MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Structured version   Unicode version

Theorem uzsup 11953
Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsup  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
2 flcl 11896 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
32peano2zd 10965 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
4 id 22 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
5 ifcl 3981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
7 zre 10864 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
8 reflcl 11897 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
9 peano2re 9748 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
11 max1 11382 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
127, 10, 11syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
13 eluz2 11084 . . . . . 6  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
) ) )
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
15 uzsup.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1614, 15syl6eleqr 2566 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
1810adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )
196zred 10962 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
20 fllep1 11902 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
22 max2 11384 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
237, 10, 22syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
2417, 18, 19, 21, 23letrd 9734 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
25 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( n  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( x  <_  n  <->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) ) )
2625rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2716, 24, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2827ralrimiva 2878 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n
)
29 uzssz 11097 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3015, 29eqsstri 3534 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
31 zssre 10867 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
3230, 31sstri 3513 . . . 4  |-  Z  C_  RR
33 ressxr 9633 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3513 . . 3  |-  Z  C_  RR*
35 supxrunb1 11507 . . 3  |-  ( Z 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3634, 35ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
3728, 36sylib 196 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   |_cfl 11891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fl 11893
This theorem is referenced by:  climrecl  13362  climge0  13363  caurcvg  13455  caucvg  13457  mbflimsup  21805  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264
  Copyright terms: Public domain W3C validator