Theorem uzwo 11251

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable group:   j, k, S

Allowed substitution hints:   M( j, k)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables t h n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = M -> ( h <_ t <-> M <_ t ) )
2	1	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = M -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S M <_ t ) )
3	2	imbi2d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( h = M -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) ) )
4		breq1 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = m -> ( h <_ t <-> m <_ t ) )
5	4	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = m -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
6	5	imbi2d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( h = m -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) ) )
7		breq1 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( h <_ t <-> ( m + 1 ) <_ t ) )
8	7	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
9	8	imbi2d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
10		breq1 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h <_ t <-> n <_ t ) )
11	10	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = n -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
12	11	imbi2d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( h = n -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) ) )
13		ssel 3438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> t e. ( ZZ>= ` M ) ) )
14		eluzle 11200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ t )
15	13, 14	syl6 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> M <_ t ) )
16	15	ralrimiv 2812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> A. t e. S M <_ t )
17	16	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) )
19		uzssz 11207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		sstr 3452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ ) -> S C_ ZZ )
21	19, 20	mpan2 682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ ZZ )
22		eluzelz 11197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
23		breq1 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = m -> ( j <_ t <-> m <_ t ) )
24	23	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = m -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
25	24	rspcev 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. S /\ A. t e. S m <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
26	25	expcom 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. t e. S m <_ t -> ( m e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
27	26	con3rr3 143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> -. m e. S ) )
28		ssel2 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ ZZ /\ t e. S ) -> t e. ZZ )
29		zre 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
30		zre 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( t e. ZZ -> t e. RR )
31		letri3 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. RR /\ t e. RR ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
33		zleltp1 11016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> t < ( m + 1 ) ) )
34		peano2re 9832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m + 1 ) e. RR )
36		ltnle 9739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t e. RR /\ ( m + 1 ) e. RR ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
37	30, 35, 36	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
38	33, 37	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
39	38	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
40	39	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( m <_ t /\ t <_ m ) <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
41	32, 40	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
42	28, 41	sylan2 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
43		eleq1a 2535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. S -> ( m = t -> m e. S ) )
44	43	ad2antll 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t -> m e. S ) )
45	42, 44	sylbird 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) -> m e. S ) )
46	45	expd 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) ) )
47		con1 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) )
48	46, 47	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
49	48	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
50	49	exp32 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( t e. S -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
51	50	com34 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( -. m e. S -> ( t e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
52	51	imp41 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) /\ t e. S ) -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) )
53	52	ralimdva 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
54	53	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) -> ( -. m e. S -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
55	27, 54	sylan9r 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
56	55	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
57	56	expl 628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
58	22, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
59	21, 58	sylani 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
60	59	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
61	3, 6, 9, 12, 18, 60	uzind4 11246	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) )
62		breq1 4419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = n -> ( j <_ t <-> n <_ t ) )
63	62	ralbidv 2839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = n -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
64	63	rspcev 3162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. S /\ A. t e. S n <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
65	64	expcom 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. S n <_ t -> ( n e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
66	65	con3rr3 143	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
67	66	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
68	61, 67	sylcom 30	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
69		ssel 3438	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( n e. S -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
70	69	con3rr3 143	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> -. n e. S ) )
71	70	adantrd 474	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
72	68, 71	pm2.61i 169	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S )
73	72	ex 440	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> -. n e. S ) )
74	73	alrimdv 1786	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> A. n -. n e. S ) )
75		eq0 3759	. . . . 5 |- ( S = (/) <-> A. n -. n e. S )
76	74, 75	syl6ibr 235	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> S = (/) ) )
77	76	necon1ad 2653	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( S =/= (/) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
78	77	imp 435	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
79		breq2 4420	. . . 4 |- ( t = k -> ( j <_ t <-> j <_ k ) )
80	79	cbvralv 3031	. . 3 |- ( A. t e. S j <_ t <-> A. k e. S j <_ k )
81	80	rexbii 2901	. 2 |- ( E. j e. S A. t e. S j <_ t <-> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
82	78, 81	sylib 201	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   C_ wss 3416   (/)c0 3743   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   RRcr 9564   1c1 9566   + caddc 9568   < clt 9701   <_ cle 9702   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189

This theorem is referenced by:  uzwo2  11252  nnwo  11253  infssuzle  11273  infssuzcl  11274  infmssuzleOLD  11275  infmssuzclOLD  11276  uzwo4  37430