MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztric Structured version   Unicode version

Theorem uztric 10992
Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
uztric  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )

Proof of Theorem uztric
StepHypRef Expression
1 zre 10760 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10760 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 letric 9585 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
5 eluz 10984 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
6 eluz 10984 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  M ) )
76ancoms 453 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  M ) )
85, 7orbi12d 709 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  <-> 
( M  <_  N  \/  N  <_  M ) ) )
94, 8mpbird 232 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   ` cfv 5525   RRcr 9391    <_ cle 9529   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-neg 9708  df-z 10757  df-uz 10972
This theorem is referenced by:  uzin  11003  caubnd  12963  isercoll  13262  sumrb  13307  smupvallem  13796  prmreclem5  14098  efgredlemb  16363  1stckgenlem  19257  caucfil  20925  bcmax  22749  prodrb  27588
  Copyright terms: Public domain W3C validator