Theorem valtar 15260

Description: The tar function as a recursive function.

Assertion

Ref	Expression
valtar	|- ((X e. A /\ Y e. B) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))

Distinct variable groups:   x,X   y,X

Proof of Theorem valtar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tar 15259	. . . 4 |- tar = {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}
2	1	fveq1i 4682	. . 3 |- (tar` <.X, Y>.) = ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}` <.X, Y>.)
3	2	a1i 8	. 2 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> (tar` <.X, Y>.) = ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}` <.X, Y>.))
4		df-opr 4886	. . . 4 |- (X{<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}Y) = ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}` <.X, Y>.)
5	4	eqcomi 1888	. . 3 |- ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}` <.X, Y>.) = (X{<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}Y)
6	5	a1i 8	. 2 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}` <.X, Y>.) = (X{<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}Y))
7		elisset 2299	. . . 4 |- (X e. A -> X e. _V)
8	7	adantr 425	. . 3 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> X e. _V)
9		elisset 2299	. . . 4 |- (Y e. B -> Y e. _V)
10	9	adantl 424	. . 3 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> Y e. _V)
11		rdgfnon 5147	. . . . . 6 |- rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On
12	11	a1i 8	. . . . 5 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On)
13		fnfun 4510	. . . . 5 |- (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On -> Fun rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
14	12, 13	syl 12	. . . 4 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> Fun rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
15		resfunexg 4500	. . . 4 |- ((Fun rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) /\ Y e. B) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) e. _V)
16	14, 15	sylancom 531	. . 3 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) e. _V)
17		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (a = X -> (tarskiMap` a) = (tarskiMap` X))
18	17	ineq2d 2796	. . . . . . . . 9 |- (a = X -> ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a)) = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X)))
19	18	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (a = X -> (y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a)) <-> y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))))
20	19	opabbidv 3401	. . . . . . 7 |- (a = X -> {<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))} = {<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))})
21		rdgeq1 5142	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))} = {<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))} -> rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) = rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {a}))
22	20, 21	syl 12	. . . . . 6 |- (a = X -> rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) = rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {a}))
23		sneq 3054	. . . . . . 7 |- (a = X -> {a} = {X})
24		rdgeq2 5143	. . . . . . 7 |- ({a} = {X} -> rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {a}) = rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
25	23, 24	syl 12	. . . . . 6 |- (a = X -> rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {a}) = rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
26	22, 25	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (a = X -> rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) = rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
27		reseq1 4218	. . . . 5 |- (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) = rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` b))
28	26, 27	syl 12	. . . 4 |- (a = X -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` b))
29		reseq2 4219	. . . 4 |- (b = Y -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` b) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
30		reloprab 4918	. . . . . 6 |- Rel {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}
31		reldmoprab 4934	. . . . . 6 |- Rel dom {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}
32		resid2 14425	. . . . . 6 |- ((Rel {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)} /\ Rel dom {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}) -> ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)} |` (_V X. _V)) = {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)})
33	30, 31, 32	mp2an 761	. . . . 5 |- ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)} |` (_V X. _V)) = {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}
34		resoprab 4938	. . . . 5 |- ({<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)} |` (_V X. _V)) = {<.<.a, b>., c>. | ((a e. _V /\ b e. _V) /\ c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b))}
35	33, 34	eqtr3i 1910	. . . 4 |- {<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)} = {<.<.a, b>., c>. | ((a e. _V /\ b e. _V) /\ c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b))}
36	28, 29, 35	oprabval2g 4956	. . 3 |- ((X e. _V /\ Y e. _V /\ (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) e. _V) -> (X{<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}Y) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
37	8, 10, 16, 36	syl111anc 1100	. 2 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> (X{<.<.a, b>., c>. | c = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` a))}, {a}) |` b)}Y) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
38	3, 6, 37	3eqtrd 1929	1 |- ((X e. A /\ Y e. B) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  <.cop 3046  {copab 3395  Oncon0 3657   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  reccrdg 5139  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258

This theorem is referenced by:  valdom 15261  vtare 15262  vtarsu 15263  vtarl 15264  tartarmap 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tar 15259

Copyright terms: Public domain