MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn2 Structured version   Unicode version

Theorem uztrn2 11109
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
Assertion
Ref Expression
uztrn2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  K )
21eleq2i 2521 . . 3  |-  ( N  e.  Z  <->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 uztrn 11108 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
43ancoms 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K )
)
52, 4sylanb 472 . 2  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65, 1syl6eleqr 2542 1  |-  ( ( N  e.  Z  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578   ZZ>=cuz 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10872  df-uz 11093
This theorem is referenced by:  eluznn0  11162  eluznn  11163  elfzuz2  11702  rexuz3  13163  r19.29uz  13165  r19.2uz  13166  clim2  13309  clim2c  13310  clim0c  13312  rlimclim1  13350  2clim  13377  climabs0  13390  climcn1  13396  climcn2  13397  climsqz  13445  climsqz2  13446  clim2ser  13459  clim2ser2  13460  climub  13466  climsup  13474  caurcvg2  13482  serf0  13485  iseraltlem1  13486  iseralt  13489  cvgcmp  13612  cvgcmpce  13614  isumsup2  13640  mertenslem1  13675  clim2div  13680  ntrivcvgfvn0  13690  ntrivcvgmullem  13692  fprodeq0  13761  lmbrf  19739  lmss  19777  lmres  19779  txlm  20127  uzrest  20376  lmmcvg  21678  lmmbrf  21679  iscau4  21696  iscauf  21697  caucfil  21700  iscmet3lem3  21707  iscmet3lem1  21708  lmle  21718  lmclim  21719  mbflimsup  22051  ulm2  22758  ulmcaulem  22767  ulmcau  22768  ulmss  22770  ulmdvlem1  22773  ulmdvlem3  22775  mtest  22777  itgulm  22781  logfaclbnd  23475  bposlem6  23542  caures  30229  caushft  30230  dvgrat  31169  cvgdvgrat  31170  climinf  31566  clim2f  31596  clim2cf  31610  clim0cf  31614
  Copyright terms: Public domain W3C validator