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Theorem uzsupss 11186
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsupss  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, M, y    x, Z
Allowed substitution hints:    M( z)    Z( y, z)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 11108 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 uzsupss.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  Z )
6 ral0 3938 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  -.  M  < 
y
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
87raleqdv 3069 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  M  < 
y ) )
96, 8mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A. y  e.  A  -.  M  <  y )
10 eluzle 11106 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  y )
11 eluzel2 11099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
12 eluzelz 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  y  e.  ZZ )
13 zre 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 zre 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
15 lenlt 9675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1711, 12, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1810, 17mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  y  <  M )
1918, 4eleq2s 2575 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Z  ->  -.  y  <  M )
2019pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( y  e.  Z  ->  (
y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120rgen 2827 . . . 4  |-  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
23 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
x  <  y  <->  M  <  y ) )
2423notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  M  <  y ) )
2524ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  M  <  y ) )
26 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
y  <  x  <->  y  <  M ) )
2726imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2827ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2925, 28anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
3029rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
315, 9, 22, 30syl12anc 1226 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
32 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  Z )
33 uzssz 11113 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
344, 33eqsstri 3539 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
3532, 34syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  ZZ )
36 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
37 simpl3 1001 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)
38 zsupss 11183 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
40 ssrexv 3570 . . 3  |-  ( A 
C_  Z  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4132, 39, 40sylc 60 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4231, 41pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   RRcr 9503    < clt 9640    <_ cle 9641   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095
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