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Theorem uzwo3 10960
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 10931 allows the lower bound  B to be any real number. See also nnwo 10932 and nnwos 10934. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9684 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -u B  e.  RR )
3 arch 10588 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
5 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z } )
6 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  NN )
7 nnnegz 10661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  -u n  e.  ZZ )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  ZZ )
98zred 10759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  RR )
10 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ZZ )
1110zred 10759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
136nnred 10349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  RR )
14 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u B  <  n )
1512, 13, 14ltnegcon1d 9931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  B )
16 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  <_  z )
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 9543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  z )
189, 11, 17ltled 9534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <_  z )
19 eluz 10886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_  z ) )
208, 10, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
( z  e.  (
ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_ 
z ) )
2118, 20mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2221expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2322ralrimiva 2811 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_ 
z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
24 rabss 3441 . . . . . . 7  |-  ( { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  C_  ( ZZ>= `  -u n )  <->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_  z  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2523, 24sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
2625adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
275, 26sstrd 3378 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
28 simplrr 760 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  =/=  (/) )
29 infmssuzcl 10950 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
3027, 28, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
31 infmssuzle 10949 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3227, 31sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3332ralrimiva 2811 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3430adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
35 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A. y  e.  A  x  <_  y )
36 breq2 4308 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3736rspcv 3081 . . . . . . 7  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3834, 35, 37sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
3927adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  -u n
) )
40 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
41 infmssuzle 10949 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
43 uzssz 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  ZZ
44 zssre 10665 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  RR
4543, 44sstri 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  RR
4627, 45syl6ss 3380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
4847, 40sseldd 3369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
4946, 30sseldd 3369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5049adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5148, 50letri3d 9528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  -> 
( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
) )
5238, 42, 51mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
5352expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5453ralrimiva 2811 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
55 breq1 4307 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y ) )
5655ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
y ) )
5756eqreu 3163 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5830, 33, 54, 57syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
594, 58rexlimddv 2857 1  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   E!wreu 2729   {crab 2731    C_ wss 3340   (/)c0 3649   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   ` cfv 5430   supcsup 7702   RRcr 9293    < clt 9430    <_ cle 9431   -ucneg 9608   NNcn 10334   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874
This theorem is referenced by:  zmin  10961
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