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Theorem vcdir 24078
Description: Distributive law for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vci.1  |-  G  =  ( 1st `  W
)
vci.2  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
vci.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
vcdir  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  +  B ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )

Proof of Theorem vcdir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vci.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( 1st `  W
)
2 vci.2 . . . . . 6  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
3 vci.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3vci 24073 . . . . 5  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )  ->  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
65ralimi 2816 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
76adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
87ralimi 2816 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
109ralimi 2816 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
11103ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
124, 11syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
13 oveq2 6203 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y  +  z ) S C ) )
14 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
y S x )  =  ( y S C ) )
15 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
z S x )  =  ( z S C ) )
1614, 15oveq12d 6213 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y S x ) G ( z S x ) )  =  ( ( y S C ) G ( z S C ) ) )
1713, 16eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  <->  ( (
y  +  z ) S C )  =  ( ( y S C ) G ( z S C ) ) ) )
18 oveq1 6202 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  z )  =  ( A  +  z ) )
1918oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  +  z ) S C )  =  ( ( A  +  z ) S C ) )
20 oveq1 6202 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y S C )  =  ( A S C ) )
2120oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y S C ) G ( z S C ) )  =  ( ( A S C ) G ( z S C ) ) )
2219, 21eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  +  z ) S C )  =  ( ( y S C ) G ( z S C ) )  <->  ( ( A  +  z ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( z S C ) ) ) )
23 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  ( A  +  z )  =  ( A  +  B ) )
2423oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  +  z ) S C )  =  ( ( A  +  B ) S C ) )
25 oveq1 6202 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
z S C )  =  ( B S C ) )
2625oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A S C ) G ( z S C ) )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
2724, 26eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( A  +  z ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( z S C ) )  <->  ( ( A  +  B ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
2817, 22, 27rspc3v 3183 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  ->  (
( A  +  B
) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
2912, 28syl5 32 . . 3  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( ( A  +  B
) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
30293coml 1195 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( ( A  +  B
) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
3130impcom 430 1  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  +  B ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796    X. cxp 4941   ran crn 4944   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681   CCcc 9386   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393   AbelOpcablo 23915   CVecOLDcvc 24070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-vc 24071
This theorem is referenced by:  vc2  24080  vcsubdir  24081  vc0  24094  vcm  24096  nvdir  24158
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