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Theorem uzwo4 37365
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzwo4.1  |-  F/ j ps
uzwo4.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
uzwo4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. j  e.  S  ph )  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )
) )
Distinct variable groups:    k, M    S, j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( j, k)    M( j)

Proof of Theorem uzwo4
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3546 . . . . . 6  |-  { j  e.  S  |  ph }  C_  S
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  { j  e.  S  |  ph }  C_  S )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
42, 3sstrd 3474 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  { j  e.  S  |  ph }  C_  ( ZZ>= `  M )
)
54adantr 466 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. j  e.  S  ph )  ->  { j  e.  S  |  ph }  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
6 rabn0 3782 . . . . . 6  |-  ( { j  e.  S  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. j  e.  S  ph )
76bicomi 205 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  S  ph  <->  { j  e.  S  |  ph }  =/=  (/) )
87biimpi 197 . . . 4  |-  ( E. j  e.  S  ph  ->  { j  e.  S  |  ph }  =/=  (/) )
98adantl 467 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. j  e.  S  ph )  ->  { j  e.  S  |  ph }  =/=  (/) )
10 uzwo 11229 . . 3  |-  ( ( { j  e.  S  |  ph }  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  { j  e.  S  |  ph }  =/=  (/) )  ->  E. i  e.  { j  e.  S  |  ph } A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)
115, 9, 10syl2anc 665 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. j  e.  S  ph )  ->  E. i  e.  {
j  e.  S  |  ph } A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )
121sseli 3460 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  ->  i  e.  S )
1312adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  ->  i  e.  S )
14133adant1 1023 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  i  e.  S )
15 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j
i
16 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j S
1715nfsbc1 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
[. i  /  j ]. ph
18 sbceq1a 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  ( ph 
<-> 
[. i  /  j ]. ph ) )
1915, 16, 17, 18elrabf 3226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  <->  ( i  e.  S  /\  [. i  /  j ]. ph ) )
2019biimpi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  ->  ( i  e.  S  /\  [. i  /  j ]. ph ) )
2120simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  ->  [. i  /  j ]. ph )
2221adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  ->  [. i  /  j ]. ph )
23223adant1 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  [. i  /  j ]. ph )
24 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  S  C_  ( ZZ>= `  M )
25 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  i  e.  { j  e.  S  |  ph }
26 nfra1 2803 . . . . . . . . 9  |-  F/ k A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
2724, 25, 26nf3an 1990 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)
28 simpl13 1082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  /\  k  e.  S  /\  k  <  i )  /\  ps )  ->  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)
29 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  /\  k  e.  S  /\  k  <  i )  /\  ps )  ->  k  e.  S
)
30 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  /\  k  e.  S  /\  k  <  i )  /\  ps )  ->  ps )
31 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k  /\  k  e.  S )  /\  ps )  ->  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  S  /\  ps )  ->  ( k  e.  S  /\  ps ) )
33 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ j
k
34 uzwo4.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j ps
35 uzwo4.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ps ) )
3633, 16, 34, 35elrabf 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { j  e.  S  |  ph }  <->  ( k  e.  S  /\  ps ) )
3732, 36sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  S  /\  ps )  ->  k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } )
3837adantll 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k  /\  k  e.  S )  /\  ps )  ->  k  e.  {
j  e.  S  |  ph } )
39 rspa 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k  /\  k  e.  { j  e.  S  |  ph } )  ->  i  <_  k )
4031, 38, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k  /\  k  e.  S )  /\  ps )  ->  i  <_  k
)
4128, 29, 30, 40syl21anc 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  /\  k  e.  S  /\  k  <  i )  /\  ps )  ->  i  <_  k
)
424sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph } )  -> 
i  e.  ( ZZ>= `  M ) )
43 eluzelz 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph } )  -> 
i  e.  ZZ )
4544zred 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph } )  -> 
i  e.  RR )
46453adant3 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  i  e.  RR )
47463ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)  /\  k  e.  S  /\  k  <  i
)  ->  i  e.  RR )
48 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
49 eluzelz 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  ZZ )
5150zred 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  RR )
52513ad2antl1 1167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  RR )
53523adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)  /\  k  e.  S  /\  k  <  i
)  ->  k  e.  RR )
54 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)  /\  k  e.  S  /\  k  <  i
)  ->  k  <  i )
55 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  k  <  i )  ->  k  <  i )
56 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  k  <  i )  ->  k  e.  RR )
57 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  k  <  i )  ->  i  e.  RR )
5856, 57ltnled 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  k  <  i )  ->  (
k  <  i  <->  -.  i  <_  k ) )
5955, 58mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  k  <  i )  ->  -.  i  <_  k )
6047, 53, 54, 59syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)  /\  k  e.  S  /\  k  <  i
)  ->  -.  i  <_  k )
6160adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e. 
{ j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k )  /\  k  e.  S  /\  k  <  i )  /\  ps )  ->  -.  i  <_  k )
6241, 61pm2.65da 578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  {
j  e.  S  |  ph } i  <_  k
)  /\  k  e.  S  /\  k  <  i
)  ->  -.  ps )
63623exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  ( k  e.  S  ->  ( k  <  i  ->  -.  ps ) ) )
6427, 63ralrimi 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  A. k  e.  S  ( k  <  i  ->  -.  ps ) )
6523, 64jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  ( [. i  / 
j ]. ph  /\  A. k  e.  S  (
k  <  i  ->  -. 
ps ) ) )
66 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  k  <  i
6734nfn 1960 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  -.  ps
6866, 67nfim 1980 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( k  <  i  ->  -.  ps )
6916, 68nfral 2808 . . . . . . . 8  |-  F/ j A. k  e.  S  ( k  <  i  ->  -.  ps )
7017, 69nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ j ( [. i  / 
j ]. ph  /\  A. k  e.  S  (
k  <  i  ->  -. 
ps ) )
71 breq2 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
k  <  j  <->  k  <  i ) )
7271imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  (
( k  <  j  ->  -.  ps )  <->  ( k  <  i  ->  -.  ps )
) )
7372ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  ( A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )  <->  A. k  e.  S  ( k  <  i  ->  -.  ps )
) )
7418, 73anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
( ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )
)  <->  ( [. i  /  j ]. ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  i  ->  -.  ps ) ) ) )
7570, 74rspce 3177 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  S  /\  ( [. i  /  j ]. ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  i  ->  -.  ps )
) )  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\ 
A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps ) ) )
7614, 65, 75syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  i  e.  { j  e.  S  |  ph }  /\  A. k  e.  { j  e.  S  |  ph }
i  <_  k )  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )
) )
77763exp 1204 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( i  e.  { j  e.  S  |  ph }  ->  ( A. k  e.  { j  e.  S  |  ph } i  <_  k  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )
) ) ) )
7877rexlimdv 2912 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. i  e.  { j  e.  S  |  ph } A. k  e.  { j  e.  S  |  ph } i  <_  k  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )
) ) )
7978adantr 466 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. j  e.  S  ph )  ->  ( E. i  e. 
{ j  e.  S  |  ph } A. k  e.  { j  e.  S  |  ph } i  <_ 
k  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\ 
A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps ) ) ) )
8011, 79mpd 15 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  E. j  e.  S  ph )  ->  E. j  e.  S  ( ph  /\  A. k  e.  S  ( k  <  j  ->  -.  ps )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1661    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   [.wsbc 3299    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601   RRcr 9545    < clt 9682    <_ cle 9683   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167
This theorem is referenced by:  iundjiun  38206
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