Theorem uzsup 11820

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzsup	|- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M e. ZZ )
2		flcl 11763	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
3	2	peano2zd 10862	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
4		id 22	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
5		ifcl 3940	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
7		zre 10762	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8		reflcl 11764	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
9		peano2re 9654	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
11		max1 11269	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
12	7, 10, 11	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
13		eluz2 10979	. . . . . 6 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1172	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
15		uzsup.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16	14, 15	syl6eleqr 2553	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z )
17		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x e. RR )
18	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
19	6	zred 10859	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. RR )
20		fllep1 11769	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
21	20	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
22		max2 11271	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
23	7, 10, 22	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 9640	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
25		breq2 4405	. . . . 5 |- ( n = if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) -> ( x <_ n <-> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
26	25	rspcev 3179	. . . 4 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z /\ x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) -> E. n e. Z x <_ n )
27	16, 24, 26	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> E. n e. Z x <_ n )
28	27	ralrimiva 2830	. 2 |- ( M e. ZZ -> A. x e. RR E. n e. Z x <_ n )
29		uzssz 10992	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
30	15, 29	eqsstri 3495	. . . . 5 |- Z C_ ZZ
31		zssre 10765	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
32	30, 31	sstri 3474	. . . 4 |- Z C_ RR
33		ressxr 9539	. . . 4 |- RR C_ RR*
34	32, 33	sstri 3474	. . 3 |- Z C_ RR*
35		supxrunb1 11394	. . 3 |- ( Z C_ RR* -> ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
37	28, 36	sylib 196	1 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   C_ wss 3437   ifcif 3900   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supcsup 7802   RRcr 9393   1c1 9395   + caddc 9397   +oocpnf 9527   RR*cxr 9529   < clt 9530   <_ cle 9531   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973   |_cfl 11758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fl 11760

This theorem is referenced by:  climrecl  13180  climge0  13181  caurcvg  13273  caucvg  13275  mbflimsup  21278