MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo3 Structured version   Unicode version

Theorem uzwo3 11202
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 11171 allows the lower bound  B to be any real number. See also nnwo 11172 and nnwos 11174. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9901 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -u B  e.  RR )
3 arch 10813 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
5 simplrl 761 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z } )
6 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  NN )
7 nnnegz 10888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  -u n  e.  ZZ )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  ZZ )
98zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  RR )
10 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ZZ )
1110zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
136nnred 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  RR )
14 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u B  <  n )
1512, 13, 14ltnegcon1d 10153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  B )
16 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  <_  z )
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 9759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  z )
189, 11, 17ltled 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <_  z )
19 eluz 11119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_  z ) )
208, 10, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
( z  e.  (
ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_ 
z ) )
2118, 20mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2221expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2322ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_ 
z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
24 rabss 3573 . . . . . . 7  |-  ( { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  C_  ( ZZ>= `  -u n )  <->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_  z  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2523, 24sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
2625adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
275, 26sstrd 3509 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
28 simplrr 762 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  =/=  (/) )
29 infmssuzcl 11190 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
3027, 28, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
31 infmssuzle 11189 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3227, 31sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3332ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3430adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
35 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A. y  e.  A  x  <_  y )
36 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3736rspcv 3206 . . . . . . 7  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3834, 35, 37sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
3927adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  -u n
) )
40 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
41 infmssuzle 11189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
43 uzssz 11125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  ZZ
44 zssre 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  RR
4543, 44sstri 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  RR
4627, 45syl6ss 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
4847, 40sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
4946, 30sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5049adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5148, 50letri3d 9744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  -> 
( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
) )
5238, 42, 51mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
5352expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5453ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
55 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y ) )
5655ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
y ) )
5756eqreu 3291 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5830, 33, 54, 57syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
594, 58rexlimddv 2953 1  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ` cfv 5594   supcsup 7918   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646   -ucneg 9825   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  zmin  11203
  Copyright terms: Public domain W3C validator