Theorem uzwo 11169

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable group:   j, k, S

Allowed substitution hints:   M( j, k)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables t h n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = M -> ( h <_ t <-> M <_ t ) )
2	1	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = M -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S M <_ t ) )
3	2	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = M -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) ) )
4		breq1 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = m -> ( h <_ t <-> m <_ t ) )
5	4	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = m -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
6	5	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = m -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) ) )
7		breq1 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( h <_ t <-> ( m + 1 ) <_ t ) )
8	7	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
9	8	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
10		breq1 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h <_ t <-> n <_ t ) )
11	10	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = n -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
12	11	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( h = n -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) ) )
13		ssel 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> t e. ( ZZ>= ` M ) ) )
14		eluzle 11118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ t )
15	13, 14	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> M <_ t ) )
16	15	ralrimiv 2869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> A. t e. S M <_ t )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) )
19		uzssz 11125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		sstr 3507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ ) -> S C_ ZZ )
21	19, 20	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ ZZ )
22		eluzelz 11115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
23		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = m -> ( j <_ t <-> m <_ t ) )
24	23	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = m -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
25	24	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. S /\ A. t e. S m <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
26	25	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. t e. S m <_ t -> ( m e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
27	26	con3rr3 136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> -. m e. S ) )
28		ssel2 3494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ ZZ /\ t e. S ) -> t e. ZZ )
29		zre 10889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
30		zre 10889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( t e. ZZ -> t e. RR )
31		letri3 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. RR /\ t e. RR ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
33		zleltp1 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> t < ( m + 1 ) ) )
34		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
35	29, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m + 1 ) e. RR )
36		ltnle 9681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t e. RR /\ ( m + 1 ) e. RR ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
37	30, 35, 36	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
38	33, 37	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
39	38	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
40	39	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( m <_ t /\ t <_ m ) <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
41	32, 40	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
42	28, 41	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
43		eleq1a 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. S -> ( m = t -> m e. S ) )
44	43	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t -> m e. S ) )
45	42, 44	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) -> m e. S ) )
46	45	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) ) )
47		con1 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) )
48	46, 47	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
50	49	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( t e. S -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
51	50	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( -. m e. S -> ( t e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
52	51	imp41 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) /\ t e. S ) -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) )
53	52	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) -> ( -. m e. S -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
55	27, 54	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
56	55	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
57	56	expl 618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
58	22, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
59	21, 58	sylani 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
60	59	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
61	3, 6, 9, 12, 18, 60	uzind4 11164	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) )
62		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = n -> ( j <_ t <-> n <_ t ) )
63	62	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = n -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
64	63	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. S /\ A. t e. S n <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
65	64	expcom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. S n <_ t -> ( n e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
66	65	con3rr3 136	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
67	66	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
68	61, 67	sylcom 29	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
69		ssel 3493	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( n e. S -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
70	69	con3rr3 136	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> -. n e. S ) )
71	70	adantrd 468	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
72	68, 71	pm2.61i 164	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S )
73	72	ex 434	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> -. n e. S ) )
74	73	alrimdv 1722	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> A. n -. n e. S ) )
75		eq0 3809	. . . . 5 |- ( S = (/) <-> A. n -. n e. S )
76	74, 75	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> S = (/) ) )
77	76	necon1ad 2673	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( S =/= (/) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
78	77	imp 429	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
79		breq2 4460	. . . 4 |- ( t = k -> ( j <_ t <-> j <_ k ) )
80	79	cbvralv 3084	. . 3 |- ( A. t e. S j <_ t <-> A. k e. S j <_ k )
81	80	rexbii 2959	. 2 |- ( E. j e. S A. t e. S j <_ t <-> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
82	78, 81	sylib 196	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107

This theorem is referenced by:  uzwo2  11171  nnwo  11172  infmssuzle  11189  infmssuzcl  11190