Theorem uzwo3lem2 7430

Description: Lemma for uzwo3 7431.

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo3lem.1	|- R = {z e. ZZ | B <_ z}
uzwo3lem.2	|- S = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem2	|- ((B e. RR /\ (A C_ R /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   z,v,B   x,y,v,R   y,z,x,w,v   x,A,y   y,S   w,R

Proof of Theorem uzwo3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2623	. . . 4 |- (A C_ R -> (R C_ {t e. ZZ | S <_ t} -> A C_ {t e. ZZ | S <_ t}))
2		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (y = t -> (S <_ y <-> S <_ t))
3	2	rcla4v 2376	. . . . . . . . . 10 |- (t e. R -> (A.y e. R S <_ y -> S <_ t))
4		uzwo3lem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- R = {z e. ZZ | B <_ z}
5	4	uzwo3lem1 7429	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)
6		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
7	6	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = w -> (A.y e. R x <_ y <-> A.y e. R w <_ y))
8		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = v -> (w <_ y <-> w <_ v))
9	8	cbvralv 2280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. R w <_ y <-> A.v e. R w <_ v)
10	7, 9	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> (A.y e. R x <_ y <-> A.v e. R w <_ v))
11		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} -> (x <_ y <-> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y))
12	11	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} -> (A.y e. R x <_ y <-> A.y e. R U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y))
13	10, 12	reuuni3 3812	. . . . . . . . . . . 12 |- (E!x e. R A.y e. R x <_ y -> A.y e. R U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y)
14		uzwo3lem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v}
15	14	breq1i 3345	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S <_ y <-> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y)
16	15	ralbii 2127	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. R S <_ y <-> A.y e. R U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y)
17	13, 16	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- (E!x e. R A.y e. R x <_ y -> A.y e. R S <_ y)
18	5, 17	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> A.y e. R S <_ y)
19	3, 18	syl5com 63	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> (t e. R -> S <_ t))
20		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (z = t -> (B <_ z <-> B <_ t))
21	20, 4	elrab2 2416	. . . . . . . . 9 |- (t e. R <-> (t e. ZZ /\ B <_ t))
22	19, 21	syl5ibr 224	. . . . . . . 8 |- (B e. RR -> ((t e. ZZ /\ B <_ t) -> S <_ t))
23	22	exp3a 405	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> (t e. ZZ -> (B <_ t -> S <_ t)))
24	23	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- (B e. RR -> A.t e. ZZ (B <_ t -> S <_ t))
25		ss2rab 2683	. . . . . 6 |- ({t e. ZZ | B <_ t} C_ {t e. ZZ | S <_ t} <-> A.t e. ZZ (B <_ t -> S <_ t))
26	24, 25	sylibr 217	. . . . 5 |- (B e. RR -> {t e. ZZ | B <_ t} C_ {t e. ZZ | S <_ t})
27	20	cbvrabv 2422	. . . . . 6 |- {z e. ZZ | B <_ z} = {t e. ZZ | B <_ t}
28	4, 27	eqtri 1908	. . . . 5 |- R = {t e. ZZ | B <_ t}
29	26, 28	syl5ss 2661	. . . 4 |- (B e. RR -> R C_ {t e. ZZ | S <_ t})
30	1, 29	syl5com 63	. . 3 |- (B e. RR -> (A C_ R -> A C_ {t e. ZZ | S <_ t}))
31	4	uzwo3lem1 7429	. . . . . 6 |- (B e. RR -> E!w e. R A.v e. R w <_ v)
32		reucl 3213	. . . . . 6 |- (E!w e. R A.v e. R w <_ v -> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} e. R)
33	31, 32	syl 12	. . . . 5 |- (B e. RR -> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} e. R)
34	33, 14	syl5eqel 1975	. . . 4 |- (B e. RR -> S e. R)
35		breq2 3342	. . . . . 6 |- (t = S -> (B <_ t <-> B <_ S))
36	35, 28	elrab2 2416	. . . . 5 |- (S e. R <-> (S e. ZZ /\ B <_ S))
37	36	simplbi 349	. . . 4 |- (S e. R -> S e. ZZ)
38		uzwo5OLD 7423	. . . . 5 |- ((S e. ZZ /\ (A C_ {t e. ZZ | S <_ t} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)
39	38	exp32 408	. . . 4 |- (S e. ZZ -> (A C_ {t e. ZZ | S <_ t} -> (A =/= (/) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)))
40	34, 37, 39	3syl 24	. . 3 |- (B e. RR -> (A C_ {t e. ZZ | S <_ t} -> (A =/= (/) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)))
41	30, 40	syld 30	. 2 |- (B e. RR -> (A C_ R -> (A =/= (/) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)))
42	41	imp32 390	1 |- ((B e. RR /\ (A C_ R /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  uzwo3 7431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain