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Theorem vacn 25580
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
vacn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
vacn.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
Assertion
Ref Expression
vacn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem vacn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 vacn.g . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 25487 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 rphalfcl 11254 . . . . . 6  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
6 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  U  e.  NrmCVec )
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsmet 25573 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
10 simplrl 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
BaseSet `  U ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 metcl 20812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  e.  RR )
149, 11, 12, 13syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  e.  RR )
15 simplrr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
BaseSet `  U ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
17 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  w  e.  ( BaseSet `  U )
)
18 metcl 20812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  e.  RR )
199, 16, 17, 18syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  e.  RR )
20 rpre 11236 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  r  e.  RR )
22 lt2halves 10780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x C z )  e.  RR  /\  ( y C w )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r ) )
2314, 19, 21, 22syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r ) )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
251, 24nvmcl 25518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x ( -v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
266, 11, 12, 25syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
) )
271, 24nvmcl 25518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
286, 16, 17, 27syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
301, 2, 29nvtri 25549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( -v `  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( y
( -v `  U
) w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
316, 26, 28, 30syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )  <_  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) ) )
321, 2nvgcl 25489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x G y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
336, 11, 16, 32syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
) )
341, 2nvgcl 25489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( z G w )  e.  (
BaseSet `  U ) )
356, 12, 17, 34syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
z G w )  e.  ( BaseSet `  U
) )
361, 24, 29, 7imsdval 25568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) ) ) )
376, 33, 35, 36syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) ) ) )
381, 2, 24nvaddsub4 25532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x G y ) ( -v `  U
) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) )
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) ( -v `  U ) ( z G w ) )  =  ( ( x ( -v `  U
) z ) G ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
4039fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( x G y ) ( -v
`  U ) ( z G w ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( x ( -v `  U ) z ) G ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
4137, 40eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( x ( -v
`  U ) z ) G ( y ( -v `  U
) w ) ) ) )
421, 24, 29, 7imsdval 25568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) ) )
436, 11, 12, 42syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
x C z )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) z ) ) )
441, 24, 29, 7imsdval 25568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
456, 16, 17, 44syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
y C w )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
y ( -v `  U ) w ) ) )
4643, 45oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) z ) )  +  ( ( normCV `  U ) `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) ) )
4731, 41, 463brtr4d 4467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <_  ( ( x C z )  +  ( y C w ) ) )
48 metcl 20812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( x G y )  e.  ( BaseSet `  U )  /\  ( z G w )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
499, 33, 35, 48syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR )
5014, 19readdcld 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR )
51 lelttr 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  e.  RR  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_ 
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  < 
r )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5249, 50, 21, 51syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <_  (
( x C z )  +  ( y C w ) )  /\  ( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r
)  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5347, 52mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  +  ( y C w ) )  <  r  -> 
( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
5423, 53syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  (
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) )  ->  ( (
x G y ) C ( z G w ) )  < 
r ) )
5554ralrimivva 2864 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
56 breq2 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( x C z )  <  s  <->  ( x C z )  < 
( r  /  2
) ) )
57 breq2 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
( r  /  2
) ) )
5856, 57anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x C z )  <  (
r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  (
r  /  2 ) ) ) )
5958imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  (
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r )  <->  ( (
( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
60592ralbidv 2887 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  ( r  /  2 )  /\  ( y C w )  <  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) )
6160rspcev 3196 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  2
)  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
( r  /  2
)  /\  ( y C w )  < 
( r  /  2
) )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
625, 55, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( ( x C z )  < 
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s )  ->  (
( x G y ) C ( z G w ) )  <  r ) )
6362ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) )
6463ralrimivva 2864 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  (
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) )
651, 7imsxmet 25574 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
66 vacn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
6766, 66, 66txmetcn 21028 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U
) )  /\  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  <->  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
6865, 65, 65, 67syl3anc 1229 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( G  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( G :
( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) --> (
BaseSet `  U )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( BaseSet `  U ) A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( ( x C z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x G y ) C ( z G w ) )  <  r
) ) ) )
693, 64, 68mpbir2and 922 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632    / cdiv 10213   2c2 10592   RR+crp 11230   *Metcxmt 18381   Metcme 18382   MetOpencmopn 18386    Cn ccn 19702    tX ctx 20038   NrmCVeccnv 25453   +vcpv 25454   BaseSetcba 25455   -vcnsb 25458   normCVcnmcv 25459   IndMetcims 25460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-xms 20800  df-tms 20802  df-grpo 25169  df-gid 25170  df-ginv 25171  df-gdiv 25172  df-ablo 25260  df-vc 25415  df-nv 25461  df-va 25464  df-ba 25465  df-sm 25466  df-0v 25467  df-vs 25468  df-nmcv 25469  df-ims 25470
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