MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn2 Structured version   Unicode version

Theorem uztrn2 11095
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
Assertion
Ref Expression
uztrn2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
21eleq2i 2545 . . 3  |-  ( N  e.  Z  <->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 uztrn 11094 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
43ancoms 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
52, 4sylanb 472 . 2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65, 1syl6eleqr 2566 1  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  eluznn0  11147  eluznn  11148  elfzuz2  11687  rexuz3  13140  r19.29uz  13142  r19.2uz  13143  clim2  13286  clim2c  13287  clim0c  13289  rlimclim1  13327  2clim  13354  climabs0  13367  climcn1  13373  climcn2  13374  climsqz  13422  climsqz2  13423  clim2ser  13436  clim2ser2  13437  climub  13443  climsup  13451  caurcvg2  13459  serf0  13462  iseraltlem1  13463  iseralt  13466  cvgcmp  13589  cvgcmpce  13591  isumsup2  13617  mertenslem1  13652  lmbrf  19527  lmss  19565  lmres  19567  txlm  19884  uzrest  20133  lmmcvg  21435  lmmbrf  21436  iscau4  21453  iscauf  21454  caucfil  21457  iscmet3lem3  21464  iscmet3lem1  21465  lmle  21475  lmclim  21476  mbflimsup  21808  ulm2  22514  ulmcaulem  22523  ulmcau  22524  ulmss  22526  ulmdvlem1  22529  ulmdvlem3  22531  mtest  22533  itgulm  22537  logfaclbnd  23225  bposlem6  23292  lgamgulmlem4  28214  lgamcvg2  28237  sinccvglem  28513  clim2div  28600  ntrivcvgfvn0  28610  ntrivcvgmullem  28612  fprodeq0  28682  lmclim2  29854  geomcau  29855  caures  29856  caushft  29857  heibor1lem  29908  rrncmslem  29931  climinf  31148  clim2f  31178  clim2cf  31192  clim0cf  31196  stirlinglem12  31385  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511
  Copyright terms: Public domain W3C validator