MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Structured version   Unicode version

Theorem uzsup 12087
Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsup  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
2 flcl 12028 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
32peano2zd 11043 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
4 id 23 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
5 ifcl 3957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 480 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
7 zre 10941 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
8 reflcl 12029 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
9 peano2re 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
11 max1 11480 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
127, 10, 11syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
13 eluz2 11165 . . . . . 6  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
) ) )
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1189 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
15 uzsup.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1614, 15syl6eleqr 2528 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
17 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
1810adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )
196zred 11040 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
20 fllep1 12034 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2120adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
22 max2 11482 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
237, 10, 22syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
2417, 18, 19, 21, 23letrd 9791 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
25 breq2 4430 . . . . 5  |-  ( n  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( x  <_  n  <->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) ) )
2625rspcev 3188 . . . 4  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2716, 24, 26syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2827ralrimiva 2846 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n
)
29 uzssz 11178 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3015, 29eqsstri 3500 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
31 zssre 10944 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
3230, 31sstri 3479 . . . 4  |-  Z  C_  RR
33 ressxr 9683 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3479 . . 3  |-  Z  C_  RR*
35 supxrunb1 11605 . . 3  |-  ( Z 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3634, 35ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
3728, 36sylib 199 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   |_cfl 12023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12025
This theorem is referenced by:  climrecl  13625  climge0  13626  caurcvg  13720  caurcvgOLD  13721  caucvg  13723  mbflimsup  22500  mbflimsupOLD  22501  ioodvbdlimc1lem2  37375  ioodvbdlimc2lem  37377
  Copyright terms: Public domain W3C validator