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Theorem vcdi 26016
Description: Distributive law for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vci.1  |-  G  =  ( 1st `  W
)
vci.2  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
vci.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
vcdi  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) )

Proof of Theorem vcdi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vci.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( 1st `  W
)
2 vci.2 . . . . . 6  |-  S  =  ( 2nd `  W
)
3 vci.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3vci 26012 . . . . 5  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
65ralimi 2825 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
76adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
87ralimi 2825 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
983ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
104, 9syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CVecOLD  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
11 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x G z )  =  ( B G z ) )
1211oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
y S ( x G z ) )  =  ( y S ( B G z ) ) )
13 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
y S x )  =  ( y S B ) )
1413oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( y S x ) G ( y S z ) )  =  ( ( y S B ) G ( y S z ) ) )
1512, 14eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  <->  ( y S ( B G z ) )  =  ( ( y S B ) G ( y S z ) ) ) )
16 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y S ( B G z ) )  =  ( A S ( B G z ) ) )
17 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y S B )  =  ( A S B ) )
18 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y S z )  =  ( A S z ) )
1917, 18oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y S B ) G ( y S z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S z ) ) )
2016, 19eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y S ( B G z ) )  =  ( ( y S B ) G ( y S z ) )  <->  ( A S ( B G z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S z ) ) ) )
21 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( B G z )  =  ( B G C ) )
2221oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  ( A S ( B G z ) )  =  ( A S ( B G C ) ) )
23 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( A S z )  =  ( A S C ) )
2423oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
( A S B ) G ( A S z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) )
2522, 24eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( A S ( B G z ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S z ) )  <->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
2615, 20, 25rspc3v 3200 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
2710, 26syl5 33 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  A  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( W  e.  CVecOLD  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
28273com12 1209 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( W  e.  CVecOLD 
->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) ) )
2928impcom 431 1  |-  ( ( W  e.  CVecOLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A S ( B G C ) )  =  ( ( A S B ) G ( A S C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    X. cxp 4852   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   CCcc 9536   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   AbelOpcablo 25854   CVecOLDcvc 26009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-vc 26010
This theorem is referenced by:  vcnegsubdi2  26039  vcsub4  26040  nvdi  26096
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