Theorem uzwo3 10944

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 10915 allows the lower bound B to be any real number. See also nnwo 10916 and nnwos 10918. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	|- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 9668	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
2	1	adantr 462	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> -u B e. RR )
3		arch 10572	. . 3 |- ( -u B e. RR -> E. n e. NN -u B < n )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E. n e. NN -u B < n )
5		simplrl 754	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ { z e. ZZ | B <_ z } )
6		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. NN )
7		nnnegz 10645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> -u n e. ZZ )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. ZZ )
9	8	zred 10743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. RR )
10		simprl 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zred 10743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. RR )
12		simpll 748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B e. RR )
13	6	nnred 10333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. RR )
14		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u B < n )
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 9915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < B )
16		simprr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B <_ z )
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 9527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < z )
18	9, 11, 17	ltled 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n <_ z )
19		eluz 10870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u n e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) )
20	8, 10, 19	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) )
21	18, 20	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) )
22	21	expr 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
23	22	ralrimiva 2797	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
24		rabss 3426	. . . . . . 7 |- ( { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) <-> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
25	23, 24	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
26	25	adantlr 709	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
27	5, 26	sstrd 3363	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
28		simplrr 755	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A =/= (/) )
29		infmssuzcl 10934	. . . 4 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ A =/= (/) ) -> sup ( A , RR , `' < ) e. A )
30	27, 28, 29	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> sup ( A , RR , `' < ) e. A )
31		infmssuzle 10933	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ y e. A ) -> sup ( A , RR , `' < ) <_ y )
32	27, 31	sylan 468	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ y e. A ) -> sup ( A , RR , `' < ) <_ y )
33	32	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. y e. A sup ( A , RR , `' < ) <_ y )
34	30	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> sup ( A , RR , `' < ) e. A )
35		simprr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A. y e. A x <_ y )
36		breq2 4293	. . . . . . . 8 |- ( y = sup ( A , RR , `' < ) -> ( x <_ y <-> x <_ sup ( A , RR , `' < ) ) )
37	36	rspcv 3066	. . . . . . 7 |- ( sup ( A , RR , `' < ) e. A -> ( A. y e. A x <_ y -> x <_ sup ( A , RR , `' < ) ) )
38	34, 35, 37	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x <_ sup ( A , RR , `' < ) )
39	27	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
40		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. A )
41		infmssuzle 10933	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ x e. A ) -> sup ( A , RR , `' < ) <_ x )
42	39, 40, 41	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> sup ( A , RR , `' < ) <_ x )
43		uzssz 10876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ
44		zssre 10649	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ C_ RR
45	43, 44	sstri 3362	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ RR
46	27, 45	syl6ss 3365	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ RR )
47	46	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ RR )
48	47, 40	sseldd 3354	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. RR )
49	46, 30	sseldd 3354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> sup ( A , RR , `' < ) e. RR )
50	49	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> sup ( A , RR , `' < ) e. RR )
51	48, 50	letri3d 9512	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( x = sup ( A , RR , `' < ) <-> ( x <_ sup ( A , RR , `' < ) /\ sup ( A , RR , `' < ) <_ x ) ) )
52	38, 42, 51	mpbir2and 908	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x = sup ( A , RR , `' < ) )
53	52	expr 612	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A x <_ y -> x = sup ( A , RR , `' < ) ) )
54	53	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = sup ( A , RR , `' < ) ) )
55		breq1 4292	. . . . 5 |- ( x = sup ( A , RR , `' < ) -> ( x <_ y <-> sup ( A , RR , `' < ) <_ y ) )
56	55	ralbidv 2733	. . . 4 |- ( x = sup ( A , RR , `' < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A sup ( A , RR , `' < ) <_ y ) )
57	56	eqreu 3148	. . 3 |- ( ( sup ( A , RR , `' < ) e. A /\ A. y e. A sup ( A , RR , `' < ) <_ y /\ A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = sup ( A , RR , `' < ) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )
58	30, 33, 54, 57	syl3anc 1213	. 2 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )
59	4, 58	rexlimddv 2843	1 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   {crab 2717   C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   ` cfv 5415   supcsup 7686   RRcr 9277   < clt 9414   <_ cle 9415   -ucneg 9592   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858

This theorem is referenced by:  zmin  10945