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Theorem vacn 25721
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
vacn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
vacn.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
Assertion
Ref Expression
vacn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem vacn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 vacn.g . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 25628 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 rphalfcl 11164 . . . . . 6  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
54adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
6 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  U  e.  NrmCVec )
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsmet 25714 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
10 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
BaseSet `  U ) )
1110adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 metcl 20920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  e.  RR )
149, 11, 12, 13syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  e.  RR )
15 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
BaseSet `  U ) )
1615adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
17 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  w  e.  ( BaseSet `  U )
)
18 metcl 20920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  e.  RR )
199, 16, 17, 18syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  e.  RR )
20 rpre 11145 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
2120ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  r  e.  RR )
22 lt2halves 10690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x C z )  e.  RR  /\  ( y C w )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r ) )
2314, 19, 21, 22syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r ) )
24 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
251, 24nvmcl 25659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x ( -v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
266, 11, 12, 25syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
) )
271, 24nvmcl 25659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
286, 16, 17, 27syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
29 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
301, 2, 29nvtri 25690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( y
( -v `  U
) w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
316, 26, 28, 30syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )  <_  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) ) )
321, 2nvgcl 25630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x G y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
336, 11, 16, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
) )
341, 2nvgcl 25630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( z G w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
356, 12, 17, 34syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
z G w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
361, 24, 29, 7imsdval 25709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) ) ) )
376, 33, 35, 36syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) ) ) )
381, 2, 24nvaddsub4 25673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U
) z ) G ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
4039fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x G y ) ( -v
`  U ) ( z G w ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
4137, 40eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) ) )
421, 24, 29, 7imsdval 25709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) ) )
436, 11, 12, 42syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) z ) ) )
441, 24, 29, 7imsdval 25709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
456, 16, 17, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) )
4643, 45oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
4731, 41, 463brtr4d 4397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <_  ( ( x C z )  +  ( y C w ) ) )
48 metcl 20920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( x G y )  e.  ( BaseSet `  U )  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
499, 33, 35, 48syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
5014, 19readdcld 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR )
51 lelttr 9586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_ 
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5249, 50, 21, 51syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5347, 52mpand 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5423, 53syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5554ralrimivva 2803 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
56 breq2 4371 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( x C z )  <  s  <->  ( x C z )  < 
( r  /  2
) ) )
57 breq2 4371 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
( r  /  2
) ) )
5856, 57anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) ) ) )
5958imbi1d 315 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r )  <->  ( (
( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
60592ralbidv 2826 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
6160rspcev 3135 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  2
)  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
625, 55, 61syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
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s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
6362ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
6463ralrimivva 2803 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  (
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BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
651, 7imsxmet 25715 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
66 vacn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
6766, 66, 66txmetcn 21136 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U
) )  /\  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  <->  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
6865, 65, 65, 67syl3anc 1226 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( G :
( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
693, 64, 68mpbir2and 920 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402    + caddc 9406    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123   2c2 10502   RR+crp 11139   *Metcxmt 18516   Metcme 18517   MetOpencmopn 18521    Cn ccn 19811    tX ctx 20146   NrmCVeccnv 25594   +vcpv 25595   BaseSetcba 25596   -vcnsb 25599   normCVcnmcv 25600   IndMetcims 25601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-tms 20910  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611
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