MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Unicode version

Theorem uztrn 10983
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10972 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 10976 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ZZ )
5 eluzle 10979 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  K )
7 eluzle 10979 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  M )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  <_  M )
9 eluzelz 10976 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  K  e.  ZZ )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  e.  ZZ )
11 zre 10756 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
12 zre 10756 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
13 zre 10756 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 letr 9574 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
1511, 12, 13, 14syl3an 1261 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
162, 10, 4, 15syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M ) )
176, 8, 16mp2and 679 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  M )
18 eluz2 10973 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  <_  M ) )
192, 4, 17, 18syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4395   ` cfv 5521   RRcr 9387    <_ cle 9525   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-neg 9704  df-z 10753  df-uz 10968
This theorem is referenced by:  uztrn2  10984  fzsplit2  11586  fzass4  11608  fzss1  11609  fzss2  11610  uzsplit  11642  seqfveq2  11940  sermono  11950  seqsplit  11951  seqid2  11964  fzsdom2  12302  seqcoll  12329  spllen  12509  splfv2a  12511  splval2  12512  climcndslem1  13425  mertenslem1  13457  dvdsfac  13701  smupvallem  13792  isprm3  13885  vdwlem2  14156  vdwlem6  14160  efgredleme  16356  bposlem6  22756  dchrisumlem2  22867  axlowdimlem16  23350  axlowdimlem17  23351  fzsplit3  26218  sseqf  26914  ballotlemsima  27037  ballotlemfrc  27048  climuzcnv  27455  ntrivcvgfvn0  27553  zprod  27589  seqpo  28786  incsequz2  28788  mettrifi  28796  monotuz  29425
  Copyright terms: Public domain W3C validator