Theorem uzss 7600

Description: Subset relationship for two sets of upper integers.

Assertion

Ref	Expression
uzss	|- (N e. (ZZ>=` M) -> (ZZ>=` N) C_ (ZZ>=` M))

Proof of Theorem uzss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 7594	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M <_ N)
2	1	adantr 425	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. ZZ) -> M <_ N)
3		letr 6695	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ N /\ N <_ k) -> M <_ k))
4		zre 7348	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
5		zre 7348	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
6		zre 7348	. . . . . . . . 9 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
7	3, 4, 5, 6	syl3an 1139	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ N /\ N <_ k) -> M <_ k))
8	7	3expa 1067	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ N /\ N <_ k) -> M <_ k))
9		eluzel2 7593	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
10		eluzelz 7592	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
11	9, 10	jca 310	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
12	8, 11	sylan 497	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ N /\ N <_ k) -> M <_ k))
13	2, 12	mpand 765	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. ZZ) -> (N <_ k -> M <_ k))
14	13	ex 402	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (k e. ZZ -> (N <_ k -> M <_ k)))
15	14	imdistand 493	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((k e. ZZ /\ N <_ k) -> (k e. ZZ /\ M <_ k)))
16		eluz1 7589	. . . 4 |- (N e. ZZ -> (k e. (ZZ>=` N) <-> (k e. ZZ /\ N <_ k)))
17	10, 16	syl 12	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (k e. (ZZ>=` N) <-> (k e. ZZ /\ N <_ k)))
18		eluz1 7589	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (k e. (ZZ>=` M) <-> (k e. ZZ /\ M <_ k)))
19	9, 18	syl 12	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (k e. (ZZ>=` M) <-> (k e. ZZ /\ M <_ k)))
20	15, 17, 19	3imtr4d 602	. 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (k e. (ZZ>=` N) -> k e. (ZZ>=` M)))
21	20	ssrdv 2622	1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (ZZ>=` N) C_ (ZZ>=` M))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  seqzrn 7800  serzf0i 8429  efsepi 8661  isprm3 13776  seqzp2 14716  fsumltisumii 15822  fsumleisumii 15825  geomcau 15849  lmtlm 15908  heiborlem12 15966  heiborlem15 15969  heiborlem16 15970  heiborlem30 15984  heiborlem31 15985  heiborlem32 15986  heiborlem33 15987  heiborlem35 15989  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain