Theorem vc2 9506

Description: A vector plus itself is two times the vector.

Hypotheses

Ref	Expression
vci.1	|- G = (1st` W)
vci.2	|- S = (2nd` W)
vci.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
vc2	|- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))

Proof of Theorem vc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vci.1	. . . 4 |- G = (1st` W)
2		vci.2	. . . 4 |- S = (2nd` W)
3		vci.3	. . . 4 |- X = ran G
4	1, 2, 3	vcid 9502	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
5	4, 4	opreq12d 4900	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((1SA)G(1SA)) = (AGA))
6		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
7	1, 2, 3	vcdir 9504	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
8	6, 7	mp3anr1 1188	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
9	6, 8	mpanr1 774	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
10		df-2 7154	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
11	10	opreq1i 4892	. . 3 |- (2SA) = ((1 + 1)SA)
12	9, 11	syl5req 1941	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((1SA)G(1SA)) = (2SA))
13	5, 12	eqtr3d 1927	1 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389  2c2 7145  CVeccvc 9496

This theorem is referenced by:  nv2 9585  ipid 9702  ipdirilem 9829

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-1r 6324  df-c 6392  df-1 6394  df-r 6396  df-2 7154  df-vc 9497

Copyright terms: Public domain