Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgfni Unicode version

Theorem uzrdgfni 11253
 Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. See comment in om2uzrdg 11251. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
uzrdg.3
Assertion
Ref Expression
uzrdgfni
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem uzrdgfni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzrdg.3 . . . . . . . . 9
21eleq2i 2468 . . . . . . . 8
3 frfnom 6651 . . . . . . . . . 10
4 uzrdg.2 . . . . . . . . . . 11
54fneq1i 5498 . . . . . . . . . 10
63, 5mpbir 201 . . . . . . . . 9
7 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8
92, 8bitri 241 . . . . . . 7
10 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11
11 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11
12 uzrdg.1 . . . . . . . . . . 11
1310, 11, 12, 4om2uzrdg 11251 . . . . . . . . . 10
1410, 11om2uzuzi 11244 . . . . . . . . . . 11
15 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11
16 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . . . . . 10
1813, 17eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9
19 eleq1 2464 . . . . . . . . 9
2018, 19syl5ibcom 212 . . . . . . . 8
2120rexlimiv 2784 . . . . . . 7
229, 21sylbi 188 . . . . . 6
2322ssriv 3312 . . . . 5
24 xpss 4941 . . . . 5
2523, 24sstri 3317 . . . 4
26 df-rel 4844 . . . 4
2725, 26mpbir 201 . . 3
28 fvex 5701 . . . . . 6
29 eqeq2 2413 . . . . . . . 8
3029imbi2d 308 . . . . . . 7
3130albidv 1632 . . . . . 6
3228, 31spcev 3003 . . . . 5
331eleq2i 2468 . . . . . . 7
34 fvelrnb 5733 . . . . . . . 8
356, 34ax-mp 8 . . . . . . 7
3633, 35bitri 241 . . . . . 6
3713eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12
38 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13
3938, 15opth1 4394 . . . . . . . . . . . 12
4037, 39syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11
4110, 11om2uzf1oi 11248 . . . . . . . . . . . 12
42 f1ocnvfv 5975 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42mpan 652 . . . . . . . . . . 11
4440, 43syld 42 . . . . . . . . . 10
45 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
4645fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10
4744, 46syl6 31 . . . . . . . . 9
4847imp 419 . . . . . . . 8
49 vex 2919 . . . . . . . . . 10
50 vex 2919 . . . . . . . . . 10
5149, 50op2ndd 6317 . . . . . . . . 9
5251adantl 453 . . . . . . . 8
5348, 52eqtr2d 2437 . . . . . . 7
5453rexlimiva 2785 . . . . . 6
5536, 54sylbi 188 . . . . 5
5632, 55mpg 1554 . . . 4
5756ax-gen 1552 . . 3
58 dffun5 5426 . . 3
5927, 57, 58mpbir2an 887 . 2
60 dmss 5028 . . . . 5
6123, 60ax-mp 8 . . . 4
62 dmxpss 5259 . . . 4
6361, 62sstri 3317 . . 3
6410, 11, 12, 4uzrdglem 11252 . . . . . 6
6564, 1syl6eleqr 2495 . . . . 5
6649, 28opeldm 5032 . . . . 5
6765, 66syl 16 . . . 4
6867ssriv 3312 . . 3
6963, 68eqssi 3324 . 2
70 df-fn 5416 . 2
7159, 69, 70mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1546  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  wrex 2667  cvv 2916   wss 3280  cop 3777   cmpt 4226  com 4804   cxp 4835  ccnv 4836   cdm 4837   crn 4838   cres 4839   wrel 4842   wfun 5407   wfn 5408  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmpt2 6042  c2nd 6307  crdg 6626  c1 8947   caddc 8949  cz 10238  cuz 10444 This theorem is referenced by:  uzrdg0i  11254  uzrdgsuci  11255  seqfn  11290 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445
 Copyright terms: Public domain W3C validator