Theorem uzwo 10495

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of a set of upper integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Distinct variable group:   j, k, S

Allowed substitution hints:   M( j, k)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables t h n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = M -> ( h <_ t <-> M <_ t ) )
2	1	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = M -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S M <_ t ) )
3	2	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( h = M -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) ) )
4		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = m -> ( h <_ t <-> m <_ t ) )
5	4	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = m -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
6	5	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( h = m -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) ) )
7		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( h <_ t <-> ( m + 1 ) <_ t ) )
8	7	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
9	8	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( m + 1 ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
10		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h <_ t <-> n <_ t ) )
11	10	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = n -> ( A. t e. S h <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
12	11	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( h = n -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S h <_ t ) <-> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) ) )
13		ssel 3302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> t e. ( ZZ>= ` M ) ) )
14		eluzle 10454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ t )
15	13, 14	syl6 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( t e. S -> M <_ t ) )
16	15	ralrimiv 2748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> A. t e. S M <_ t )
17	16	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S M <_ t ) )
19		uzssz 10461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
20		sstr 3316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ ) -> S C_ ZZ )
21	19, 20	mpan2 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ ZZ )
22		eluzelz 10452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> m e. ZZ )
23		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = m -> ( j <_ t <-> m <_ t ) )
24	23	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = m -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S m <_ t ) )
25	24	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. S /\ A. t e. S m <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
26	25	expcom 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. t e. S m <_ t -> ( m e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
27	26	con3rr3 130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> -. m e. S ) )
28		ssel2 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ ZZ /\ t e. S ) -> t e. ZZ )
29		zre 10242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
30		zre 10242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( t e. ZZ -> t e. RR )
31		letri3 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. RR /\ t e. RR ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ t <_ m ) ) )
33		zleltp1 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> t < ( m + 1 ) ) )
34		peano2re 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
35	29, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m + 1 ) e. RR )
36		ltnle 9111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t e. RR /\ ( m + 1 ) e. RR ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
37	30, 35, 36	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t < ( m + 1 ) <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
38	33, 37	bitrd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( t e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
39	38	ancoms 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( t <_ m <-> -. ( m + 1 ) <_ t ) )
40	39	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( m <_ t /\ t <_ m ) <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
41	32, 40	bitrd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
42	28, 41	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t <-> ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) ) )
43		eleq1a 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. S -> ( m = t -> m e. S ) )
44	43	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m = t -> m e. S ) )
45	42, 44	sylbird 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( ( m <_ t /\ -. ( m + 1 ) <_ t ) -> m e. S ) )
46	45	exp3a 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) ) )
47		con1 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. ( m + 1 ) <_ t -> m e. S ) -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) )
48	46, 47	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( m <_ t -> ( -. m e. S -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
49	48	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. ZZ /\ ( S C_ ZZ /\ t e. S ) ) -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) )
50	49	exp32 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( t e. S -> ( -. m e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
51	50	com34 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ZZ -> ( S C_ ZZ -> ( -. m e. S -> ( t e. S -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) ) ) ) )
52	51	imp41 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) /\ t e. S ) -> ( m <_ t -> ( m + 1 ) <_ t ) )
53	52	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. m e. S ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
54	53	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) -> ( -. m e. S -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
55	27, 54	sylan9r 640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
56	55	pm2.43d 46	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ S C_ ZZ ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) )
57	56	expl 602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
58	22, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ZZ /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
59	21, 58	sylani 636	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S m <_ t -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
60	59	a2d 24	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S m <_ t ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S ( m + 1 ) <_ t ) ) )
61	3, 6, 9, 12, 18, 60	uzind4 10490	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> A. t e. S n <_ t ) )
62		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = n -> ( j <_ t <-> n <_ t ) )
63	62	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = n -> ( A. t e. S j <_ t <-> A. t e. S n <_ t ) )
64	63	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. S /\ A. t e. S n <_ t ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
65	64	expcom 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. S n <_ t -> ( n e. S -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
66	65	con3rr3 130	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
67	66	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> ( A. t e. S n <_ t -> -. n e. S ) )
68	61, 67	sylcom 27	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
69		ssel 3302	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( n e. S -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
70	69	con3rr3 130	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> -. n e. S ) )
71	70	adantrd 455	. . . . . . . 8 |- ( -. n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S ) )
72	68, 71	pm2.61i 158	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ -. E. j e. S A. t e. S j <_ t ) -> -. n e. S )
73	72	ex 424	. . . . . 6 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> -. n e. S ) )
74	73	alrimdv 1640	. . . . 5 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> A. n -. n e. S ) )
75		eq0 3602	. . . . 5 |- ( S = (/) <-> A. n -. n e. S )
76	74, 75	syl6ibr 219	. . . 4 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( -. E. j e. S A. t e. S j <_ t -> S = (/) ) )
77	76	necon1ad 2634	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> ( S =/= (/) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t ) )
78	77	imp 419	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. t e. S j <_ t )
79		breq2 4176	. . . 4 |- ( t = k -> ( j <_ t <-> j <_ k ) )
80	79	cbvralv 2892	. . 3 |- ( A. t e. S j <_ t <-> A. k e. S j <_ k )
81	80	rexbii 2691	. 2 |- ( E. j e. S A. t e. S j <_ t <-> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
82	78, 81	sylib 189	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   < clt 9076   <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444

This theorem is referenced by:  uzwo2  10497  nnwo  10498  infmssuzle  10514  infmssuzcl  10515

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445