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Theorem uzsupss 11053
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsupss  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, M, y    x, Z
Allowed substitution hints:    M( z)    Z( y, z)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 10981 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 uzsupss.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleqr 2551 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  M  e.  Z )
6 ral0 3887 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  -.  M  < 
y
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
87raleqdv 3023 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  M  < 
y ) )
96, 8mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A. y  e.  A  -.  M  <  y )
10 eluzle 10979 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  y )
11 eluzel2 10972 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
12 eluzelz 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  y  e.  ZZ )
13 zre 10756 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 zre 10756 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
15 lenlt 9559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1711, 12, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <_  y  <->  -.  y  <  M ) )
1810, 17mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  y  <  M )
1918, 4eleq2s 2560 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Z  ->  -.  y  <  M )
2019pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( y  e.  Z  ->  (
y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120rgen 2893 . . . 4  |-  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
23 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
x  <  y  <->  M  <  y ) )
2423notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  M  <  y ) )
2524ralbidv 2843 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  M  <  y ) )
26 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
y  <  x  <->  y  <  M ) )
2726imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2827ralbidv 2843 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2925, 28anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
3029rspcev 3173 . . 3  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( A. y  e.  A  -.  M  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  M  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
315, 9, 22, 30syl12anc 1217 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =  (/) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
32 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  Z )
33 uzssz 10986 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
344, 33eqsstri 3489 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
3532, 34syl6ss 3471 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  C_  ZZ )
36 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
37 simpl3 993 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)
38 zsupss 11050 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
40 ssrexv 3520 . . 3  |-  ( A 
C_  Z  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4132, 39, 40sylc 60 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4231, 41pm2.61dane 2767 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  Z  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  Z  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  Z  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797    C_ wss 3431   (/)c0 3740   class class class wbr 4395   ` cfv 5521   RRcr 9387    < clt 9524    <_ cle 9525   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968
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