MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzssz Structured version   Unicode version

Theorem uzssz 10876
Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzssz  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ

Proof of Theorem uzssz
StepHypRef Expression
1 uzf 10860 . . . . 5  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
21ffvelrni 5839 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
~P ZZ )
32elpwid 3867 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )
41fdmi 5561 . . 3  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
53, 4eleq2s 2533 . 2  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )
6 ndmfv 5711 . . 3  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
7 0ss 3663 . . 3  |-  (/)  C_  ZZ
86, 7syl6eqss 3403 . 2  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ )
95, 8pm2.61i 164 1  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1761    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   dom cdm 4836   ` cfv 5415   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-neg 9594  df-z 10643  df-uz 10858
This theorem is referenced by:  uzwo  10913  uzwoOLD  10914  uzwo2  10915  uzinfmi  10930  infmssuzle  10933  infmssuzcl  10934  uzsupss  10943  uzwo3  10944  fzof  11546  uzsup  11698  seqshft  12570  cau3  12839  caubnd  12842  limsupgre  12955  rlimclim  13020  climz  13023  climaddc1  13108  climmulc2  13110  climsubc1  13111  climsubc2  13112  climlec2  13132  isercolllem1  13138  isercolllem2  13139  isercoll  13141  caurcvg  13150  caucvg  13152  iseraltlem1  13155  iseraltlem2  13156  iseraltlem3  13157  summolem2a  13188  summolem2  13189  zsum  13191  fsumcvg3  13202  climfsum  13279  4sqlem11  14012  gsumval3OLD  16375  gsumval3  16378  lmbrf  18823  lmres  18863  uzrest  19429  uzfbas  19430  lmflf  19537  lmmbrf  20732  iscau4  20749  iscauf  20750  caucfil  20753  lmclimf  20773  mbfsup  21101  mbflimsup  21103  ig1pdvds  21607  ulmval  21804  ulmpm  21807  2sqlem6  22667  ballotlemfc0  26805  ballotlemfcc  26806  ballotlemiex  26814  ballotlemsdom  26824  ballotlemsima  26828  ballotlemrv2  26834  erdszelem4  27012  erdszelem8  27016  divcnvshft  27327  clim2prod  27332  ntrivcvg  27341  ntrivcvgfvn0  27343  ntrivcvgtail  27344  ntrivcvgmullem  27345  ntrivcvgmul  27346  prodrblem  27371  prodmolem2a  27376  prodmolem2  27377  zprod  27379  caures  28581  diophin  29036  irrapxlem1  29088  monotuz  29207
  Copyright terms: Public domain W3C validator