Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzsinds Structured version   Unicode version

Theorem uzsinds 27816
Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzsinds.2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzsinds.3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Distinct variable groups:    ch, x    x, M, y    x, N    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    N( y)

Proof of Theorem uzsinds
StepHypRef Expression
1 ltweuz 11896 . 2  |-  <  We  ( ZZ>= `  M )
2 fvex 5804 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
3 exse 4787 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  e. 
_V  ->  < Se  ( ZZ>= `  M ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  < Se  ( ZZ>=
`  M )
5 uzsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
6 uzsinds.2 . 2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
7 preduz 27800 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  Pred (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x )  =  ( M ... ( x  -  1
) ) )
87raleqdv 3023 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  Pred  (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps ) )
9 uzsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
108, 9sylbid 215 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  Pred  (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x ) ps  ->  ph ) )
111, 4, 5, 6, 10wfis3 27815 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   Se wse 4780   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1c1 9389    < clt 9524    - cmin 9701   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   Predcpred 27763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-pred 27764
This theorem is referenced by:  nnsinds  27817  nn0sinds  27818
  Copyright terms: Public domain W3C validator