MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn2 Structured version   Unicode version

Theorem uztrn2 10865
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
Assertion
Ref Expression
uztrn2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
21eleq2i 2497 . . 3  |-  ( N  e.  Z  <->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 uztrn 10864 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
43ancoms 450 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
52, 4sylanb 469 . 2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65, 1syl6eleqr 2524 1  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406   ZZ>=cuz 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849
This theorem is referenced by:  eluznn0  10911  eluznn  10912  elfzuz2  11442  rexuz3  12819  r19.29uz  12821  r19.2uz  12822  clim2  12965  clim2c  12966  clim0c  12968  rlimclim1  13006  2clim  13033  climabs0  13046  climcn1  13052  climcn2  13053  climsqz  13101  climsqz2  13102  clim2ser  13115  clim2ser2  13116  climub  13122  climsup  13130  caurcvg2  13138  serf0  13141  iseraltlem1  13142  iseralt  13145  cvgcmp  13261  cvgcmpce  13263  isumsup2  13291  mertenslem1  13326  lmbrf  18705  lmss  18743  lmres  18745  txlm  19062  uzrest  19311  lmmcvg  20613  lmmbrf  20614  iscau4  20631  iscauf  20632  caucfil  20635  iscmet3lem3  20642  iscmet3lem1  20643  lmle  20653  lmclim  20654  mbflimsup  20985  ulm2  21734  ulmcaulem  21743  ulmcau  21744  ulmss  21746  ulmdvlem1  21749  ulmdvlem3  21751  mtest  21753  itgulm  21757  logfaclbnd  22445  bposlem6  22512  lgamgulmlem4  26865  lgamcvg2  26888  sinccvglem  27163  clim2div  27250  ntrivcvgfvn0  27260  ntrivcvgmullem  27262  fprodeq0  27332  lmclim2  28495  geomcau  28496  caures  28497  caushft  28498  heibor1lem  28549  rrncmslem  28572  climinf  29622  stirlinglem12  29723
  Copyright terms: Public domain W3C validator