MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdglem Structured version   Unicode version

Theorem uzrdglem 12048
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
uzrdg.1  |-  A  e. 
_V
uzrdg.2  |-  R  =  ( rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
uzrdglem  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >.  e.  ran  R )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, C    y, G    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, y)    R( x, y)    G( x)

Proof of Theorem uzrdglem
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
2 om2uz.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
31, 2om2uzf1oi 12044 . . . . 5  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
4 f1ocnvdm 6187 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
53, 4mpan 670 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( `' G `  B )  e.  om )
6 uzrdg.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
7 uzrdg.2 . . . . 5  |-  R  =  ( rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )
81, 2, 6, 7om2uzrdg 12047 . . . 4  |-  ( ( `' G `  B )  e.  om  ->  ( R `  ( `' G `  B )
)  =  <. ( G `  ( `' G `  B )
) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >. )
95, 8syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  = 
<. ( G `  ( `' G `  B ) ) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >. )
10 f1ocnvfv2 6182 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  C ) )  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
113, 10mpan 670 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  ( `' G `  B ) )  =  B )
1211opeq1d 4225 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  <. ( G `
 ( `' G `  B ) ) ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >.  =  <. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >. )
139, 12eqtrd 2508 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  = 
<. B ,  ( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B ) ) ) >. )
14 frfnom 7112 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )  Fn  om
157fneq1i 5681 . . . 4  |-  ( R  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )  Fn  om )
1614, 15mpbir 209 . . 3  |-  R  Fn  om
17 fnfvelrn 6029 . . 3  |-  ( ( R  Fn  om  /\  ( `' G `  B )  e.  om )  -> 
( R `  ( `' G `  B ) )  e.  ran  R
)
1816, 5, 17sylancr 663 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( R `  ( `' G `  B ) )  e. 
ran  R )
1913, 18eqeltrrd 2556 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  <. B , 
( 2nd `  ( R `  ( `' G `  B )
) ) >.  e.  ran  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   <.cop 4039    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   ran crn 5006    |` cres 5007    Fn wfn 5589   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   omcom 6695   2ndc2nd 6794   reccrdg 7087   1c1 9505    + caddc 9507   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095
This theorem is referenced by:  uzrdgfni  12049  uzrdgsuci  12051
  Copyright terms: Public domain W3C validator