Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrest Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uzrest 20912
 Description: The restriction of the set of upper sets of integers to an upper set of integers is the set of upper sets of integers based at a point above the cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1
Assertion
Ref Expression
uzrest t

Proof of Theorem uzrest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10946 . . . . . 6
21pwex 4586 . . . . 5
3 uzf 11162 . . . . . 6
4 frn 5735 . . . . . 6
53, 4ax-mp 5 . . . . 5
62, 5ssexi 4548 . . . 4
7 uzfbas.1 . . . . 5
8 fvex 5875 . . . . 5
97, 8eqeltri 2525 . . . 4
10 restval 15325 . . . 4 t
116, 9, 10mp2an 678 . . 3 t
127ineq2i 3631 . . . . . . . . 9
13 uzin 11191 . . . . . . . . . 10
1413ancoms 455 . . . . . . . . 9
1512, 14syl5eq 2497 . . . . . . . 8
16 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11
173, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
1817a1i 11 . . . . . . . . 9
19 uzssz 11178 . . . . . . . . . . 11
207, 19eqsstri 3462 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
22 inss2 3653 . . . . . . . . . 10
23 ifcl 3923 . . . . . . . . . . . 12
24 uzid 11173 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11
2625, 15eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10
2722, 26sseldi 3430 . . . . . . . . 9
28 fnfvima 6143 . . . . . . . . 9
2918, 21, 27, 28syl3anc 1268 . . . . . . . 8
3015, 29eqeltrd 2529 . . . . . . 7
3130ralrimiva 2802 . . . . . 6
32 ineq1 3627 . . . . . . . . 9
3332eleq1d 2513 . . . . . . . 8
3433ralrn 6025 . . . . . . 7
3517, 34ax-mp 5 . . . . . 6
3631, 35sylibr 216 . . . . 5
37 eqid 2451 . . . . . 6
3837fmpt 6043 . . . . 5
3936, 38sylib 200 . . . 4
40 frn 5735 . . . 4
4139, 40syl 17 . . 3
4211, 41syl5eqss 3476 . 2 t
437uztrn2 11176 . . . . . . . . 9
4443ex 436 . . . . . . . 8
4544ssrdv 3438 . . . . . . 7
4645adantl 468 . . . . . 6
47 df-ss 3418 . . . . . 6
4846, 47sylib 200 . . . . 5
496a1i 11 . . . . . 6
509a1i 11 . . . . . 6
5120sseli 3428 . . . . . . . 8
5251adantl 468 . . . . . . 7
53 fnfvelrn 6019 . . . . . . 7
5417, 52, 53sylancr 669 . . . . . 6
55 elrestr 15327 . . . . . 6 t
5649, 50, 54, 55syl3anc 1268 . . . . 5 t
5748, 56eqeltrrd 2530 . . . 4 t
5857ralrimiva 2802 . . 3 t
59 ffun 5731 . . . . 5
603, 59ax-mp 5 . . . 4
613fdmi 5734 . . . . 5
6220, 61sseqtr4i 3465 . . . 4
63 funimass4 5916 . . . 4 t t
6460, 62, 63mp2an 678 . . 3 t t
6558, 64sylibr 216 . 2 t
6642, 65eqssd 3449 1 t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   cin 3403   wss 3404  cif 3881  cpw 3951   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834   crn 4835  cima 4837   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cle 9676  cz 10937  cuz 11159   ↾t crest 15319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-neg 9863  df-z 10938  df-uz 11160  df-rest 15321 This theorem is referenced by:  uzfbas  20913
 Copyright terms: Public domain W3C validator