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Theorem vacn 25266
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
vacn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
vacn.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
Assertion
Ref Expression
vacn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem vacn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 vacn.g . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 25173 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 rphalfcl 11233 . . . . . 6  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
6 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  U  e.  NrmCVec )
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsmet 25259 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
10 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
BaseSet `  U ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 metcl 20563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  e.  RR )
149, 11, 12, 13syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  e.  RR )
15 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
BaseSet `  U ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
17 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  w  e.  ( BaseSet `  U )
)
18 metcl 20563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  e.  RR )
199, 16, 17, 18syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  e.  RR )
20 rpre 11215 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  r  e.  RR )
22 lt2halves 10762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x C z )  e.  RR  /\  ( y C w )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r ) )
2314, 19, 21, 22syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r ) )
24 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
251, 24nvmcl 25204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x ( -v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
266, 11, 12, 25syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
) )
271, 24nvmcl 25204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
286, 16, 17, 27syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
29 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
301, 2, 29nvtri 25235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( y
( -v `  U
) w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
316, 26, 28, 30syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )  <_  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) ) )
321, 2nvgcl 25175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x G y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
336, 11, 16, 32syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
) )
341, 2nvgcl 25175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( z G w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
356, 12, 17, 34syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
z G w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
361, 24, 29, 7imsdval 25254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) ) ) )
376, 33, 35, 36syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) ) ) )
381, 2, 24nvaddsub4 25218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U
) z ) G ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
4039fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x G y ) ( -v
`  U ) ( z G w ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
4137, 40eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) ) )
421, 24, 29, 7imsdval 25254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) ) )
436, 11, 12, 42syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) z ) ) )
441, 24, 29, 7imsdval 25254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
456, 16, 17, 44syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) )
4643, 45oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
4731, 41, 463brtr4d 4470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <_  ( ( x C z )  +  ( y C w ) ) )
48 metcl 20563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( x G y )  e.  ( BaseSet `  U )  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
499, 33, 35, 48syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
5014, 19readdcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR )
51 lelttr 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_ 
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5249, 50, 21, 51syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5347, 52mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5423, 53syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5554ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
56 breq2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( x C z )  <  s  <->  ( x C z )  < 
( r  /  2
) ) )
57 breq2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
( r  /  2
) ) )
5856, 57anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) ) ) )
5958imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r )  <->  ( (
( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
60592ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
6160rspcev 3207 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  2
)  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
625, 55, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
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s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
6362ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
6463ralrimivva 2878 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  (
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BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
651, 7imsxmet 25260 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
66 vacn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
6766, 66, 66txmetcn 20779 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U
) )  /\  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  <->  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
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) ) ) )
6865, 65, 65, 67syl3anc 1223 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( G :
( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
693, 64, 68mpbir2and 915 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10195   2c2 10574   RR+crp 11209   *Metcxmt 18167   Metcme 18168   MetOpencmopn 18172    Cn ccn 19484    tX ctx 19789   NrmCVeccnv 25139   +vcpv 25140   BaseSetcba 25141   -vcnsb 25144   normCVcnmcv 25145   IndMetcims 25146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-tms 20553  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-ims 25156
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