Theorem uzsup 12087

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzsup	|- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 458	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M e. ZZ )
2		flcl 12028	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
3	2	peano2zd 11043	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
4		id 23	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
5		ifcl 3957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 480	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
7		zre 10941	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8		reflcl 12029	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
9		peano2re 9805	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
11		max1 11480	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
12	7, 10, 11	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
13		eluz2 11165	. . . . . 6 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1189	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
15		uzsup.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16	14, 15	syl6eleqr 2528	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z )
17		simpr 462	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x e. RR )
18	10	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
19	6	zred 11040	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. RR )
20		fllep1 12034	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
21	20	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
22		max2 11482	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
23	7, 10, 22	syl2an 479	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 9791	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
25		breq2 4430	. . . . 5 |- ( n = if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) -> ( x <_ n <-> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
26	25	rspcev 3188	. . . 4 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z /\ x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) -> E. n e. Z x <_ n )
27	16, 24, 26	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> E. n e. Z x <_ n )
28	27	ralrimiva 2846	. 2 |- ( M e. ZZ -> A. x e. RR E. n e. Z x <_ n )
29		uzssz 11178	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
30	15, 29	eqsstri 3500	. . . . 5 |- Z C_ ZZ
31		zssre 10944	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
32	30, 31	sstri 3479	. . . 4 |- Z C_ RR
33		ressxr 9683	. . . 4 |- RR C_ RR*
34	32, 33	sstri 3479	. . 3 |- Z C_ RR*
35		supxrunb1 11605	. . 3 |- ( Z C_ RR* -> ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
37	28, 36	sylib 199	1 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   1c1 9539   + caddc 9541   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   |_cfl 12023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12025

This theorem is referenced by:  climrecl  13625  climge0  13626  caurcvg  13720  caurcvgOLD  13721  caucvg  13723  mbflimsup  22500  mbflimsupOLD  22501  ioodvbdlimc1lem2  37375  ioodvbdlimc2lem  37377