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Theorem vacn 22143
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeffrey Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
vacn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
vacn.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
Assertion
Ref Expression
vacn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem vacn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 vacn.g . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 22050 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 rphalfcl 10592 . . . . . 6  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
6 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  U  e.  NrmCVec )
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsmet 22136 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
10 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
BaseSet `  U ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 metcl 18315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  e.  RR )
149, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  e.  RR )
15 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
BaseSet `  U ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
17 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  w  e.  ( BaseSet `  U )
)
18 metcl 18315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  e.  RR )
199, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  e.  RR )
20 rpre 10574 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  r  e.  RR )
22 lt2halves 10158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x C z )  e.  RR  /\  ( y C w )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r ) )
2314, 19, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r ) )
24 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
251, 24nvmcl 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x ( -v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
266, 11, 12, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
) )
271, 24nvmcl 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
286, 16, 17, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
29 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
301, 2, 29nvtri 22112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( y
( -v `  U
) w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
316, 26, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )  <_  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) ) )
321, 2nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x G y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
336, 11, 16, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
) )
341, 2nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( z G w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
356, 12, 17, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
z G w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
361, 24, 29, 7imsdval 22131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) ) ) )
376, 33, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) ) ) )
381, 2, 24nvaddsub4 22095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U
) z ) G ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
4039fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x G y ) ( -v
`  U ) ( z G w ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
4137, 40eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) ) )
421, 24, 29, 7imsdval 22131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) ) )
436, 11, 12, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) z ) ) )
441, 24, 29, 7imsdval 22131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
456, 16, 17, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) )
4643, 45oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
4731, 41, 463brtr4d 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <_  ( ( x C z )  +  ( y C w ) ) )
48 metcl 18315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( x G y )  e.  ( BaseSet `  U )  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
499, 33, 35, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
5014, 19readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR )
51 lelttr 9121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_ 
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5249, 50, 21, 51syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5347, 52mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5423, 53syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5554ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
56 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( x C z )  <  s  <->  ( x C z )  < 
( r  /  2
) ) )
57 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
( r  /  2
) ) )
5856, 57anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) ) ) )
5958imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r )  <->  ( (
( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
60592ralbidv 2708 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
6160rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  2
)  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
625, 55, 61syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
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s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
6362ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
6463ralrimivva 2758 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  (
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BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
651, 7imsxmet 22137 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
66 vacn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
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) )  /\  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( G :
( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
6865, 65, 65, 67syl3anc 1184 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
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( ( BaseSet `  U
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BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
693, 64, 68mpbir2and 889 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   -vcnsb 22021   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023
This theorem is referenced by:  vmcn  22148  dipcn  22172  hlimadd  22648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-tms 18305  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033
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