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Theorem vcdi 25149
Description: Distributive law for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vci.1  |-  G  =  ( 1st `  W
)
vci.2  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
vci.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
vcdi  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) )

Proof of Theorem vcdi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vci.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( 1st `  W
)
2 vci.2 . . . . . 6  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
3 vci.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3vci 25145 . . . . 5  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
65ralimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
87ralimi 2857 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
983ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
104, 9syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
11 oveq1 6291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x G z )  =  ( B G z ) )
1211oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
y S ( x G z ) )  =  ( y S ( B G z ) ) )
13 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
y S x )  =  ( y S B ) )
1413oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( y S x ) G ( y S z ) )  =  ( ( y S B ) G ( y S z ) ) )
1512, 14eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  <->  ( y S ( B G z ) )  =  ( ( y S B ) G ( y S z ) ) ) )
16 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y S ( B G z ) )  =  ( A S ( B G z ) ) )
17 oveq1 6291 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y S B )  =  ( A S B ) )
18 oveq1 6291 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y S z )  =  ( A S z ) )
1917, 18oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y S B ) G ( y S z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S z ) ) )
2016, 19eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y S ( B G z ) )  =  ( ( y S B ) G ( y S z ) )  <->  ( A S ( B G z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S z ) ) ) )
21 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( B G z )  =  ( B G C ) )
2221oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A S ( B G z ) )  =  ( A S ( B G C ) ) )
23 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( A S z )  =  ( A S C ) )
2423oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
( A S B ) G ( A S z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) )
2522, 24eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( A S ( B G z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S z ) )  <->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
2615, 20, 25rspc3v 3226 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
2710, 26syl5 32 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
28273com12 1200 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( W  e.  CVecOLD 
->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
2928impcom 430 1  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    X. cxp 4997   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   CCcc 9490   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   AbelOpcablo 24987   CVecOLDcvc 25142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-vc 25143
This theorem is referenced by:  vcnegsubdi2  25172  vcsub4  25173  nvdi  25229
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