Theorem uzwo3 11266

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 11230 allows the lower bound B to be any real number. See also nnwo 11231 and nnwos 11233. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	|- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 9942	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
2	1	adantr 467	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> -u B e. RR )
3		arch 10873	. . 3 |- ( -u B e. RR -> E. n e. NN -u B < n )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E. n e. NN -u B < n )
5		simplrl 771	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ { z e. ZZ | B <_ z } )
6		simplrl 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. NN )
7		nnnegz 10947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> -u n e. ZZ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. ZZ )
9	8	zred 11047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. RR )
10		simprl 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zred 11047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. RR )
12		simpll 761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B e. RR )
13	6	nnred 10631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. RR )
14		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u B < n )
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 10200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < B )
16		simprr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B <_ z )
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 9800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < z )
18	9, 11, 17	ltled 9788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n <_ z )
19		eluz 11179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u n e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) )
20	8, 10, 19	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) )
21	18, 20	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) )
22	21	expr 620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
23	22	ralrimiva 2804	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
24		rabss 3508	. . . . . . 7 |- ( { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) <-> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
25	23, 24	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
26	25	adantlr 722	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
27	5, 26	sstrd 3444	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
28		simplrr 772	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A =/= (/) )
29		infssuzcl 11252	. . . 4 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ A =/= (/) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
30	27, 28, 29	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
31		infssuzle 11251	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
32	27, 31	sylan 474	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
33	32	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y )
34	30	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
35		simprr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A. y e. A x <_ y )
36		breq2 4409	. . . . . . . 8 |- ( y = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ inf ( A , RR , < ) ) )
37	36	rspcv 3148	. . . . . . 7 |- (inf ( A , RR , < ) e. A -> ( A. y e. A x <_ y -> x <_ inf ( A , RR , < ) ) )
38	34, 35, 37	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x <_ inf ( A , RR , < ) )
39	27	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
40		simprl 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. A )
41		infssuzle 11251	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ x e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ x )
42	39, 40, 41	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) <_ x )
43		uzssz 11185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ
44		zssre 10951	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ C_ RR
45	43, 44	sstri 3443	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ RR
46	27, 45	syl6ss 3446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ RR )
47	46	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ RR )
48	47, 40	sseldd 3435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. RR )
49	46, 30	sseldd 3435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
50	49	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
51	48, 50	letri3d 9782	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( x = inf ( A , RR , < ) <-> ( x <_ inf ( A , RR , < ) /\ inf ( A , RR , < ) <_ x ) ) )
52	38, 42, 51	mpbir2and 934	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x = inf ( A , RR , < ) )
53	52	expr 620	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) )
54	53	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) )
55		breq1 4408	. . . . 5 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
56	55	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
57	56	eqreu 3232	. . 3 |- ( (inf ( A , RR , < ) e. A /\ A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y /\ A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )
58	30, 33, 54, 57	syl3anc 1269	. 2 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )
59	4, 58	rexlimddv 2885	1 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   E!wreu 2741   {crab 2743   C_ wss 3406   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  infcinf 7960   RRcr 9543   < clt 9680   <_ cle 9681   -ucneg 9866   NNcn 10616   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167

This theorem is referenced by:  zmin  11267