MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Unicode version

Theorem uztrn 11094
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11083 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 11087 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ZZ )
5 eluzle 11090 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  K )
7 eluzle 11090 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  M )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  <_  M )
9 eluzelz 11087 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  K  e.  ZZ )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  e.  ZZ )
11 zre 10864 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
12 zre 10864 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
13 zre 10864 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 letr 9674 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
1511, 12, 13, 14syl3an 1270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
162, 10, 4, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M ) )
176, 8, 16mp2and 679 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  M )
18 eluz2 11084 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  <_  M ) )
192, 4, 17, 18syl3anbrc 1180 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   RRcr 9487    <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  uztrn2  11095  fzsplit2  11706  fzass4  11717  fzss1  11718  fzss2  11719  uzsplit  11746  seqfveq2  12092  sermono  12102  seqsplit  12103  seqid2  12116  fzsdom2  12445  seqcoll  12472  spllen  12687  splfv2a  12689  splval2  12690  climcndslem1  13617  mertenslem1  13649  dvdsfac  13893  smupvallem  13985  isprm3  14078  vdwlem2  14352  vdwlem6  14356  efgredleme  16554  bposlem6  23289  dchrisumlem2  23400  axlowdimlem16  23933  axlowdimlem17  23934  fzsplit3  27264  sseqf  27968  ballotlemsima  28091  ballotlemfrc  28102  climuzcnv  28509  ntrivcvgfvn0  28607  zprod  28643  seqpo  29841  incsequz2  29843  mettrifi  29851  monotuz  30479
  Copyright terms: Public domain W3C validator