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Theorem uzsubsubfz 11719
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 11100 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )
2 eluz2 11100 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
76adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
85, 7zsubcld 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ZZ )
93, 5, 83jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
109ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
11103adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1211com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1413imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
15 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  N  e.  RR )
18 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
2117, 20subge0d 10154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  -> 
( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
2221exbiri 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
24233impia 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
2524impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( N  -  L )
)
26 zre 10880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  RR )
29 resubcl 9895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
3015, 18, 29syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
31303adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3328, 32addge02d 10153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  L
)  <->  M  <_  ( ( N  -  L )  +  M ) ) )
3425, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  (
( N  -  L
)  +  M ) )
35 zcn 10881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
36353ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  CC )
38 zcn 10881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
39383ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  CC )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  CC )
41 zcn 10881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  CC )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  CC )
4437, 40, 43subsubd 9970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( N  -  L
)  +  M ) )
4534, 44breqtrrd 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  ( N  -  ( L  -  M ) ) )
46183ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  RR )
47 subge0 10077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( L  -  M )  <->  M  <_  L ) )
4846, 26, 47syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  M  <_  L ) )
4948exbiri 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  <_  L  ->  0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5150imp31 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( L  -  M )
)
52153ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  RR )
54 resubcl 9895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  -  M
)  e.  RR )
5546, 27, 54syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( L  -  M )  e.  RR )
5653, 55subge02d 10156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
) )
5751, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
)
5845, 57jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  <_ 
( N  -  ( L  -  M )
)  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) )
59 elfz2 11691 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( N  -  ( L  -  M
) )  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) ) )
6014, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ( M ... N ) )
6160ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
62613adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
632, 62syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
641, 63sylbi 195 . 2  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
6564imp 429 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  11720
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