MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzssz Structured version   Unicode version

Theorem uzssz 11101
Description: An upper set of integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzssz  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ

Proof of Theorem uzssz
StepHypRef Expression
1 uzf 11085 . . . . 5  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
21ffvelrni 6006 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
~P ZZ )
32elpwid 4009 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )
41fdmi 5718 . . 3  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
53, 4eleq2s 2562 . 2  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )
6 ndmfv 5872 . . 3  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
7 0ss 3813 . . 3  |-  (/)  C_  ZZ
86, 7syl6eqss 3539 . 2  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ )
95, 8pm2.61i 164 1  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1823    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   dom cdm 4988   ` cfv 5570   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  uzwo  11145  uzwoOLD  11146  uzwo2  11147  uzinfmi  11162  infmssuzle  11165  infmssuzcl  11166  uzsupss  11175  uzwo3  11178  fzof  11801  uzsup  11972  cau3  13270  caubnd  13273  limsupgre  13386  rlimclim  13451  climz  13454  climaddc1  13539  climmulc2  13541  climsubc1  13542  climsubc2  13543  climlec2  13563  isercolllem1  13569  isercolllem2  13570  isercoll  13572  caurcvg  13581  caucvg  13583  iseraltlem1  13586  iseraltlem2  13587  iseraltlem3  13588  summolem2a  13619  summolem2  13620  zsum  13622  fsumcvg3  13633  climfsum  13716  clim2prod  13779  ntrivcvg  13788  ntrivcvgfvn0  13790  ntrivcvgtail  13791  ntrivcvgmullem  13792  ntrivcvgmul  13793  prodrblem  13818  prodmolem2a  13823  prodmolem2  13824  zprod  13826  4sqlem11  14557  gsumval3OLD  17107  gsumval3  17110  lmbrf  19928  lmres  19968  uzrest  20564  uzfbas  20565  lmflf  20672  lmmbrf  21867  iscau4  21884  iscauf  21885  caucfil  21888  lmclimf  21908  mbfsup  22237  mbflimsup  22239  ig1pdvds  22743  ulmval  22941  ulmpm  22944  2sqlem6  23842  ballotlemfc0  28695  ballotlemfcc  28696  ballotlemiex  28704  ballotlemsdom  28714  ballotlemsima  28718  ballotlemrv2  28724  erdszelem4  28902  erdszelem8  28906  divcnvshft  29358  caures  30493  diophin  30945  irrapxlem1  30997  monotuz  31116  hashnzfzclim  31468  uzmptshftfval  31492  ioodvbdlimc1lem2  31968  ioodvbdlimc2lem  31970
  Copyright terms: Public domain W3C validator