Theorem uzwo 7624

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of a set of upper integers has a least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo	|- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ S =/= (/)) -> E.j e. S A.k e. S j <_ k)

Distinct variable group:   j,k,S

Proof of Theorem uzwo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = M -> (h <_ t <-> M <_ t))
2	1	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . 11 |- (h = M -> (A.t e. S h <_ t <-> A.t e. S M <_ t))
3	2	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (h = M -> (((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S h <_ t) <-> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S M <_ t)))
4		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = m -> (h <_ t <-> m <_ t))
5	4	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . 11 |- (h = m -> (A.t e. S h <_ t <-> A.t e. S m <_ t))
6	5	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (h = m -> (((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S h <_ t) <-> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S m <_ t)))
7		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = (m + 1) -> (h <_ t <-> (m + 1) <_ t))
8	7	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . 11 |- (h = (m + 1) -> (A.t e. S h <_ t <-> A.t e. S (m + 1) <_ t))
9	8	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (h = (m + 1) -> (((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S h <_ t) <-> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
10		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = n -> (h <_ t <-> n <_ t))
11	10	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . 11 |- (h = n -> (A.t e. S h <_ t <-> A.t e. S n <_ t))
12	11	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (h = n -> (((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S h <_ t) <-> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S n <_ t)))
13		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (t e. S -> t e. (ZZ>=` M)))
14		eluzle 7594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. (ZZ>=` M) -> M <_ t)
15	13, 14	syl6 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (t e. S -> M <_ t))
16	15	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . . . . 12 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> A.t e. S M <_ t)
17	16	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S M <_ t)
18	17	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S M <_ t))
19		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. (ZZ>=` M) -> m e. ZZ)
20		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (j = m -> (j <_ t <-> m <_ t))
21	20	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (j = m -> (A.t e. S j <_ t <-> A.t e. S m <_ t))
22	21	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m e. S /\ A.t e. S m <_ t) -> E.j e. S A.t e. S j <_ t)
23	22	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.t e. S m <_ t -> (m e. S -> E.j e. S A.t e. S j <_ t))
24	23	con3d 111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.t e. S m <_ t -> (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> -. m e. S))
25	24	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> (A.t e. S m <_ t -> -. m e. S))
26		letri3 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((m e. RR /\ t e. RR) -> (m = t <-> (m <_ t /\ t <_ m)))
27		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (m e. ZZ -> m e. RR)
28		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (t e. ZZ -> t e. RR)
29	26, 27, 28	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((m e. ZZ /\ t e. ZZ) -> (m = t <-> (m <_ t /\ t <_ m)))
30		zleltp1 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((t e. ZZ /\ m e. ZZ) -> (t <_ m <-> t < (m + 1)))
31		ltnle 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((t e. RR /\ (m + 1) e. RR) -> (t < (m + 1) <-> -. (m + 1) <_ t))
32		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (m e. RR -> (m + 1) e. RR)
33	27, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (m e. ZZ -> (m + 1) e. RR)
34	31, 28, 33	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((t e. ZZ /\ m e. ZZ) -> (t < (m + 1) <-> -. (m + 1) <_ t))
35	30, 34	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((t e. ZZ /\ m e. ZZ) -> (t <_ m <-> -. (m + 1) <_ t))
36	35	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((m e. ZZ /\ t e. ZZ) -> (t <_ m <-> -. (m + 1) <_ t))
37	36	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((m e. ZZ /\ t e. ZZ) -> ((m <_ t /\ t <_ m) <-> (m <_ t /\ -. (m + 1) <_ t)))
38	29, 37	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((m e. ZZ /\ t e. ZZ) -> (m = t <-> (m <_ t /\ -. (m + 1) <_ t)))
39		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((S C_ ZZ /\ t e. S) -> t e. ZZ)
40	38, 39	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((m e. ZZ /\ (S C_ ZZ /\ t e. S)) -> (m = t <-> (m <_ t /\ -. (m + 1) <_ t)))
41		eleq1a 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (t e. S -> (m = t -> m e. S))
42	41	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((m e. ZZ /\ (S C_ ZZ /\ t e. S)) -> (m = t -> m e. S))
43	40, 42	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((m e. ZZ /\ (S C_ ZZ /\ t e. S)) -> ((m <_ t /\ -. (m + 1) <_ t) -> m e. S))
44	43	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((m e. ZZ /\ (S C_ ZZ /\ t e. S)) -> (m <_ t -> (-. (m + 1) <_ t -> m e. S)))
45		con1 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((-. (m + 1) <_ t -> m e. S) -> (-. m e. S -> (m + 1) <_ t))
46	44, 45	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((m e. ZZ /\ (S C_ ZZ /\ t e. S)) -> (m <_ t -> (-. m e. S -> (m + 1) <_ t)))
47	46	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((m e. ZZ /\ (S C_ ZZ /\ t e. S)) -> (-. m e. S -> (m <_ t -> (m + 1) <_ t)))
48	47	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. ZZ -> (S C_ ZZ -> (t e. S -> (-. m e. S -> (m <_ t -> (m + 1) <_ t)))))
49	48	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m e. ZZ -> (S C_ ZZ -> (-. m e. S -> (t e. S -> (m <_ t -> (m + 1) <_ t)))))
50	49	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((m e. ZZ /\ S C_ ZZ) /\ -. m e. S) /\ t e. S) -> (m <_ t -> (m + 1) <_ t))
51	50	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((m e. ZZ /\ S C_ ZZ) /\ -. m e. S) -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t))
52	51	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. ZZ /\ S C_ ZZ) -> (-. m e. S -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
53	25, 52	sylan9r 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. ZZ /\ S C_ ZZ) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> (A.t e. S m <_ t -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
54	53	pm2.43d 79	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. ZZ /\ S C_ ZZ) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t))
55	54	expl 420	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. ZZ -> ((S C_ ZZ /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
56	19, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. (ZZ>=` M) -> ((S C_ ZZ /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
57		uzssz 7599	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
58		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ (ZZ>=` M) C_ ZZ) -> S C_ ZZ)
59	57, 58	mpan2 760	. . . . . . . . . . . 12 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> S C_ ZZ)
60	56, 59	sylani 513	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. (ZZ>=` M) -> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> (A.t e. S m <_ t -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
61	60	a2d 16	. . . . . . . . . 10 |- (m e. (ZZ>=` M) -> (((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S m <_ t) -> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S (m + 1) <_ t)))
62	3, 6, 9, 12, 18, 61	uzind4 7619	. . . . . . . . 9 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> A.t e. S n <_ t))
63		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j = n -> (j <_ t <-> n <_ t))
64	63	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j = n -> (A.t e. S j <_ t <-> A.t e. S n <_ t))
65	64	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. S /\ A.t e. S n <_ t) -> E.j e. S A.t e. S j <_ t)
66	65	expcom 403	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.t e. S n <_ t -> (n e. S -> E.j e. S A.t e. S j <_ t))
67	66	con3d 111	. . . . . . . . . . 11 |- (A.t e. S n <_ t -> (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> -. n e. S))
68	67	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> (A.t e. S n <_ t -> -. n e. S))
69	68	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> (A.t e. S n <_ t -> -. n e. S))
70	62, 69	sylcom 62	. . . . . . . 8 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> -. n e. S))
71		ssel 2615	. . . . . . . . . . 11 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (n e. S -> n e. (ZZ>=` M)))
72	71	con3d 111	. . . . . . . . . 10 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (-. n e. (ZZ>=` M) -> -. n e. S))
73	72	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (-. n e. (ZZ>=` M) -> (S C_ (ZZ>=` M) -> -. n e. S))
74	73	adantrd 427	. . . . . . . 8 |- (-. n e. (ZZ>=` M) -> ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> -. n e. S))
75	70, 74	pm2.61i 140	. . . . . . 7 |- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ -. E.j e. S A.t e. S j <_ t) -> -. n e. S)
76	75	ex 402	. . . . . 6 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> -. n e. S))
77	76	19.21adv 1666	. . . . 5 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> A.n -. n e. S))
78		eq0 2889	. . . . 5 |- (S = (/) <-> A.n -. n e. S)
79	77, 78	syl6ibr 230	. . . 4 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (-. E.j e. S A.t e. S j <_ t -> S = (/)))
80	79	necon1ad 2079	. . 3 |- (S C_ (ZZ>=` M) -> (S =/= (/) -> E.j e. S A.t e. S j <_ t))
81	80	imp 377	. 2 |- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ S =/= (/)) -> E.j e. S A.t e. S j <_ t)
82		breq2 3342	. . . 4 |- (t = k -> (j <_ t <-> j <_ k))
83	82	cbvralv 2280	. . 3 |- (A.t e. S j <_ t <-> A.k e. S j <_ k)
84	83	rexbii 2128	. 2 |- (E.j e. S A.t e. S j <_ t <-> E.j e. S A.k e. S j <_ k)
85	81, 84	sylib 215	1 |- ((S C_ (ZZ>=` M) /\ S =/= (/)) -> E.j e. S A.k e. S j <_ k)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  uzwo2 7626  infmssuzle 7634  infmssuzleOLD 7635

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587

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