MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztric Structured version   Unicode version

Theorem uztric 11103
Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
uztric  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )

Proof of Theorem uztric
StepHypRef Expression
1 zre 10864 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10864 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 letric 9674 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
41, 2, 3syl2an 475 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
5 eluz 11095 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
6 eluz 11095 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  M ) )
76ancoms 451 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  M ) )
85, 7orbi12d 707 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  <-> 
( M  <_  N  \/  N  <_  M ) ) )
94, 8mpbird 232 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   RRcr 9480    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  uzin  11114  caubnd  13273  isercoll  13572  sumrb  13617  prodrb  13821  smupvallem  14217  prmreclem5  14522  efgredlemb  16963  1stckgenlem  20220  caucfil  21888  bcmax  23751
  Copyright terms: Public domain W3C validator