Theorem uzwo5OLD 7423

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of upper integers has a unique least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo5OLD	|- ((B e. ZZ /\ (A C_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo5OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . 4 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
2	1	ralbidv 2123	. . 3 |- (x = w -> (A.y e. A x <_ y <-> A.y e. A w <_ y))
3	2	reu4 2446	. 2 |- (E!x e. A A.y e. A x <_ y <-> (E.x e. A A.y e. A x <_ y /\ A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
4		uzwo4OLD 7422	. 2 |- ((B e. ZZ /\ (A C_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)
5		ssrab2 2692	. . . . . 6 |- {z e. ZZ | B <_ z} C_ ZZ
6		zssre 7351	. . . . . 6 |- ZZ C_ RR
7	5, 6	sstri 2626	. . . . 5 |- {z e. ZZ | B <_ z} C_ RR
8		sstr 2625	. . . . 5 |- ((A C_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ {z e. ZZ | B <_ z} C_ RR) -> A C_ RR)
9	7, 8	mpan2 760	. . . 4 |- (A C_ {z e. ZZ | B <_ z} -> A C_ RR)
10		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (y = w -> (x <_ y <-> x <_ w))
11	10	rcla4v 2376	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> (A.y e. A x <_ y -> x <_ w))
12		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (y = x -> (w <_ y <-> w <_ x))
13	12	rcla4v 2376	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> (A.y e. A w <_ y -> w <_ x))
14	11, 13	im2anan9 622	. . . . . . . 8 |- ((w e. A /\ x e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
15	14	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
16		ssel 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
17		ssel 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> (w e. A -> w e. RR))
18	16, 17	anim12d 617	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> ((x e. A /\ w e. A) -> (x e. RR /\ w e. RR)))
19	18	impcom 378	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A C_ RR) -> (x e. RR /\ w e. RR))
20		letri3 6687	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A C_ RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
22	21	exbiri 421	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ w e. A) -> (A C_ RR -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w)))
23	22	com23 36	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> (A C_ RR -> x = w)))
24	15, 23	syld 30	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (A C_ RR -> x = w)))
25	24	com3r 39	. . . . 5 |- (A C_ RR -> ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
26	25	r19.21aivv 2183	. . . 4 |- (A C_ RR -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
27	9, 26	syl 12	. . 3 |- (A C_ {z e. ZZ | B <_ z} -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
28	27	ad2antrl 442	. 2 |- ((B e. ZZ /\ (A C_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
29	3, 4, 28	sylanbrc 527	1 |- ((B e. ZZ /\ (A C_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  uzwo3lem1 7429  uzwo3lem2 7430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain