MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo Structured version   Unicode version

Theorem uzwo 11169
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzwo  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
Distinct variable group:    j, k, S
Allowed substitution hints:    M( j, k)

Proof of Theorem uzwo
Dummy variables  t  h  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  M  ->  (
h  <_  t  <->  M  <_  t ) )
21ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  M  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  M  <_  t ) )
32imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  M  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  M  <_  t ) ) )
4 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  m  ->  (
h  <_  t  <->  m  <_  t ) )
54ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  m  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  m  <_  t ) )
65imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  m  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  m  <_  t ) ) )
7 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( m  + 
1 )  ->  (
h  <_  t  <->  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
87ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
98imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
10 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  n  ->  (
h  <_  t  <->  n  <_  t ) )
1110ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  n  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  n  <_  t ) )
1211imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  n  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  n  <_  t ) ) )
13 ssel 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( t  e.  S  ->  t  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
14 eluzle 11118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  t )
1513, 14syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( t  e.  S  ->  M  <_ 
t ) )
1615ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  A. t  e.  S  M  <_  t )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  M  <_  t )
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  M  <_  t ) )
19 uzssz 11125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
20 sstr 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )  ->  S  C_  ZZ )
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  ZZ )
22 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  m  e.  ZZ )
23 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  t  <->  m  <_  t ) )
2423ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  m  ->  ( A. t  e.  S  j  <_  t  <->  A. t  e.  S  m  <_  t ) )
2524rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  S  /\  A. t  e.  S  m  <_  t )  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )
2625expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  ( m  e.  S  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t ) )
2726con3rr3 136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  -.  m  e.  S )
)
28 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )  ->  t  e.  ZZ )
29 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
30 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( t  e.  ZZ  ->  t  e.  RR )
31 letri3 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( m  =  t  <-> 
( m  <_  t  /\  t  <_  m ) ) )
3229, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( m  =  t  <-> 
( m  <_  t  /\  t  <_  m ) ) )
33 zleltp1 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( t  <_  m  <->  t  <  ( m  + 
1 ) ) )
34 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
36 ltnle 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  e.  RR )  ->  ( t  < 
( m  +  1 )  <->  -.  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
3730, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( t  <  (
m  +  1 )  <->  -.  ( m  +  1 )  <_  t )
)
3833, 37bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( t  <_  m  <->  -.  ( m  +  1 )  <_  t )
)
3938ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( t  <_  m  <->  -.  ( m  +  1 )  <_  t )
)
4039anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( m  <_ 
t  /\  t  <_  m )  <->  ( m  <_ 
t  /\  -.  (
m  +  1 )  <_  t ) ) )
4132, 40bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( m  =  t  <-> 
( m  <_  t  /\  -.  ( m  + 
1 )  <_  t
) ) )
4228, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  =  t  <->  ( m  <_ 
t  /\  -.  (
m  +  1 )  <_  t ) ) )
43 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  S  ->  (
m  =  t  ->  m  e.  S )
)
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  =  t  ->  m  e.  S ) )
4542, 44sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( (
m  <_  t  /\  -.  ( m  +  1 )  <_  t )  ->  m  e.  S ) )
4645expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  <_  t  ->  ( -.  ( m  +  1
)  <_  t  ->  m  e.  S ) ) )
47 con1 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  ( m  + 
1 )  <_  t  ->  m  e.  S )  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
4846, 47syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  <_  t  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( m  +  1 )  <_  t ) ) )
4948com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_  t ) ) )
5049exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( S  C_  ZZ  ->  (
t  e.  S  -> 
( -.  m  e.  S  ->  ( m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) ) ) )
5150com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( S  C_  ZZ  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( t  e.  S  ->  ( m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_  t )
) ) ) )
5251imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  m  e.  S )  /\  t  e.  S )  ->  (
m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_  t ) )
5352ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  m  e.  S
)  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
5453ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  -> 
( -.  m  e.  S  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
5527, 54sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
5655pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
5756expl 618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( S  C_  ZZ  /\ 
-.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  -> 
( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1
)  <_  t )
) )
5822, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
5921, 58sylani 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
6059a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  m  <_  t )  -> 
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
613, 6, 9, 12, 18, 60uzind4 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  n  <_  t ) )
62 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  n  ->  (
j  <_  t  <->  n  <_  t ) )
6362ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  n  ->  ( A. t  e.  S  j  <_  t  <->  A. t  e.  S  n  <_  t ) )
6463rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  S  /\  A. t  e.  S  n  <_  t )  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )
6564expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  S  n  <_  t  ->  ( n  e.  S  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t ) )
6665con3rr3 136 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  ( A. t  e.  S  n  <_  t  ->  -.  n  e.  S )
)
6766adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  ( A. t  e.  S  n  <_  t  ->  -.  n  e.  S )
)
6861, 67sylcom 29 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  -.  n  e.  S ) )
69 ssel 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  e.  S  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
7069con3rr3 136 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  n  e.  S ) )
7170adantrd 468 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  -.  n  e.  S
) )
7268, 71pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  -.  n  e.  S )
7372ex 434 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  -.  n  e.  S ) )
7473alrimdv 1722 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  A. n  -.  n  e.  S
) )
75 eq0 3809 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  <->  A. n  -.  n  e.  S )
7674, 75syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  S  =  (/) ) )
7776necon1ad 2673 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( S  =/=  (/)  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t ) )
7877imp 429 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )
79 breq2 4460 . . . 4  |-  ( t  =  k  ->  (
j  <_  t  <->  j  <_  k ) )
8079cbvralv 3084 . . 3  |-  ( A. t  e.  S  j  <_  t  <->  A. k  e.  S  j  <_  k )
8180rexbii 2959 . 2  |-  ( E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  <->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
8278, 81sylib 196 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  uzwo2  11171  nnwo  11172  infmssuzle  11189  infmssuzcl  11190
  Copyright terms: Public domain W3C validator