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Theorem uzsupss 11256
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsupss  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, M, y    x, Z
Allowed substitution hints:    M( z)    Z( y, z)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 11173 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 uzsupss.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleqr 2528 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  Z )
6 ral0 3908 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  -.  M  < 
y
7 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
87raleqdv 3038 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  M  < 
y ) )
96, 8mpbiri 236 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A. y  e.  A  -.  M  <  y )
10 eluzle 11171 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  y )
11 eluzel2 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
12 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  y  e.  ZZ )
13 zre 10941 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 zre 10941 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
15 lenlt 9711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1613, 14, 15syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1711, 12, 16syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1810, 17mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  y  <  M )
1918, 4eleq2s 2537 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Z  ->  -.  y  <  M )
2019pm2.21d 109 . . . . 5  |-  ( y  e.  Z  ->  (
y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120rgen 2792 . . . 4  |-  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
23 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
x  <  y  <->  M  <  y ) )
2423notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  M  <  y ) )
2524ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  M  <  y ) )
26 breq2 4430 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
y  <  x  <->  y  <  M ) )
2726imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2827ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2925, 28anbi12d 715 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
3029rspcev 3188 . . 3  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
315, 9, 22, 30syl12anc 1262 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
32 simpl2 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  Z )
33 uzssz 11178 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
344, 33eqsstri 3500 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
3532, 34syl6ss 3482 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  ZZ )
36 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
37 simpl3 1010 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)
38 zsupss 11253 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
40 ssrexv 3532 . . 3  |-  ( A 
C_  Z  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4132, 39, 40sylc 62 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4231, 41pm2.61dane 2749 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   RRcr 9537    < clt 9674    <_ cle 9675   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160
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