MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzss Structured version   Unicode version

Theorem uzss 11091
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem uzss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 11083 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  <_  N )
3 eluzel2 11076 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 eluzelz 11080 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
53, 4jca 532 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 zre 10857 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7 zre 10857 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 zre 10857 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
9 letr 9667 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
106, 7, 8, 9syl3an 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
11103expa 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k ) )
125, 11sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
132, 12mpand 675 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  M  <_  k ) )
1413imdistanda 693 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
) )
15 eluz1 11075 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_ 
k ) ) )
164, 15syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k ) ) )
17 eluz1 11075 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) ) )
183, 17syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k ) ) )
1914, 16, 183imtr4d 268 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2019ssrdv 3503 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   RRcr 9480    <_ cle 9618   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9797  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  uzin  11103  uznnssnn  11117  fzopth  11709  4fvwrd4  11779  fzouzsplit  11817  seqfeq2  12086  rexuzre  13134  cau3lem  13136  climsup  13441  isumsplit  13604  isumrpcl  13607  cvgrat  13644  isprm3  14074  pcfac  14266  lmflf  20234  caucfil  21450  uniioombllem4  21723  mbflimsup  21801  ulmres  22510  ulmcaulem  22516  logfaclbnd  23218  axlowdimlem17  23930  axlowdim  23933  rnlogblem  27641  clim2prod  28585  fprodntriv  28637  climinf  31103  climsuse  31105  ioodvbdlimc1lem1  31216  ioodvbdlimc1lem2  31217  ioodvbdlimc2lem  31219  fourierdlem45  31407  fzoopth  31764
  Copyright terms: Public domain W3C validator