Theorem uzsup 11953

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzsup	|- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M e. ZZ )
2		flcl 11896	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
3	2	peano2zd 10965	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
4		id 22	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
5		ifcl 3981	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
7		zre 10864	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8		reflcl 11897	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
9		peano2re 9748	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
11		max1 11382	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
12	7, 10, 11	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
13		eluz2 11084	. . . . . 6 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1180	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
15		uzsup.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16	14, 15	syl6eleqr 2566	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z )
17		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x e. RR )
18	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
19	6	zred 10962	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. RR )
20		fllep1 11902	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
21	20	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
22		max2 11384	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
23	7, 10, 22	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 9734	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
25		breq2 4451	. . . . 5 |- ( n = if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) -> ( x <_ n <-> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
26	25	rspcev 3214	. . . 4 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z /\ x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) -> E. n e. Z x <_ n )
27	16, 24, 26	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> E. n e. Z x <_ n )
28	27	ralrimiva 2878	. 2 |- ( M e. ZZ -> A. x e. RR E. n e. Z x <_ n )
29		uzssz 11097	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
30	15, 29	eqsstri 3534	. . . . 5 |- Z C_ ZZ
31		zssre 10867	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
32	30, 31	sstri 3513	. . . 4 |- Z C_ RR
33		ressxr 9633	. . . 4 |- RR C_ RR*
34	32, 33	sstri 3513	. . 3 |- Z C_ RR*
35		supxrunb1 11507	. . 3 |- ( Z C_ RR* -> ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
37	28, 36	sylib 196	1 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   1c1 9489   + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   |_cfl 11891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fl 11893

This theorem is referenced by:  climrecl  13362  climge0  13363  caurcvg  13455  caucvg  13457  mbflimsup  21805  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264