Theorem uzrdgvali 7714

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either NN or NN0) with characteristic function F and initial value A. Normally F is a function on the partition, and A is a member of the partition. See also comment in om2uz0i 7706.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgvali	|- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   z,A   z,B   x,C,y,z

Proof of Theorem uzrdgvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . . 5 |- C e. ZZ
2		om2uz.2	. . . . 5 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3	1, 2	om2uzrani 7711	. . . 4 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}
4		df-rn 4005	. . . 4 |- ran G = dom `' G
5	3, 4	eqtr3i 1910	. . 3 |- {z e. ZZ | C <_ z} = dom `' G
6	5	eleq2i 1961	. 2 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> B e. dom `' G)
7		rdgfnon 5147	. . . 4 |- rec(F, A) Fn On
8		fnfun 4510	. . . 4 |- (rec(F, A) Fn On -> Fun rec(F, A))
9	7, 8	ax-mp 7	. . 3 |- Fun rec(F, A)
10	1, 2	om2uzf1oi 7712	. . . . 5 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
11		f1ocnv 4651	. . . . 5 |- (G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . 4 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om
13		f1ofun 4637	. . . 4 |- (`'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om -> Fun `'G)
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- Fun `'G
15		fvco 4736	. . 3 |- ((Fun rec(F, A) /\ Fun `'G /\ B e. dom `' G) -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
16	9, 14, 15	mp3an12 1181	. 2 |- (B e. dom `' G -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
17	6, 16	sylbi 216	1 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108   class class class wbr 3338  {copab 3395  Oncon0 3657  omcom 3949  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  uzrdginii 7715  uzrdgsuci 7716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain