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Theorem uzsubsubfz 11713
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 11093 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )
2 eluz2 11093 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zsubcl 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
76adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
85, 7zsubcld 10976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ZZ )
93, 5, 83jca 1175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
109ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
11103adant3 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1211com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1413imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
15 zre 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  N  e.  RR )
18 zre 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
2117, 20subge0d 10145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  -> 
( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
2221exbiri 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
24233impia 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
2524impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( N  -  L )
)
26 zre 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  RR )
29 resubcl 9885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
3015, 18, 29syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
31303adant3 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3328, 32addge02d 10144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  L
)  <->  M  <_  ( ( N  -  L )  +  M ) ) )
3425, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  (
( N  -  L
)  +  M ) )
35 zcn 10872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
36353ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  CC )
38 zcn 10872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
39383ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  CC )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  CC )
41 zcn 10872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  CC )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  CC )
4437, 40, 43subsubd 9961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( N  -  L
)  +  M ) )
4534, 44breqtrrd 4460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  ( N  -  ( L  -  M ) ) )
46183ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  RR )
47 subge0 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( L  -  M )  <->  M  <_  L ) )
4846, 26, 47syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  M  <_  L ) )
4948exbiri 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  <_  L  ->  0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5150imp31 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( L  -  M )
)
52153ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  RR )
54 resubcl 9885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  -  M
)  e.  RR )
5546, 27, 54syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( L  -  M )  e.  RR )
5653, 55subge02d 10147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
) )
5751, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
)
5845, 57jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  <_ 
( N  -  ( L  -  M )
)  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) )
59 elfz2 11685 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( N  -  ( L  -  M
) )  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) ) )
6014, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ( M ... N ) )
6160ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
62613adant2 1014 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
632, 62syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
641, 63sylbi 195 . 2  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
6564imp 429 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    e. wcel 1802   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495    <_ cle 9629    - cmin 9807   ZZcz 10867   ZZ>=cuz 11087   ...cfz 11678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  11714
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