MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn2 Unicode version

Theorem uztrn2 10459
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
Assertion
Ref Expression
uztrn2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
21eleq2i 2468 . . 3  |-  ( N  e.  Z  <->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 uztrn 10458 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
43ancoms 440 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
52, 4sylanb 459 . 2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65, 1syl6eleqr 2495 1  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  eluznn0  10502  elfzuz2  11018  elfzo1  11128  expmulnbnd  11466  bcval5  11564  rexuz3  12107  r19.29uz  12109  r19.2uz  12110  clim2  12253  clim2c  12254  clim0c  12256  rlimclim1  12294  2clim  12321  climabs0  12334  climcn1  12340  climcn2  12341  climsqz  12389  climsqz2  12390  clim2ser  12403  clim2ser2  12404  climub  12410  isercolllem1  12413  isercoll  12416  climsup  12418  caurcvg2  12426  serf0  12429  iseraltlem1  12430  iseralt  12433  o1fsum  12547  cvgcmp  12550  cvgcmpce  12552  isumsup2  12581  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  climcnds  12586  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  rpnnen2lem6  12774  rpnnen2lem7  12775  rpnnen2lem9  12777  rpnnen2lem11  12779  pcmpt2  13217  pcmptdvds  13218  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  prmreclem6  13244  vdwnnlem2  13319  2expltfac  13381  lmbrf  17278  lmss  17316  lmres  17318  1stcelcls  17477  txlm  17633  uzrest  17882  lmmcvg  19167  lmmbrf  19168  lmnn  19169  iscau4  19185  iscauf  19186  caucfil  19189  cmetcaulem  19194  iscmet3lem3  19196  iscmet3lem1  19197  causs  19204  lmle  19207  lmclim  19208  caubl  19213  caublcls  19214  ovolunlem1a  19345  volsuplem  19402  uniioombllem3  19430  mbflimsup  19511  mbfi1fseqlem6  19565  ulm2  20254  ulmcaulem  20263  ulmcau  20264  ulmss  20266  ulmdvlem1  20269  ulmdvlem3  20271  mtest  20273  itgulm  20277  birthdaylem2  20744  chtub  20949  logfaclbnd  20959  bclbnd  21017  bposlem3  21023  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem6  21026  lgsdilem2  21068  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  dchrisumlema  21135  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  pntrsumbnd2  21214  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemh  21246  pntlemq  21248  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  h2hcau  22435  h2hlm  22436  chscllem2  23093  lgamgulmlem4  24769  lgamcvg2  24792  sinccvglem  25062  clim2div  25170  ntrivcvgfvn0  25180  ntrivcvgmullem  25182  fprodeq0  25252  lmclim2  26354  geomcau  26355  caures  26356  caushft  26357  heibor1lem  26408  rrncmslem  26431  climinf  27599  stirlinglem12  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator