MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Unicode version

Theorem uztrn 11061
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11050 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 464 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 11054 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ZZ )
5 eluzle 11057 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
65adantl 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  K )
7 eluzle 11057 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  M )
87adantr 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  <_  M )
9 eluzelz 11054 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  K  e.  ZZ )
109adantl 464 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  e.  ZZ )
11 zletr 10869 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
122, 10, 4, 11syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M ) )
136, 8, 12mp2and 677 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  M )
14 eluz2 11051 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  <_  M ) )
152, 4, 13, 14syl3anbrc 1181 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525    <_ cle 9579   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-neg 9764  df-z 10826  df-uz 11046
This theorem is referenced by:  uztrn2  11062  fzsplit2  11681  fzass4  11693  fzss1  11694  fzss2  11695  uzsplit  11722  seqfveq2  12083  sermono  12093  seqsplit  12094  seqid2  12107  fzsdom2  12442  seqcoll  12468  spllen  12693  splfv2a  12695  splval2  12696  climcndslem1  13719  mertenslem1  13752  ntrivcvgfvn0  13767  zprod  13803  dvdsfac  14142  smupvallem  14234  vdwlem2  14601  vdwlem6  14605  efgredleme  16977  bposlem6  23837  dchrisumlem2  23948  axlowdimlem16  24558  fzsplit3  27927  sseqf  28717  ballotlemsima  28840  ballotlemfrc  28851  climuzcnv  29770  seqpo  31503  incsequz2  31505  mettrifi  31513  monotuz  35219
  Copyright terms: Public domain W3C validator