Theorem uzwo 10913

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable group:   j, k, S

Allowed substitution hints:   M( j, k)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables t h n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = M -> ( h <_ t <-> M <_ t ) )
2	1	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = M -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S M <_ t ) )
3	2	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = M -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) ) )
4		breq1 4292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = m -> ( h <_ t <-> m <_ t ) )
5	4	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = m -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
6	5	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = m -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) ) )
7		breq1 4292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( h <_ t <-> ( m + 1 ) <_ t ) )
8	7	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
9	8	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
10		breq1 4292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h <_ t <-> n <_ t ) )
11	10	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = n -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
12	11	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = n -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) ) )
13		ssel 3347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> t e. ( ZZ>= ` M ) ) )
14		eluzle 10869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ t )
15	13, 14	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> M <_ t ) )
16	15	ralrimiv 2796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> A. t e. S M <_ t )
17	16	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) )
19		uzssz 10876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		sstr 3361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ ) -> S C_ ZZ )
21	19, 20	mpan2 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ ZZ )
22		eluzelz 10866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
23		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = m -> ( j <_ t <-> m <_ t ) )
24	23	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = m -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
25	24	rspcev 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. S /\ A. t e. S m <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
26	25	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. t e. S m <_ t -> ( m e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
27	26	con3rr3 136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> -. m e. S ) )
28		ssel2 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ ZZ /\ t e. S ) -> t e. ZZ )
29		zre 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
30		zre 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( t e. ZZ -> t e. RR )
31		letri3 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. RR /\ t e. RR ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
33		zleltp1 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> t < ( m + 1 ) ) )
34		peano2re 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
35	29, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m + 1 ) e. RR )
36		ltnle 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t e. RR /\ ( m + 1 ) e. RR ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
37	30, 35, 36	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
38	33, 37	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
39	38	ancoms 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
40	39	anbi2d 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( m <_ t /\ t <_ m ) <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
41	32, 40	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
42	28, 41	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
43		eleq1a 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. S -> ( m = t -> m e. S ) )
44	43	ad2antll 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t -> m e. S ) )
45	42, 44	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) -> m e. S ) )
46	45	exp3a 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) ) )
47		con1 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) )
48	46, 47	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
50	49	exp32 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( t e. S -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
51	50	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( -. m e. S -> ( t e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
52	51	imp41 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) /\ t e. S ) -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) )
53	52	ralimdva 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) -> ( -. m e. S -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
55	27, 54	sylan9r 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
56	55	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
57	56	expl 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
58	22, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
59	21, 58	sylani 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
60	59	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
61	3, 6, 9, 12, 18, 60	uzind4 10908	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) )
62		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = n -> ( j <_ t <-> n <_ t ) )
63	62	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = n -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
64	63	rspcev 3070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. S /\ A. t e. S n <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
65	64	expcom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. S n <_ t -> ( n e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
66	65	con3rr3 136	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
67	66	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
68	61, 67	sylcom 29	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
69		ssel 3347	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( n e. S -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
70	69	con3rr3 136	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> -. n e. S ) )
71	70	adantrd 465	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
72	68, 71	pm2.61i 164	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S )
73	72	ex 434	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> -. n e. S ) )
74	73	alrimdv 1692	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> A. n -. n e. S ) )
75		eq0 3649	. . . . 5 |- ( S = (/) <-> A. n -. n e. S )
76	74, 75	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> S = (/) ) )
77	76	necon1ad 2676	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( S =/= (/) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
78	77	imp 429	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
79		breq2 4293	. . . 4 |- ( t = k -> ( j <_ t <-> j <_ k ) )
80	79	cbvralv 2945	. . 3 |- ( A. t e. S j <_ t <-> A. k e. S j <_ k )
81	80	rexbii 2738	. 2 |- ( E. j e. S A. t e. S j <_ t <-> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
82	78, 81	sylib 196	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   1c1 9279   + caddc 9281   < clt 9414   <_ cle 9415   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858

This theorem is referenced by:  uzwo2  10915  nnwo  10916  infmssuzle  10933  infmssuzcl  10934