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Theorem uzsubsubfz 11592
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 10982 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )
2 eluz2 10982 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zsubcl 10802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
76adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
85, 7zsubcld 10867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ZZ )
93, 5, 83jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
109ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
11103adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1211com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1413imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
15 zre 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  N  e.  RR )
18 zre 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
2117, 20subge0d 10044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  -> 
( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
2221exbiri 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
24233impia 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
2524impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( N  -  L )
)
26 zre 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  RR )
29 resubcl 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
3015, 18, 29syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
31303adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3328, 32addge02d 10043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  L
)  <->  M  <_  ( ( N  -  L )  +  M ) ) )
3425, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  (
( N  -  L
)  +  M ) )
35 zcn 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
36353ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  CC )
38 zcn 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
39383ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  CC )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  CC )
41 zcn 10766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  CC )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  CC )
4437, 40, 43subsubd 9862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( N  -  L
)  +  M ) )
4534, 44breqtrrd 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  ( N  -  ( L  -  M ) ) )
46183ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  RR )
47 subge0 9967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( L  -  M )  <->  M  <_  L ) )
4846, 26, 47syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  M  <_  L ) )
4948exbiri 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  <_  L  ->  0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5150imp31 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( L  -  M )
)
52153ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  RR )
54 resubcl 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  -  M
)  e.  RR )
5546, 27, 54syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( L  -  M )  e.  RR )
5653, 55subge02d 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
) )
5751, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
)
5845, 57jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  <_ 
( N  -  ( L  -  M )
)  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) )
59 elfz2 11565 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( N  -  ( L  -  M
) )  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) ) )
6014, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ( M ... N ) )
6160ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
62613adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
632, 62syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
641, 63sylbi 195 . 2  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
6564imp 429 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397    + caddc 9400    <_ cle 9534    - cmin 9710   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  11593
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