Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uzwo3 11266
 Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 11230 allows the lower bound to be any real number. See also nnwo 11231 and nnwos 11233. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9942 . . . 4
3 arch 10873 . . 3
42, 3syl 17 . 2
5 simplrl 771 . . . . 5
6 simplrl 771 . . . . . . . . . . . . 13
7 nnnegz 10947 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12
98zred 11047 . . . . . . . . . . 11
10 simprl 765 . . . . . . . . . . . 12
1110zred 11047 . . . . . . . . . . 11
12 simpll 761 . . . . . . . . . . . 12
136nnred 10631 . . . . . . . . . . . . 13
14 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14ltnegcon1d 10200 . . . . . . . . . . . 12
16 simprr 767 . . . . . . . . . . . 12
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 9800 . . . . . . . . . . 11
189, 11, 17ltled 9788 . . . . . . . . . 10
19 eluz 11179 . . . . . . . . . . 11
208, 10, 19syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
2118, 20mpbird 236 . . . . . . . . 9
2221expr 620 . . . . . . . 8
2322ralrimiva 2804 . . . . . . 7
24 rabss 3508 . . . . . . 7
2523, 24sylibr 216 . . . . . 6
2625adantlr 722 . . . . 5
275, 26sstrd 3444 . . . 4
28 simplrr 772 . . . 4
29 infssuzcl 11252 . . . 4 inf
3027, 28, 29syl2anc 667 . . 3 inf
31 infssuzle 11251 . . . . 5 inf
3227, 31sylan 474 . . . 4 inf
3332ralrimiva 2804 . . 3 inf
3430adantr 467 . . . . . . 7 inf
35 simprr 767 . . . . . . 7
36 breq2 4409 . . . . . . . 8 inf inf
3736rspcv 3148 . . . . . . 7 inf inf
3834, 35, 37sylc 62 . . . . . 6 inf
3927adantr 467 . . . . . . 7
40 simprl 765 . . . . . . 7
41 infssuzle 11251 . . . . . . 7 inf
4239, 40, 41syl2anc 667 . . . . . 6 inf
43 uzssz 11185 . . . . . . . . . . 11
44 zssre 10951 . . . . . . . . . . 11
4543, 44sstri 3443 . . . . . . . . . 10
4627, 45syl6ss 3446 . . . . . . . . 9
4746adantr 467 . . . . . . . 8
4847, 40sseldd 3435 . . . . . . 7
4946, 30sseldd 3435 . . . . . . . 8 inf
5049adantr 467 . . . . . . 7 inf
5148, 50letri3d 9782 . . . . . 6 inf inf inf
5238, 42, 51mpbir2and 934 . . . . 5 inf
5352expr 620 . . . 4 inf
5453ralrimiva 2804 . . 3 inf
55 breq1 4408 . . . . 5 inf inf
5655ralbidv 2829 . . . 4 inf inf
5756eqreu 3232 . . 3 inf inf inf
5830, 33, 54, 57syl3anc 1269 . 2
594, 58rexlimddv 2885 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  wrex 2740  wreu 2741  crab 2743   wss 3406  c0 3733   class class class wbr 4405  cfv 5585  infcinf 7960  cr 9543   clt 9680   cle 9681  cneg 9866  cn 10616  cz 10944  cuz 11166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167 This theorem is referenced by:  zmin  11267
 Copyright terms: Public domain W3C validator