MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Unicode version

Theorem uztrn 10864
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10853 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
21adantl 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzelz 10857 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 462 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ZZ )
5 eluzle 10860 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
65adantl 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  K )
7 eluzle 10860 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  M )
87adantr 462 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  <_  M )
9 eluzelz 10857 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  K  e.  ZZ )
109adantl 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  K  e.  ZZ )
11 zre 10637 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
12 zre 10637 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
13 zre 10637 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 letr 9455 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
1511, 12, 13, 14syl3an 1253 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
162, 10, 4, 15syl3anc 1211 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( N  <_  K  /\  K  <_  M )  ->  N  <_  M ) )
176, 8, 16mp2and 672 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  M )
18 eluz2 10854 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  <_  M ) )
192, 4, 17, 18syl3anbrc 1165 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   RRcr 9268    <_ cle 9406   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849
This theorem is referenced by:  uztrn2  10865  fzsplit2  11460  fzass4  11482  fzss1  11483  fzss2  11484  uzsplit  11513  seqfveq2  11811  sermono  11821  seqsplit  11822  seqid2  11835  fzsdom2  12172  seqcoll  12199  spllen  12379  splfv2a  12381  splval2  12382  climcndslem1  13294  mertenslem1  13326  dvdsfac  13570  smupvallem  13661  isprm3  13754  vdwlem2  14025  vdwlem6  14029  efgredleme  16219  bposlem6  22512  dchrisumlem2  22623  axlowdimlem16  23025  axlowdimlem17  23026  fzsplit3  25900  sseqf  26622  ballotlemsima  26745  ballotlemfrc  26756  climuzcnv  27162  ntrivcvgfvn0  27260  zprod  27296  seqpo  28484  incsequz2  28486  mettrifi  28494  monotuz  29124
  Copyright terms: Public domain W3C validator