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Theorem uzsubsubfz 11628
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 11007 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )
2 eluz2 11007 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
3 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zsubcl 10823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
76adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
85, 7zsubcld 10889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ZZ )
93, 5, 83jca 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
109ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
11103adant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1211com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
1312adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1413imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
15 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1615adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
1716adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  N  e.  RR )
18 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1918adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
2117, 20subge0d 10059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  -> 
( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
2221exbiri 620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
24233impia 1191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
2524impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( N  -  L )
)
26 zre 10785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2726adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
2827adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  RR )
29 resubcl 9796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
3015, 18, 29syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
31303adant3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3231adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3328, 32addge02d 10058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  L
)  <->  M  <_  ( ( N  -  L )  +  M ) ) )
3425, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  (
( N  -  L
)  +  M ) )
35 zcn 10786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
36353ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  CC )
3736adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  CC )
38 zcn 10786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
39383ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  CC )
4039adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  CC )
41 zcn 10786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
4241adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  CC )
4342adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  CC )
4437, 40, 43subsubd 9872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( N  -  L
)  +  M ) )
4534, 44breqtrrd 4393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  ( N  -  ( L  -  M ) ) )
46183ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  RR )
47 subge0 9983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( L  -  M )  <->  M  <_  L ) )
4846, 26, 47syl2anr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  M  <_  L ) )
4948exbiri 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  <_  L  ->  0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5150imp31 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( L  -  M )
)
52153ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5352adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  RR )
54 resubcl 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  -  M
)  e.  RR )
5546, 27, 54syl2anr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( L  -  M )  e.  RR )
5653, 55subge02d 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
) )
5751, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
)
5845, 57jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  <_ 
( N  -  ( L  -  M )
)  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) )
59 elfz2 11600 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( N  -  ( L  -  M
) )  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) ) )
6014, 58, 59sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ( M ... N ) )
6160ex 432 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
62613adant2 1013 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
632, 62syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
641, 63sylbi 195 . 2  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
6564imp 427 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    <_ cle 9540    - cmin 9718   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  11629
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