Theorem valdom 15261

Description: The domain of the tar function is the ordinal Y.

Assertion

Ref	Expression
valdom	|- ((X e. A /\ Y e. On) -> dom (tar` <.X, Y>.) = Y)

Proof of Theorem valdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		valtar 15260	. 2 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
2		dmeq 4157	. . . 4 |- ((tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) -> dom (tar` <.X, Y>.) = dom (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
3	2	eqeq1d 1892	. . 3 |- ((tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) -> (dom (tar` <.X, Y>.) = Y <-> dom (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) = Y))
4		rdgfnon 5147	. . . . 5 |- rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On
5		ineq2 2790	. . . . . . . . . 10 |- (dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) = On -> (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = (Y i^i On))
6	5	eqeq1d 1892	. . . . . . . . 9 |- (dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) = On -> ((Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = Y <-> (Y i^i On) = Y))
7		df-ss 2605	. . . . . . . . . 10 |- (Y C_ On <-> (Y i^i On) = Y)
8	7	biimpi 168	. . . . . . . . 9 |- (Y C_ On -> (Y i^i On) = Y)
9	6, 8	syl5bir 227	. . . . . . . 8 |- (dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) = On -> (Y C_ On -> (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = Y))
10		onss 3869	. . . . . . . 8 |- (Y e. On -> Y C_ On)
11	9, 10	syl5com 63	. . . . . . 7 |- (Y e. On -> (dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) = On -> (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = Y))
12	11	adantl 424	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> (dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) = On -> (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = Y))
13		fndm 4512	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On -> dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) = On)
14	12, 13	syl5com 63	. . . . 5 |- (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) Fn On -> ((X e. A /\ Y e. On) -> (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = Y))
15	4, 14	ax-mp 7	. . . 4 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})) = Y)
16		dmres 4234	. . . 4 |- dom (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) = (Y i^i dom rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}))
17	15, 16	syl5eq 1940	. . 3 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> dom (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) = Y)
18	3, 17	syl5bir 227	. 2 |- ((tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({w | E.z e. x w C_ z} u. {w | E.z e. x w = ~Pz}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) -> ((X e. A /\ Y e. On) -> dom (tar` <.X, Y>.) = Y))
19	1, 18	mpcom 60	1 |- ((X e. A /\ Y e. On) -> dom (tar` <.X, Y>.) = Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  <.cop 3046  {copab 3395  Oncon0 3657  dom cdm 3986   |` cres 3988   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  reccrdg 5139  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258

This theorem is referenced by:  tartarmap 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tar 15259

Copyright terms: Public domain