Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgsuci Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uzrdgsuci 12212
 Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in om2uzrdg 12208. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
uzrdg.3
Assertion
Ref Expression
uzrdgsuci
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem uzrdgsuci
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . . . . 6
2 om2uz.2 . . . . . 6
3 uzrdg.1 . . . . . 6
4 uzrdg.2 . . . . . 6
5 uzrdg.3 . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5uzrdgfni 12210 . . . . 5
7 fnfun 5683 . . . . 5
86, 7ax-mp 5 . . . 4
9 peano2uz 11235 . . . . . 6
101, 2, 3, 4uzrdglem 12209 . . . . . 6
119, 10syl 17 . . . . 5
1211, 5syl6eleqr 2560 . . . 4
13 funopfv 5918 . . . 4
148, 12, 13mpsyl 64 . . 3
151, 2om2uzf1oi 12205 . . . . . . . 8
16 f1ocnvdm 6201 . . . . . . . 8
1715, 16mpan 684 . . . . . . 7
18 peano2 6732 . . . . . . 7
1917, 18syl 17 . . . . . 6
201, 2om2uzsuci 12200 . . . . . . . 8
2117, 20syl 17 . . . . . . 7
22 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . 9
2315, 22mpan 684 . . . . . . . 8
2423oveq1d 6323 . . . . . . 7
2521, 24eqtrd 2505 . . . . . 6
26 f1ocnvfv 6195 . . . . . . 7
2715, 26mpan 684 . . . . . 6
2819, 25, 27sylc 61 . . . . 5
2928fveq2d 5883 . . . 4
3029fveq2d 5883 . . 3
3114, 30eqtrd 2505 . 2
32 frsuc 7172 . . . . . . . 8
334fveq1i 5880 . . . . . . . 8
344fveq1i 5880 . . . . . . . . 9
3534fveq2i 5882 . . . . . . . 8
3632, 33, 353eqtr4g 2530 . . . . . . 7
371, 2, 3, 4om2uzrdg 12208 . . . . . . . . 9
3837fveq2d 5883 . . . . . . . 8
39 df-ov 6311 . . . . . . . 8
4038, 39syl6eqr 2523 . . . . . . 7
4136, 40eqtrd 2505 . . . . . 6
42 fvex 5889 . . . . . . 7
43 fvex 5889 . . . . . . 7
44 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
45 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
4644, 45opeq12d 4166 . . . . . . . 8
47 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
4847opeq2d 4165 . . . . . . . 8
49 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
50 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
5149, 50opeq12d 4166 . . . . . . . . 9
52 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
5352opeq2d 4165 . . . . . . . . 9
5451, 53cbvmpt2v 6390 . . . . . . . 8
55 opex 4664 . . . . . . . 8
5646, 48, 54, 55ovmpt2 6451 . . . . . . 7
5742, 43, 56mp2an 686 . . . . . 6
5841, 57syl6eq 2521 . . . . 5
5958fveq2d 5883 . . . 4
60 ovex 6336 . . . . 5
61 ovex 6336 . . . . 5
6260, 61op2nd 6821 . . . 4
6359, 62syl6eq 2521 . . 3
6417, 63syl 17 . 2
651, 2, 3, 4uzrdglem 12209 . . . . . 6
6665, 5syl6eleqr 2560 . . . . 5
67 funopfv 5918 . . . . 5
688, 66, 67mpsyl 64 . . . 4
6968eqcomd 2477 . . 3
7023, 69oveq12d 6326 . 2
7131, 64, 703eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031  cop 3965   cmpt 4454  ccnv 4838   crn 4840   cres 4841   csuc 5432   wfun 5583   wfn 5584  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  com 6711  c2nd 6811  crdg 7145  c1 9558   caddc 9560  cz 10961  cuz 11182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183 This theorem is referenced by:  seqp1  12266
 Copyright terms: Public domain W3C validator