MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzssz Unicode version

Theorem uzssz 10461
Description: A set of upper integers is a subset of all integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzssz  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ

Proof of Theorem uzssz
StepHypRef Expression
1 uzf 10447 . . . . 5  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
21ffvelrni 5828 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
~P ZZ )
32elpwid 3768 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )
41fdmi 5555 . . 3  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
53, 4eleq2s 2496 . 2  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )
6 ndmfv 5714 . . 3  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
7 0ss 3616 . . 3  |-  (/)  C_  ZZ
86, 7syl6eqss 3358 . 2  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ )
95, 8pm2.61i 158 1  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   dom cdm 4837   ` cfv 5413   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  uzwo  10495  uzwoOLD  10496  uzwo2  10497  uzinfmi  10511  infmssuzle  10514  infmssuzcl  10515  uzsupss  10524  uzwo3  10525  fzof  11092  uzsup  11199  seqshft  11855  cau3  12114  caubnd  12117  limsupgre  12230  rlimclim  12295  climz  12298  climaddc1  12383  climmulc2  12385  climsubc1  12386  climsubc2  12387  climlec2  12407  isercolllem1  12413  isercolllem2  12414  isercoll  12416  caurcvg  12425  caucvg  12427  iseraltlem1  12430  iseraltlem2  12431  iseraltlem3  12432  summolem2a  12464  summolem2  12465  zsum  12467  fsumcvg3  12478  climfsum  12554  4sqlem11  13278  gsumval3  15469  lmbrf  17278  lmres  17318  uzrest  17882  uzfbas  17883  lmflf  17990  lmmbrf  19168  iscau4  19185  iscauf  19186  caucfil  19189  lmclimf  19209  mbfsup  19509  mbflimsup  19511  ig1pdvds  20052  ulmval  20249  ulmpm  20252  2sqlem6  21106  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemiex  24712  ballotlemsdom  24722  ballotlemsima  24726  ballotlemrv2  24732  erdszelem4  24833  erdszelem8  24837  divcnvshft  25164  clim2prod  25169  ntrivcvg  25178  ntrivcvgfvn0  25180  ntrivcvgtail  25181  ntrivcvgmullem  25182  ntrivcvgmul  25183  prodrblem  25208  prodmolem2a  25213  prodmolem2  25214  zprod  25216  caures  26356  diophin  26721  irrapxlem1  26775  monotuz  26894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator