MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn2 Structured version   Unicode version

Theorem uztrn2 11165
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
Assertion
Ref Expression
uztrn2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
21eleq2i 2498 . . 3  |-  ( N  e.  Z  <->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 uztrn 11164 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
43ancoms 454 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
52, 4sylanb 474 . 2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65, 1syl6eleqr 2519 1  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592   ZZ>=cuz 11148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-neg 9852  df-z 10927  df-uz 11149
This theorem is referenced by:  eluznn0  11217  eluznn  11218  elfzuz2  11791  rexuz3  13379  r19.29uz  13381  r19.2uz  13382  clim2  13535  clim2c  13536  clim0c  13538  rlimclim1  13576  2clim  13603  climabs0  13616  climcn1  13622  climcn2  13623  climsqz  13671  climsqz2  13672  clim2ser  13685  clim2ser2  13686  climub  13692  climsup  13700  caurcvg2  13711  serf0  13714  iseraltlem1  13715  iseralt  13718  cvgcmp  13843  cvgcmpce  13845  isumsup2  13871  mertenslem1  13907  clim2div  13912  ntrivcvgfvn0  13922  ntrivcvgmullem  13924  fprodeq0  13996  lmbrf  20200  lmss  20238  lmres  20240  txlm  20587  uzrest  20836  lmmcvg  22117  lmmbrf  22118  iscau4  22135  iscauf  22136  caucfil  22139  iscmet3lem3  22146  iscmet3lem1  22147  lmle  22157  lmclim  22158  mbflimsup  22497  mbflimsupOLD  22498  ulm2  23202  ulmcaulem  23211  ulmcau  23212  ulmss  23214  ulmdvlem1  23217  ulmdvlem3  23219  mtest  23221  itgulm  23225  logfaclbnd  24010  bposlem6  24077  caures  31793  caushft  31794  dvgrat  36302  cvgdvgrat  36303  climinf  37260  climinfOLD  37261  clim2f  37292  clim2cf  37307  clim0cf  37311
  Copyright terms: Public domain W3C validator