vcm.4	|- M = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
vcm	|- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) = (M` A))

Proof of Theorem vcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcm.1	. . . . . 6 |- G = (1st` W)
2	1	vcgrp 9509	. . . . 5 |- (W e. CVec -> G e. Grp)
3	2	adantr 425	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> G e. Grp)
4		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
5	4	negcli 6526	. . . . 5 |- -u1 e. CC
6		vcm.2	. . . . . 6 |- S = (2nd` W)
7		vcm.3	. . . . . 6 |- X = ran G
8	1, 6, 7	vccl 9501	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
9	5, 8	mp3an2 1179	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
10		simpr 350	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> A e. X)
11		vcm.4	. . . . . 6 |- M = (inv` G)
12	7, 11	grpinvcl 9352	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (M` A) e. X)
13	12, 2	sylan 497	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (M` A) e. X)
14	7	grpass 9327	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ ((-u1SA) e. X /\ A e. X /\ (M` A) e. X)) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((-u1SA)G(AG(M` A))))
15	3, 9, 10, 13, 14	syl13anc 1102	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((-u1SA)G(AG(M` A))))
16	1, 6, 7	vcid 9502	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
17	16	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(1SA)) = ((-u1SA)GA))
18	5, 4	addcomi 6475	. . . . . . . . 9 |- (-u1 + 1) = (1 + -u1)
19	4	negidi 6537	. . . . . . . . 9 |- (1 + -u1) = 0
20	18, 19	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- (-u1 + 1) = 0
21	20	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- ((-u1 + 1)SA) = (0SA)
22	21	a1i 8	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1 + 1)SA) = (0SA))
23	1, 6, 7	vcdir 9504	. . . . . . . 8 |- ((W e. CVec /\ (-u1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
24	5, 23	mp3anr1 1188	. . . . . . 7 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ A e. X)) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
25	4, 24	mpanr1 774	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
26		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (Id` G) = (Id` G)
27	1, 6, 7, 26	vc0 9520	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (0SA) = (Id` G))
28	22, 25, 27	3eqtr3d 1934	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(1SA)) = (Id` G))
29	17, 28	eqtr3d 1927	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)GA) = (Id` G))
30	29	opreq1d 4897	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((Id` G)G(M` A)))
31	7, 26, 11	grprinv 9355	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (AG(M` A)) = (Id` G))
32	31, 2	sylan 497	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AG(M` A)) = (Id` G))
33	32	opreq2d 4898	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(AG(M` A))) = ((-u1SA)G(Id` G)))
34	15, 30, 33	3eqtr3d 1934	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = ((-u1SA)G(Id` G)))
35	7, 26	grplid 9345	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (M` A) e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = (M` A))
36	3, 13, 35	syl11anc 524	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = (M` A))
37	7, 26	grprid 9346	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (-u1SA) e. X) -> ((-u1SA)G(Id` G)) = (-u1SA))
38	3, 9, 37	syl11anc 524	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(Id` G)) = (-u1SA))
39	34, 36, 38	3eqtr3rd 1936	1 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) = (M` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389  -ucneg 6446  Grpcgr 9311  Idcgi 9312  invcgn 9313  CVeccvc 9496

This theorem is referenced by:  vcrinv 9523  vclinv 9524  nvinv 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497

Copyright terms: Public domain