Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcm Unicode version

Theorem vcm 22003
 Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 25-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vcm.1
vcm.2
vcm.3
vcm.4
Assertion
Ref Expression
vcm

Proof of Theorem vcm
StepHypRef Expression
1 vcm.1 . . . . 5
21vcgrp 21990 . . . 4
4 neg1cn 10023 . . . 4
5 vcm.2 . . . . 5
6 vcm.3 . . . . 5
71, 5, 6vccl 21982 . . . 4
84, 7mp3an2 1267 . . 3
9 eqid 2404 . . . 4 GId GId
106, 9grporid 21761 . . 3 GId
113, 8, 10syl2anc 643 . 2 GId
12 simpr 448 . . . . . 6
13 vcm.4 . . . . . . . 8
146, 13grpoinvcl 21767 . . . . . . 7
152, 14sylan 458 . . . . . 6
166grpoass 21744 . . . . . 6
173, 8, 12, 15, 16syl13anc 1186 . . . . 5
181, 5, 6vcid 21983 . . . . . . . 8
1918oveq2d 6056 . . . . . . 7
20 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10
2120negidi 9325 . . . . . . . . . 10
2220, 4, 21addcomli 9214 . . . . . . . . 9
2322oveq1i 6050 . . . . . . . 8
241, 5, 6vcdir 21985 . . . . . . . . . 10
254, 24mp3anr1 1276 . . . . . . . . 9
2620, 25mpanr1 665 . . . . . . . 8
271, 5, 6, 9vc0 22001 . . . . . . . 8 GId
2823, 26, 273eqtr3a 2460 . . . . . . 7 GId
2919, 28eqtr3d 2438 . . . . . 6 GId
3029oveq1d 6055 . . . . 5 GId
3117, 30eqtr3d 2438 . . . 4 GId
326, 9, 13grporinv 21770 . . . . . 6 GId
332, 32sylan 458 . . . . 5 GId
3433oveq2d 6056 . . . 4 GId
3531, 34eqtr3d 2438 . . 3 GId GId
366, 9grpolid 21760 . . . 4 GId
373, 15, 36syl2anc 643 . . 3 GId
3835, 37eqtr3d 2438 . 2 GId
3911, 38eqtr3d 2438 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   crn 4838  cfv 5413  (class class class)co 6040  c1st 6306  c2nd 6307  cc 8944  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949  cneg 9248  cgr 21727  GIdcgi 21728  cgn 21729  cvc 21977 This theorem is referenced by:  vcrinv  22004  vclinv  22005  nvinv  22073 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-ablo 21823  df-vc 21978
 Copyright terms: Public domain W3C validator