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Theorem vcdir 25647
Description: Distributive law for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vci.1  |-  G  =  ( 1st `  W
)
vci.2  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
vci.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
vcdir  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  +  B ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )

Proof of Theorem vcdir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vci.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( 1st `  W
)
2 vci.2 . . . . . 6  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
3 vci.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3vci 25642 . . . . 5  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )  ->  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
65ralimi 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
76adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
87ralimi 2847 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
98adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
109ralimi 2847 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
11103ad2ant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
124, 11syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
13 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y  +  z ) S C ) )
14 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
y S x )  =  ( y S C ) )
15 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
z S x )  =  ( z S C ) )
1614, 15oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y S x ) G ( z S x ) )  =  ( ( y S C ) G ( z S C ) ) )
1713, 16eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  <->  ( (
y  +  z ) S C )  =  ( ( y S C ) G ( z S C ) ) ) )
18 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  z )  =  ( A  +  z ) )
1918oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  +  z ) S C )  =  ( ( A  +  z ) S C ) )
20 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y S C )  =  ( A S C ) )
2120oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y S C ) G ( z S C ) )  =  ( ( A S C ) G ( z S C ) ) )
2219, 21eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  +  z ) S C )  =  ( ( y S C ) G ( z S C ) )  <->  ( ( A  +  z ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( z S C ) ) ) )
23 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  ( A  +  z )  =  ( A  +  B ) )
2423oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  +  z ) S C )  =  ( ( A  +  B ) S C ) )
25 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
z S C )  =  ( B S C ) )
2625oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A S C ) G ( z S C ) )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
2724, 26eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( A  +  z ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( z S C ) )  <->  ( ( A  +  B ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
2817, 22, 27rspc3v 3219 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  CC  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  ->  (
( A  +  B
) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
2912, 28syl5 32 . . 3  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( ( A  +  B
) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
30293coml 1201 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( ( A  +  B
) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
3130impcom 428 1  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  +  B ) S C )  =  ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    X. cxp 4986   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   AbelOpcablo 25484   CVecOLDcvc 25639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-vc 25640
This theorem is referenced by:  vc2  25649  vcsubdir  25650  vc0  25663  vcm  25665  nvdir  25727
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